Foiz, nisbat va proporsiya

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Foiz, nisbat va proporsiya mavzusi DTM imtihonlarida eng ko'p uchraydigan va amaliy hayot bilan bog'liq bo'limdir. Bu mavzudagi savollar faqat qoidani bilishni emas, balki "baza" (nimaning foizi hisoblanayotgani)ni to'g'ri tanlashni talab qiladi.

DTM testlaridagi asosiy yo'nalishlar:

1. Ketma-ket narx o'zgarishlari: narxning bir necha marta oshishi yoki kamayishi natijasida dastlabki narxga nisbatan umumiy o'zgarishni topish.
2. "Teskari foiz" va taqqoslash: agar $A$ soni $B$ dan $p\%$ ortiq bo'lsa, $B$ soni $A$ dan necha foiz kamligini hisoblash.
3. Geometrik kattaliklarning foiz o'zgarishi: shakl o'lchamlari (radius, tomon, balandlik) foizga o'zgarganda uning yuzi yoki hajmining o'zgarishi.
4. Proporsional taqsimot: berilgan sonni to'g'ri yoki teskari proporsional bo'laklarga ajratish.

---

Asosiy formulalar va usullar

1. Boshlang'ich qiymatni 100 deb olish usuli

DTM testlarida aniq son berilmagan, faqat foiz o'zgarishlari so'ralgan masalalarda boshlang'ich miqdorni $100$ deb olish eng qulay va xatosiz usuldir.

2. Ketma-ket foiz o'zgarishi

Agar miqdor dastlab $p\%$ ga, so'ngra $q\%$ ga o'zgarsa:

• $p\%$ ga oshirish $\implies$ sonni $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$ ga ko'paytirish.
• $q\%$ ga kamaytirish $\implies$ sonni $\left(1 - \dfrac{q}{100}\right)$ ga ko'paytirish.
• Yakuniy ko'paytiruvchi: $k = \left(1 \pm \dfrac{p}{100}\right)\left(1 \pm \dfrac{q}{100}\right)$.

Xususiy hol: Bir xil $p\%$ ga oshirilib, so'ng $p\%$ ga kamaytirilsa, natija har doim $\dfrac{p^2}{100}\%$ ga kamayadi.

3. Nisbiy o'zgarish formulasi

Kattalik $A$ dan $B$ ga o'zgarganda foiz o'zgarishi: $\Delta \% = \frac{B - A}{A} \cdot 100\%$

• Natija musbat bo'lsa — ortish;
• Natija manfiy bo'lsa — kamayish. Maxrajda har doim boshlang'ich qiymat turishi shart!

4. Proporsiya va proporsional bo'lish

• Proporsiyaning asosiy xossasi: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff ad = bc$.
• To'g'ri proporsional taqsimot: $N$ sonini $a, b, c$ ga to'g'ri proporsional bo'lish: $kx + bx + cx = N \implies x = \frac{N}{a + b + c}$
• Teskari proporsional taqsimot: $N$ sonini $a, b, c$ ga teskari proporsional bo'lish — uni $\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{1}{c}$ sonlariga to'g'ri proporsional bo'lish demakdir.

---

Yechilgan misollar

1-misol: Ketma-ket narx o'zgarishi

Mahsulot narxi dastlab $20\%$ ga oshirildi, keyin esa yangi narxi $20\%$ ga arzonlashtirildi. Mahsulotning narxi dastlabkiga nisbatan qanday o'zgargan?

A) O'zgarmagan
B) $4\%$ ga kamaygan
C) $4\%$ ga oshgan
D) $2\%$ ga kamaygan

Yechish:

1. Dastlabki narxni $100$ deb olamiz.
2. $20\%$ ga oshirilgach: $100 + 20 = 120$.
3. Yangi narx ($120$) $20\%$ ga arzonlashtirildi: $120 \cdot 0{,}20 = 24 \implies 120 - 24 = 96$
4. Dastlabki narx $100$ edi, $96$ bo'ldi. O'zgarish: $100 - 96 = 4\%$ ga kamaygan.

DTM tezkor usuli: Bir xil $p\%$ ga oshirilib, $p\%$ ga kamaytirilsa, natija doimo $\dfrac{p^2}{100}\%$ ga kamayadi: $\dfrac{20^2}{100} = 4\%$ kamayish. Javob: B

---

2-misol: Yuzaning foiz o'zgarishi

To'g'ri to'rtburchakning bo'yi $30\%$ ga oshirildi, eni esa $20\%$ ga kamaytirildi. Uning yuzi necha foizga o'zgardi?

A) $4\%$ ga ortgan
B) $10\%$ ga ortgan
C) $4\%$ ga kamaygan
D) $6\%$ ga ortgan

Yechish:

1. Dastlabki yuz $S_1 = ab$.
2. Bo'yi: $a_2 = 1{,}3a$. Eni: $b_2 = 0{,}8b$.
3. Yangi yuz: $S_2 = 1{,}3a \cdot 0{,}8b = 1{,}04ab = 1{,}04S_1$.
4. Yuz $1{,}04$ barobar bo'ldi, ya'ni $104\% - 100\% = 4\%$ ga ortdi.

DTM tezkor usuli: Boshlang'ich yuzni $100$ deb olamiz: $100 \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}8 = 104$. Demak, $4\%$ ga ortgan. Javob: A

---

3-misol: Teskari foiz masalasi

$A$ soni $B$ sonining $25\%$ ini tashkil qiladi. $B$ soni $A$ sonining necha foizini tashkil qiladi?

A) $125\%$
B) $250\%$
C) $400\%$
D) $500\%$

Yechish:

1. Shartga ko'ra: $A = 0{,}25 B = \dfrac{1}{4} B$.
2. Bu tenglikdan $B$ ni $A$ orqali ifodalaymiz: $B = 4A$
3. $B$ sonining $A$ ga nisbatan foizini topamiz: $\frac{B}{A} \cdot 100\% = \frac{4A}{A} \cdot 100\% = 400\%$

DTM tezkor usuli: $B = 100$ deb olsak, $A = 25$. $B$ ning $A$ dagi ulushi: $\dfrac{100}{25} \cdot 100\% = 400\%$. Javob: C

---

4-misol: Teskari proporsional bo'lish

$260$ sonini $2, 3$ va $4$ sonlariga teskari proporsional bo'laklarga bo'ling. Eng katta bo'lakni toping.

A) $80$
B) $100$
C) $120$
D) $140$

Yechish:

1. $2, 3, 4$ ga teskari proporsional sonlar $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}$ ga to'g'ri proporsional bo'ladi.
2. Kasrlarni umumiy maxraj 12 ga keltiramiz: $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = \frac{6}{12} : \frac{4}{12} : \frac{3}{12} = 6 : 4 : 3$
3. Bo'laklarni $6k, 4k, 3k$ deb belgilaymiz: $6k + 4k + 3k = 260 \implies 13k = 260 \implies k = 20$
4. Bo'laklar: $6 \cdot 20 = 120$, $4 \cdot 20 = 80$, $3 \cdot 20 = 60$.
5. Eng katta bo'lak: $120$.

DTM tezkor usuli: $6 : 4 : 3$ nisbatda eng kattasi 6 ulush. Jami 13 ulush. $260 \cdot \dfrac{6}{13} = 120$. Javob: C

---

5-misol: Dastlabki qiymatni tiklash

Ishchining maoshi ketma-ket ikki marta $10\%$ dan oshirilgach, $605\,000$ so'm bo'ldi. Ishchining dastlabki maoshi necha so'm bo'lgan?

A) $480\,000$
B) $500\,000$
C) $520\,000$
D) $550\,000$

Yechish:

1. Dastlabki maosh $M$ bo'lsin.
2. Ikki marta $10\%$ ga oshirish: $M \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21M$.
3. Shart bo'yicha: $1{,}21M = 605\,000 \implies M = \frac{605\,000}{1{,}21} = 500\,000 \text{ so'm}$

DTM tezkor usuli: $1{,}21$ ga bo'lamiz: $605 : 121 = 5$, orqasiga nollarni qo'ysak $500\,000$. Javob: B

---

Mashq

Quyidagi masalalarni mustaqil yeching va javobingizni tekshiring.

1. Mahsulot narxi $25\%$ ga arzonlashtirildi. Avvalgi narxni tiklash uchun yangi narxni necha foizga oshirish kerak?
2. Doira radiusi $20\%$ ga oshirilsa, uning yuzi necha foizga ortadi?
3. $A$ soni $B$ dan $60\%$ ga ko'p. $B$ soni $A$ dan necha foizga kam?
4. $360$ sonini $2, 3$ va $7$ sonlariga to'g'ri proporsional uch bo'lakka bo'ling. Eng kichik bo'lakni toping.
5. Avtomobil narxi ketma-ket ikki marta $15\%$ dan pasaytirildi. Narx jami necha foizga pasaygan?
6. Kub qirrasi $10\%$ ga orttirilsa, uning hajmi necha foizga ortadi?
7. Sinfdagi o'g'il bolalar soni qizlar sonining $80\%$ ini tashkil qiladi. Qizlar butun sinf o'quvchilarining necha foizini tashkil etadi?
8. Proporsiyadan noma'lum $x$ ni toping: $\dfrac{2{,}4}{x} = \dfrac{0{,}8}{5}$.
9. Kitob narxi dastlab $40\%$ ga qimmatlashdi, keyin yangi narx $30\%$ ga arzonlashdi. Dastlabki narx necha foizga o'zgargan?
10. Idishdagi suvning $20\%$ i to'kib tashlandi. Dastlabki miqdorni tiklash uchun qolgan suvga o'zining necha foizicha suv qo'shish kerak?

Javoblar va yechimlar

1. Javob: $33\dfrac{1}{3}\%$.
   Yechish: $100$ dan $75$ ga tushdi. $75$ dan $100$ ga chiqish uchun $25$ qo'shiladi: $\dfrac{25}{75} \cdot 100\% = 33\dfrac{1}{3}\%$.

2. Javob: $44\%$.
   Yechish: $S = \pi R^2$. $S_2 = \pi (1{,}2R)^2 = 1{,}44 \pi R^2$. Yuz $44\%$ ga ortadi.

3. Javob: $37{,}5\%$.
   Yechish: $B = 100 \implies A = 160$. Farq: $60$. Foiz kamayish: $\dfrac{60}{160} \cdot 100\% = \dfrac{3}{8} \cdot 100\% = 37{,}5\%$.

4. Javob: 60.
   Yechish: $2k + 3k + 7k = 12k = 360 \implies k = 30$. Eng kichik bo'lak: $2 \cdot 30 = 60$.

5. Javob: $27{,}75\%$.
   Yechish: $100 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}85 = 72{,}25$. Kamayish: $100 - 72{,}25 = 27{,}75\%$.

6. Javob: $33{,}1\%$.
   Yechish: $V = a^3$. $V_2 = (1{,}1a)^3 = 1{,}331a^3$. Hajm $33{,}1\%$ ga ortadi.

7. Javob: $55\dfrac{5}{9}\%$.
   Yechish: Qizlar $100$, o'g'illar $80$, jami $180$. Qizlar ulushi: $\dfrac{100}{180} \cdot 100\% = \dfrac{5}{9} \cdot 100\% = 55\dfrac{5}{9}\%$.

8. Javob: 15.
   Yechish: $0{,}8x = 2{,}4 \cdot 5 = 12 \implies x = \dfrac{12}{0{,}8} = 15$.

9. Javob: $2\%$ ga kamaygan.
   Yechish: $100 \cdot 1{,}4 \cdot 0{,}7 = 98$. O'zgarish: $100 - 98 = 2\%$ ga kamaygan.

10. Javob: $25\%$.
    Yechish: $100$ dan $80$ qoldi. $20$ yetishmayapti. Qolgan miqdorga nisbatan: $\dfrac{20}{80} \cdot 100\% = 25\%$.

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

1. Foiz oshishi va kamayishini teng deb o'ylash:

   • ✗ Noto'g'ri: Narx $20\%$ oshib, so'ng $20\%$ tushsa, yana avvalgi holiga keladi deb hisoblash.
   • ✓ To'g'ri: Ikkinchi foiz kattaroq songa nisbatan hisoblangani uchun yakunda narx har doim arzonlashadi: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ (ya'ni $4\%$ arzon).

2. Taqqoslashda maxrajni adashtirish:

   • ✗ Noto'g'ri: "A soni B dan 25% katta bo'lsa, B soni A dan 25% kichik" deb xulosa qilish.
   • ✓ To'g'ri: Farq bir xil bo'lsa ham, baza har xil. $B$ sonining $A$ dan kamayishi: $\dfrac{25}{125} \cdot 100\% = 20\%$ bo'ladi.

3. Yuza va hajmda foizni chiziqli o'ylash:

   • ✗ Noto'g'ri: Kvadrat tomoni $20\%$ ortsa, yuzi ham $20\%$ ortadi deb hisoblash.
   • ✓ To'g'ri: Yuza o'lchov kvadratiga to'g'ri proporsional: $(1{,}2)^2 = 1{,}44$, demak yuzi $44\%$ ortadi.

4. Teskari proporsionallikni to'g'ri proporsional kabi qo'shish:

   • ✗ Noto'g'ri: $2$ va $3$ ga teskari proporsional bo'laklarni $2k$ va $3k$ deb belgilash.
   • ✓ To'g'ri: Teskari proporsional bo'lganda $\dfrac{k}{2}$ va $\dfrac{k}{3}$ (yoki umumiy maxraj berib $3 : 2$ nisbatda) olinadi.