Bo'linish belgilari, EKUB va EKUK

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Bo'linish belgilari, EKUB va EKUK tushunchalari DTM testlarining dastlabki savollarida muntazam uchraydi. Bu mavzu bo'yicha asosiy savol turlari:

1. Murakkab sonlarga bo'linish: $\overline{a47b}$ sonining $12, 15, 36, 45, 72$ ga bo'linishi shartidan noma'lum raqamlarni topish.
2. Qoldiqli bo'lish masalalari: bir necha songa bo'lganda bir xil qoldiq yoki bir xil yetishmovchilik beruvchi sonlarni aniqlash.
3. EKUB va EKUK xossalari: $\text{EKUB}(a, b) \cdot \text{EKUK}(a, b) = a \cdot b$ ayniyati va nisbatlar orqali sonlarni topish.
4. Natural bo'luvchilar soni (NBS): sonni tub ko'paytuvchilarga ajratib, umumiy, toq yoki juft bo'luvchilarni hisoblash.

---

Asosiy formulalar va usullar

1. Bo'linish alomatlari

• 2, 4, 8 ga: oxirgi 1, 2, 3 ta raqam mos ravishda 2, 4, 8 ga bo'linishi kerak.
• 3 va 9 ga: barcha raqamlar yig'indisi 3 yoki 9 ga bo'linadi.
• 5 ga: oxirgi raqam 0 yoki 5.
• 11 ga: toq o'rindagi va juft o'rindagi raqamlar yig'indilari ayirmasi 11 ga bo'linadi yoki 0 ga teng.
• Murakkab sonlar: Agar $\text{EKUB}(p, q) = 1$ bo'lsa, son $p \cdot q$ ga bo'linishi uchun bir vaqtda $p$ va $q$ ga bo'linishi kerak:
  • $12 = 3 \cdot 4$, $15 = 3 \cdot 5$, $36 = 4 \cdot 9$, $45 = 5 \cdot 9$, $72 = 8 \cdot 9$.

2. Qoldiqli bo'lish

$a = bq + r, \quad 0 \le r < b$

• Bir xil qoldiq: $N = \text{EKUK}(a, b, c) \cdot k + r$.
• Bir xil yetishmovchilik ($d = a - r_1 = b - r_2$): $N = \text{EKUK}(a, b, c) \cdot k - d$.

3. Natural bo'luvchilar soni (NBS)

Agar $N = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$ (kanonik yoyilma) bo'lsa:

• $NBS = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \dots (\alpha_k + 1)$
• Butun bo'luvchilar soni: $BBS = 2 \cdot NBS$
• Toq bo'luvchilar soni: 2 ning darajasini hisobga olmasdan hisoblanadi.

4. EKUB va EKUK bog'liqligi

• $\text{EKUB}(a, b) \cdot \text{EKUK}(a, b) = a \cdot b$
• Agar $\text{EKUB}(a, b) = d$ bo'lsa: $a = dx, b = dy$, bunda $\text{EKUB}(x, y) = 1$. U holda $\text{EKUK}(a, b) = dxy$.

---

Yechilgan misollar

1-misol: Murakkab songa bo'linish

$\overline{5x42y}$ soni 36 ga qoldiqsiz bo'linadi. $x + y$ ning eng katta qiymatini toping.

A) $14$
B) $15$
C) $16$
D) $17$

Yechish:

1. $36 = 4 \cdot 9$.
2. 4 ga bo'linishi uchun $\overline{2y}$ 4 ga bo'linadi $\implies y \in \{0, 4, 8\}$.
3. 9 ga bo'linishi uchun raqamlar yig'indisi $5 + x + 4 + 2 + y = x + y + 11$ soni 9 ga bo'linadi.
4. $x+y$ eng katta bo'lishi uchun $y = 8$ ni olamiz: $x + 19 = 27 \implies x = 8$. Demak, $x + y = 8 + 8 = 16$.

DTM tezkor usuli: $y$ ning eng katta juft qiymati 8. Raqamlar yig'indisi $x + 19$ dan $x = 8$. Yig'indi: $8 + 8 = 16$. Javob: C

---

2-misol: Bir xil yetishmovchilik

Natural sonni 4 ga bo'lganda 3, 5 ga bo'lganda 4, 6 ga bo'lganda 5 qoldiq qoladi. Eng kichik uch xonali sonni toping.

A) $119$
B) $120$
C) $179$
D) $129$

Yechish:

1. Bo'luvchi va qoldiqlar ayirmasi: $4 - 3 = 1$, $5 - 4 = 1$, $6 - 5 = 1$.
2. Songa 1 qo'shilsa, 4, 5 va 6 ga qoldiqsiz bo'linadi.
3. $\text{EKUK}(4, 5, 6) = 60$. Demak, $N = 60k - 1$.
4. Eng kichik uch xonali son uchun $k = 2$: $N = 60 \cdot 2 - 1 = 119$.

DTM tezkor usuli: Variantlarga 1 qo'shib tekshiramiz: $119 + 1 = 120$ soni 4, 5, 6 ga bo'linadi. Javob: A

---

3-misol: Toq natural bo'luvchilar soni

$N = 720$ sonining toq natural bo'luvchilari nechta?

A) $4$
B) $6$
C) $12$
D) $30$

Yechish:

1. Sonni tub ko'paytuvchilarga ajratamiz: $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.
2. Toq bo'luvchilar tarkibida 2 qatnashmaydi.
3. Faqat toq asoslarning darajalarini olamiz: $3^2 \cdot 5^1$.
4. $NBS_{\text{toq}} = (2 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6$.

DTM tezkor usuli: $2^4$ ni hisobga olmasdan: $(2+1)(1+1) = 6$. Javob: B

---

4-misol: EKUB va EKUK bog'liqligi

Ikki sonning EKUBi 12 ga, EKUKi esa 144 ga teng. Sonlardan biri 48 bo'lsa, ikkinchisini toping.

A) $24$
B) $36$
C) $72$
D) $60$

Yechish:

1. $\text{EKUB}(a, b) \cdot \text{EKUK}(a, b) = a \cdot b$.
2. $12 \cdot 144 = 48 \cdot b \implies b = \dfrac{12 \cdot 144}{48} = \dfrac{144}{4} = 36$.

DTM tezkor usuli: $48 : 12 = 4$. Ikkinchi son: $144 : 4 = 36$. Javob: B

---

5-misol: 11 ga bo'linish alomati

$\overline{23a4b}$ soni 11 ga qoldiqsiz bo'linadi. Agar bu son 5 ga karrali toq son bo'lsa, $a$ ni toping.

A) $0$
B) $3$
C) $5$
D) $7$

Yechish:

1. 5 ga karrali toq son bo'lgani uchun $b = 5$.
2. 11 ga bo'linish qoidasi: $(2 + a + 5) - (3 + 4) = a$.
3. $a$ soni 11 ga bo'linishi kerak. $a$ raqam bo'lgani sababli $a = 0$.

DTM tezkor usuli: $b = 5$. Toq o'rinlar $7 + a$, juft o'rinlar 7. Ularning ayirmasi $a = 0$. Javob: A

---

Mashq

Quyidagi masalalarni mustaqil yeching va javobingizni tekshiring.

1. $N = 360$ sonining natural bo'luvchilari sonini toping.
2. $\overline{7a51}$ to'rt xonali soni 9 ga qoldiqsiz bo'linsa, $a$ raqamini toping.
3. Ikki sonning nisbati $3 : 4$ kabi. Ularning EKUKi 84 ga teng bo'lsa, bu sonlarning yig'indisini toping.
4. $12, 18, 24$ sonlariga bo'lganda 7 qoldiq qoladigan eng kichik uch xonali sonni toping.
5. $\overline{4x72}$ to'rt xonali soni 4 ga karrali bo'lsa, $x$ o'rniga qo'yish mumkin bo'lgan raqamlar nechta?
6. $A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$ va $B = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5$ sonlarining EKUBini hisoblang.
7. $a$ va $b$ o'zaro tub sonlar bo'lib, $a \cdot b = 180$ va $a < b$ bo'lsa, $(a; b)$ juftliklar soni nechta?
8. 1 dan 100 gacha bo'lgan natural sonlar orasida 3 ga ham, 5 ga ham bo'linmaydiganlari nechta?
9. $N = 1800$ sonining nechta butun bo'luvchisi bor?
10. $\overline{8x3y}$ to'rt xonali soni 45 ga qoldiqsiz bo'linadi. $x$ ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari yig'indisini toping.

Javoblar va yechimlar

1. Javob: 24.
   Yechish: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \implies NBS = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.

2. Javob: 5.
   Yechish: $7 + a + 5 + 1 = 13 + a$. 9 ga bo'linishi uchun $13 + a = 18 \implies a = 5$.

3. Javob: 49.
   Yechish: $a = 3x, b = 4x$. $\text{EKUK}(3x, 4x) = 12x = 84 \implies x = 7$. Yig'indi: $3x + 4x = 7 \cdot 7 = 49$.

4. Javob: 151.
   Yechish: $\text{EKUK}(12, 18, 24) = 72$. $N = 72k + 7$. $k = 2$ da $N = 144 + 7 = 151$.

5. Javob: 10 ta.
   Yechish: Oxirgi ikki raqam $72$ bo'lib, 4 ga bo'linadi. $x$ istalgan raqam ($0 \dots 9$) bo'lishi mumkin. Jami 10 ta.

6. Javob: 36.
   Yechish: $\text{EKUB}(A, B) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

7. Javob: 4 ta.
   Yechish: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5$. O'zaro tub ajratishlar soni $2^{3-1} = 4$ ta: $(1, 180), (4, 45), (5, 36), (9, 20)$.

8. Javob: 53 ta.
   Yechish: 3 ga karralilar $[100/3]=33$, 5 ga karralilar $[100/5]=20$, 15 ga karralilar $[100/15]=6$. Kamida biriga karralilar: $33 + 20 - 6 = 47$. Bo'linmaydiganlar: $100 - 47 = 53$.

9. Javob: 72 ta.
   Yechish: $1800 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \implies NBS = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36$. Butun bo'luvchilar soni: $BBS = 2 \cdot 36 = 72$.

10. Javob: 9.
    Yechish: $45 = 5 \cdot 9$. $y = 0$ bo'lsa, $8 + x + 3 + 0 = 11 + x \implies x = 7$. $y = 5$ bo'lsa, $8 + x + 3 + 5 = 16 + x \implies x = 2$. Yig'indi: $7 + 2 = 9$.

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

1. Murakkab sonlarni o'zaro tub bo'lmagan ko'paytuvchilarga ajratish:

   • ✗ Noto'g'ri: 12 ga bo'linishni 2 va 6 ga bo'linish deb tekshirish (chunki 6 soni 2 va 6 ga bo'linadi, ammo 12 ga bo'linmaydi).
   • ✓ To'g'ri: Faqat o'zaro tub ko'paytuvchilarga ajratish kerak: $12 = 3 \cdot 4$.

2. Natural va butun bo'luvchilar sonini adashtirish:

   • ✗ Noto'g'ri: "Butun bo'luvchilar soni" so'ralganda faqat $NBS$ ni hisoblash.
   • ✓ To'g'ri: Butun bo'luvchilar manfiy sonlarni ham o'z ichiga oladi, shuning uchun $BBS = 2 \cdot NBS$.

3. 11 ga bo'linish alomatida qoldiq ishorasini hisobga olmaslik:

   • ✗ Noto'g'ri: Ayirma manfiy chiqqanda uni bo'linmaydi deb o'ylash.
   • ✓ To'g'ri: Ayirma $-11, 0, 11, 22$ bo'lsa, son 11 ga qoldiqsiz bo'linadi.

4. Kanonik ajratmasdan darajalarga 1 qo'shish:

   • ✗ Noto'g'ri: $N = 6^2 \cdot 5^3$ da $(2+1)(3+1) = 12$ deb hisoblash.
   • ✓ To'g'ri: 6 tub son emas! Avval $6^2 = 2^2 \cdot 3^2$ deb yozib, so'ngra $(2+1)(2+1)(3+1) = 36$ deb topiladi.