Sonlar va amallar: tez hisoblash usullari

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Davlat test markazi (DTM / Bilimni baholash agentligi) testlarida sonlar va arifmetik amallar bo'yicha savollar odatda blokning birinchi 1–4-savollari orasida tushadi. Bu savollar oddiy hisob-kitob emas, balki vaqtni tejash mahorati va ratsional usullarni ko'ra bilish qobiliyatini tekshiradi.

Asosiy savol turlari:

1. Ko'p qavatli va zanjirli kasrlar: bir nechta kasr chizig'iga ega ifodalarning qiymatini tez topish.
2. Qisqa ko'paytirish formulalarining sonli qo'llanilishi: $a^2 - b^2$, $(a \pm b)^2$, $a^3 \pm b^3$ formulalari yordamida katta sonlar kvadratlarini hisoblamasdan qisqartirish.
3. Cheksiz davriy o'nli kasrlar: sof va aralash davriy kasrlarni oddiy kasrga o'tkazish va ular ustida amallar.
4. Teleskopik (ketma-ket qisqaruvchi) yig'indilar: $\dfrac{1}{n(n+k)}$ ko'rinishidagi yig'indilarni ixcham formulaga keltirish.
5. Darajalar va yig'indilarning oxirgi raqamini topish: daraja ko'rsatkichining davriyligi bo'yicha qoldiq tahlili.
6. Sonlarni taqqoslash: umumiy surat, umumiy maxraj, 1 ga yetishmayotgan qism yoki ayirma orqali solishtirish.

Imtihonda har bir savolga o'rtacha 1,5–2 daqiqa ajratiladi. To'g'ridan-to'g'ri "peshonadan" hisoblagan abituriyent 4–5 daqiqa yo'qotadi va xatoga yo'l qo'yadi. Ratsional usul esa javobni 20–30 soniyada chiqaradi.

---

Asosiy formulalar va usullar

1. Teleskopik yig'indi qoidasi

Ketma-ket kelgan ko'paytuvchilar maxrajda bo'lsa: $\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right)$

Xususan, $k = 1$ bo'lganda: $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

2. Cheksiz davriy o'nli kasrlar

• Sof davriy kasr: davrdagi har bir raqam uchun bitta 9 yoziladi: $0{,}(a_1 a_2 \dots a_k) = \frac{a_1 a_2 \dots a_k}{\underbrace{99\dots9}_{k \text{ ta}}}$ Misol: $0{,}(7) = \dfrac{7}{9}$, $0{,}(24) = \dfrac{24}{99} = \dfrac{8}{33}$.

• Aralash davriy kasr: davrgacha bo'lgan raqamlar sonicha 0, davrdagilar sonicha 9 yoziladi: $0{,}b_1\dots b_m(a_1\dots a_k) = \frac{b_1\dots b_m a_1\dots a_k - b_1\dots b_m}{\underbrace{99\dots9}_{k \text{ ta}}\underbrace{00\dots0}_{m \text{ ta}}}$ Misol: $0{,}2(6) = \dfrac{26 - 2}{90} = \dfrac{24}{90} = \dfrac{4}{15}$.

3. Darajalarning oxirgi raqami davriyligi

Natural sonlarning darajalari oxirgi raqami bo'yicha davriy takrorlanadi:

• Davri 1 bo'lganlar: $0, 1, 5, 6$ sonlari har qanday natural darajada o'z oxirgi raqamini saqlaydi ($5^n \to 5$, $6^n \to 6$).
• Davri 2 bo'lganlar:
  • $4^n$: toq darajada 4, juft darajada 6.
  • $9^n$: toq darajada 9, juft darajada 1.
• Davri 4 bo'lganlar: $2, 3, 7, 8$ sonlarining darajalari har 4 qadamda takrorlanadi. Daraja ko'rsatkichi $n$ ni 4 ga bo'lgandagi qoldiq qaraladi. Agar qoldiq 0 bo'lsa, 4-daraja deb olinadi.

Asos	$n \equiv 1 \pmod 4$	$n \equiv 2 \pmod 4$	$n \equiv 3 \pmod 4$	$n \equiv 0 \pmod 4$
2	2	4	8	6
3	3	9	7	1
7	7	9	3	1
8	8	4	2	6

4. Qisqa ko'paytirish formulalarining sonli qo'llanilishi

• $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ — ketma-ket sonlar kvadratlari ayirmasi: $(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$.
• $\dfrac{a^3 \pm b^3}{a^2 \mp ab + b^2} = a \pm b$.
• $1 - \dfrac{1}{n^2} = \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{n+1}{n}$.

---

Yechilgan misollar

1-misol: Teleskopik kasrlar yig'indisi

Hisoblang: $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{19 \cdot 21}$

A) $\dfrac{10}{21}$
B) $\dfrac{11}{21}$
C) $\dfrac{20}{21}$
D) $\dfrac{5}{21}$

Yechish (qadamma-qadam):

1. Maxrajdagi ko'paytuvchilar orasidagi farq $d = 2$.
2. Har bir hadni ayirma shaklida yozamiz: $\frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{3}\right), \quad \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right), \dots$
3. $\dfrac{1}{2}$ qavsdan tashqariga chiqariladi: $S = \frac{1}{2} \left[\left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{19} - \frac{1}{21}\right)\right]$
4. Oraliq barcha hadlar qisqarib ketadi: $S = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{21}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{21} = \frac{10}{21}$

DTM tezkor usuli: Bunday yig'indilarda hadlar soni $N = \dfrac{19 - 1}{2} + 1 = 10$ ta. Maxrajda eng birinchi va eng oxirgi ko'paytuvchi ko'paytmasi turadi: $1 \cdot 21 = 21$. Suratda esa hadlar soni bo'ladi: $\dfrac{10}{21}$. Javob: A

---

2-misol: Qisqa ko'paytirish formulasi yordamida hisoblash

Ifodaning qiymatini toping: $\frac{73^3 + 27^3}{73^2 - 73 \cdot 27 + 27^2} - 64$

A) $46$
B) $36$
C) $100$
D) $27$

Yechish (qadamma-qadam):

1. Suratdagi kublar yig'indisi formulasini eslaymiz: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
2. Berilgan kasr suratini ko'paytuvchilarga ajratamiz: $\frac{(73 + 27)(73^2 - 73 \cdot 27 + 27^2)}{73^2 - 73 \cdot 27 + 27^2} = 73 + 27$
3. Kasr to'liq qisqarib, $73 + 27 = 100$ qoladi.
4. Ayirmani bajaramiz: $100 - 64 = 36$.

DTM tezkor usuli: Kasr ko'rinishidanoq $\dfrac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2} = a+b$ ekani ko'rinib turibdi. Shuning uchun darhol $73 + 27 = 100$ va $100 - 64 = 36$ deb belgilash mumkin. Javob: B

---

3-misol: Davriy o'nli kasrlar ustida amallar

Hisoblang: $\frac{0{,}(6) + 0{,}1(3)}{0{,}(3)}$

A) $2{,}1$
B) $2{,}2$
C) $2{,}4$
D) $2{,}5$

Yechish (qadamma-qadam):

1. Davriy kasrlarni oddiy kasrga aylantiramiz:
   • $0{,}(6) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$
   • $0{,}1(3) = \dfrac{13 - 1}{90} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$
   • $0{,}(3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
2. Suratdagi yig'indini hisoblaymiz: $\frac{2}{3} + \frac{2}{15} = \frac{10 + 2}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$
3. Bo'lish amalini bajaramiz: $\frac{4}{5} : \frac{1}{3} = \frac{4}{5} \cdot 3 = \frac{12}{5} = 2{,}4$

DTM tezkor usuli: Kasrning surati va maxrajini 90 ga ko'paytiramiz: $\frac{90 \cdot 0{,}(6) + 90 \cdot 0{,}1(3)}{90 \cdot 0{,}(3)} = \frac{60 + 12}{30} = \frac{72}{30} = 2{,}4$ Bu usul oddiy kasrlarning umumiy maxrajini qidirishdan ancha tez ishlaydi. Javob: C

---

4-misol: Oxirgi raqamni topish

$2023^{2024} + 2024^{2025} + 2025^{2026}$ yig'indining oxirgi raqamini toping.

A) $0$
B) $2$
C) $4$
D) $6$

Yechish (qadamma-qadam): Faqat asoslarning oxirgi raqamlarini qaraymiz:

1. $3^{2024}$: 3 ning darajalari davri 4 ga teng ($3, 9, 7, 1$). $2024$ soni 4 ga qoldiqsiz bo'linadi ($2024 = 4 \cdot 506$). Qoldiq 0 bo'lgani uchun oxirgi raqam $3^4$ kabi $1$ bilan tugaydi.
2. $4^{2025}$: 4 ning toq darajalari 4 bilan, juft darajalari 6 bilan tugaydi. $2025$ — toq son, demak oxirgi raqam $4$.
3. $5^{2026}$: 5 ning har qanday natural darajasi $5$ bilan tugaydi.
4. Oxirgi raqamlar yig'indisi: $1 + 4 + 5 = 10$. Yig'indi $0$ bilan tugaydi.

DTM tezkor usuli: $1 + 4 + 5 = 10 \implies$ oxiri 0. 15 soniya yetarli. Javob: A

---

5-misol: Kasrlarni taqqoslash

Quyidagi sonlarni kamayish tartibida joylashtiring: $A = \frac{2021}{2022}, \quad B = \frac{2022}{2023}, \quad C = \frac{2023}{2024}$

A) $A > B > C$
B) $B > C > A$
C) $C > B > A$
D) $C > A > B$

Yechish (qadamma-qadam):

1. Bu kasrlarning barchasi 1 dan kichik to'g'ri kasrlardir.
2. Har bir kasrning 1 ga yetmayotgan qismini hisoblaymiz: $1 - A = \frac{1}{2022}, \quad 1 - B = \frac{1}{2023}, \quad 1 - C = \frac{1}{2024}$
3. Suratlar bir xil (1 ga teng), maxraji katta bo'lgan kasr kichik bo'ladi: $\frac{1}{2022} > \frac{1}{2023} > \frac{1}{2024}$
4. 1 dan kattaroq son ayirilsa, natija kichik bo'ladi: $A < B < C \implies C > B > A$

DTM tezkor usuli: Agar $\dfrac{a}{b}$ to'g'ri kasr bo'lsa ($a < b$) va surat hamda maxrajga bir xil musbat son qo'shilsa, kasr qiymati kattalashadi: $\dfrac{n}{n+1} < \dfrac{n+1}{n+2}$. Demak, $C > B > A$. Javob: C

---

Mashq

Quyidagi masalalarni mustaqil yeching va javobingizni tekshiring.

1. Hisoblang: $\dfrac{2024^2 - 2016^2}{4040}$.
2. Yig'indini hisoblang: $\dfrac{1}{2 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 8} + \dfrac{1}{8 \cdot 11} + \dfrac{1}{11 \cdot 14}$.
3. Amallarni bajaring: $0{,}(27) \cdot \dfrac{11}{3} + 0{,}5$.
4. $7^{2023}$ sonining oxirgi raqamini toping.
5. $A = \dfrac{101}{103}$, $B = \dfrac{103}{105}$, $C = \dfrac{105}{107}$ sonlarini o'sish tartibida joylashtiring.
6. Ko'p qavatli kasrni hisoblang: $\dfrac{5}{1 + \dfrac{2}{3 - \dfrac{1}{2}}}$.
7. Agar $x = 0{,}2(6)$ bo'lsa, $15x + 3$ ifodaning qiymatini toping.
8. $9^{100} - 7^{100}$ ayirmaning oxirgi raqamini toping.
9. Hisoblang: $\dfrac{125^3 - 75^3}{125^2 + 125 \cdot 75 + 75^2}$.
10. Ko'paytmani hisoblang: $\left(1 - \dfrac{1}{4}\right)\left(1 - \dfrac{1}{9}\right)\left(1 - \dfrac{1}{16}\right)\dots\left(1 - \dfrac{1}{100}\right)$.

Javoblar va yechimlar

1. Javob: 8.
   Yechish: Kvadratlar ayirmasi formulasidan: $\dfrac{(2024 - 2016)(2024 + 2016)}{4040} = \dfrac{8 \cdot 4040}{4040} = 8$.

2. Javob: $\dfrac{1}{7}$.
   Yechish: $d = 3$. $S = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{14}\right) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{14} = \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{7}$.

3. Javob: $1{,}5$ (yoki $\dfrac{3}{2}$).
   Yechish: $0{,}(27) = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$. Ko'paytma: $\dfrac{3}{11} \cdot \dfrac{11}{3} = 1$. Natija: $1 + 0{,}5 = 1{,}5$.

4. Javob: 3.
   Yechish: 7 ning darajalari davri 4 ($7, 9, 3, 1$). $2023 = 4 \cdot 505 + 3$. Qoldiq 3 bo'lgani uchun oxirgi raqam $7^3 = 343$ ning oxirgi raqami, ya'ni 3 bo'ladi.

5. Javob: $A < B < C$.
   Yechish: $1 - A = \dfrac{2}{103}$, $1 - B = \dfrac{2}{105}$, $1 - C = \dfrac{2}{107}$. Bu ayirmalar kamayib bormoqda: $\dfrac{2}{103} > \dfrac{2}{105} > \dfrac{2}{107}$. Demak, $A < B < C$.

6. Javob: $2\dfrac{7}{9}$ (yoki $\dfrac{25}{9}$).
   Yechish: Qadamma-qadam pastdan yuqoriga: $3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$. So'ngra $\dfrac{2}{5/2} = \dfrac{4}{5}$. Maxraj: $1 + \dfrac{4}{5} = \dfrac{9}{5}$. Natija: $5 : \dfrac{9}{5} = \dfrac{25}{9} = 2\dfrac{7}{9}$.

7. Javob: 7.
   Yechish: $x = \dfrac{26 - 2}{90} = \dfrac{24}{90} = \dfrac{4}{15}$. U holda $15x + 3 = 15 \cdot \dfrac{4}{15} + 3 = 4 + 3 = 7$.

8. Javob: 0.
   Yechish: $9^{100}$ juft daraja bo'lgani uchun 1 bilan tugaydi. $7^{100}$ da $100$ soni 4 ga bo'linadi, oxirgi raqami 1. Ayirma: $1 - 1 = 0$.

9. Javob: 50.
   Yechish: $\dfrac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a - b$. Bu yerda $125 - 75 = 50$.

10. Javob: $0{,}55$ (yoki $\dfrac{11}{20}$).
    Yechish: Har bir ko'paytuvchini $\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{n+1}{n}$ shaklida yozamiz: $\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\right) \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3}\right) \dots \left(\frac{9}{10} \cdot \frac{11}{10}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{10} = \frac{11}{20} = 0{,}55$

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

1. Aralash davriy kasrni noto'g'ri o'girish:

   • ✗ Noto'g'ri: $0{,}1(6) = \dfrac{16}{90}$ yoki $0{,}1(6) = \dfrac{16}{99}$.
   • ✓ To'g'ri: $0{,}1(6) = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$. Davrgacha bo'lgan butun va kasr qism butun sondan ayirib tashlanishi shart!

2. Oxirgi raqamda qoldiq 0 bo'lganda 0-daraja deb olish:

   • ✗ Noto'g'ri: $2^{40}$ da $40$ soni 4 ga bo'linadi, demak $2^0 = 1$ deb hisoblash.
   • ✓ To'g'ri: Bo'linish qoldig'i 0 bo'lsa, davrning eng oxirgi (4-o'rindagi) hadi olinadi: $2^4 = 16 \implies 6$.

3. Ko'p qavatli kasrlarda asosiy kasr chizig'ini adashtirish:

   • ✗ Noto'g'ri: $\dfrac{a}{\frac{b}{c}}$ bilan $\dfrac{\frac{a}{b}}{c}$ ni bir xil deb bilish.
   • ✓ To'g'ri: $\dfrac{a}{\frac{b}{c}} = \dfrac{ac}{b}$, lekin $\dfrac{\frac{a}{b}}{c} = \dfrac{a}{bc}$. Tenglik belgisi qaysi kasr chizig'ining ro'parasida turganiga qat'iy e'tibor bering.

4. Teleskopik qisqartirishda oraliq masofani unutish:

   • ✗ Noto'g'ri: $\dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dots = 1 - \dfrac{1}{21}$.
   • ✓ To'g'ri: Ko'paytuvchilar ayirmasi $3 - 1 = 2$ bo'lgani uchun tashqariga $\dfrac{1}{2}$ koeffitsiyent chiqarilishi shart: $\dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{21}\right)$.