Harakat masalalari

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Harakat masalalari DTM testlarining doimiy tarkibiy qismidir. Ko'p uchraydigan savol turlari:

1. Qarama-qarshi harakat va quvib yetish: uchrashuv vaqti va masofasi.
2. Daryoda harakat: oqim bo'yicha, oqimga qarshi harakat hamda oqizilgan sol.
3. O'rtacha tezlik: butun yo'l uchun o'rtacha tezlikni to'g'ri hisoblash.
4. Poyezd masalalari: harakatsiz jism yoki ko'prik/tunneldan to'liq o'tish.
5. Tezlik o'zgarishi va kechikish: rejalashtirilgan va haqiqiy vaqtlar farqi.

DTMda vaqt chegaralanganligi sababli uzun kvadrat tenglamalarni yechish o'rniga variantlarni tekshirish yoki proporsiyalardan foydalanish tavsiya etiladi.

---

Asosiy formulalar va usullar

Asosiy munosabat: $s = v \cdot t$, $v = \dfrac{s}{t}$, $t = \dfrac{s}{v}$.

Harakat turi	Formula	Eslatma
Qarama-qarshi	$v_{\text{yaq}} = v_1 + v_2$	$t = \dfrac{s}{v_1 + v_2}$
Bir yo'nalishda (quvish)	$v_{\text{quvish}} = v_1 - v_2$	$t = \dfrac{s_0}{v_1 - v_2} \quad (v_1 > v_2)$
Oqim bo'ylab	$v_{\text{bo'ylab}} = v_k + v_o$	Kater va oqim qo'shiladi
Oqimga qarshi	$v_{\text{qarshi}} = v_k - v_o$	Oqim tezligi ayriladi ($v_k > v_o$)
O'rtacha tezlik	$v_{\text{o'rt}} = \dfrac{s_{\text{jami}}}{t_{\text{jami}}}$	Teng masofalarda: $v_{\text{o'rt}} = \dfrac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$
Poyezd ko'prikdan o'tishi	$s = L_{\text{poyezd}} + L_{\text{ko'prik}}$	$t = \dfrac{L_{\text{p}} + L_{\text{k}}}{v}$
Birliklar	$1\text{ m/s} = 3{,}6\text{ km/soat}$	$\text{km/soat} \to \text{m/s}$ uchun $3{,}6$ ga bo'linadi

---

Yechilgan misollar

1-misol: Qarama-qarshi harakat

A va B shaharlar orasidagi masofa $480\text{ km}$. Ulardan bir vaqtda bir-biriga qarab ikki avtomobil yo'lga chiqdi va $3\text{ soat}$dan keyin uchrashdi. Birinchi avtomobilning tezligi ikkinchisinikidan $20\text{ km/soat}$ ortiq bo'lsa, birinchi avtomobil tezligini ($\text{km/soat}$) toping.

A) $70$
B) $80$
C) $90$
D) $100$

Yechim: Yaqinlashish tezligi: $v_1 + v_2 = \dfrac{480}{3} = 160\text{ km/soat}$.
Tezliklar farqi: $v_1 - v_2 = 20\text{ km/soat}$.
Tenglamalarni qo'shamiz: $2v_1 = 180 \implies v_1 = 90\text{ km/soat}$.

Tezroq yo'l: Variantlardan tekshirish: agar $v_1 = 90$ bo'lsa, $v_2 = 70$. Yig'indi: $90 + 70 = 160$. $160 \cdot 3 = 480\text{ km}$.
To'g'ri javob: C.

---

2-misol: O'rtacha tezlik

Avtomobil manzilga $60\text{ km/soat}$ tezlik bilan bordi va orqaga $40\text{ km/soat}$ bilan qaytdi. Avtomobilning butun yo'ldagi o'rtacha tezligini ($\text{km/soat}$) toping.

A) $48$
B) $50$
C) $52$
D) $45$

Yechim: Masofalar teng bo'lgani uchun: $v_{\text{o'rt}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48\text{ km/soat}$

Tezroq yo'l: Arifmetik o'rtacha $\dfrac{60+40}{2} = 50$ — DTMdagi mashhur tuzoq! Haqiqiy o'rtacha tezlik doimo kichikroq tezlik tomon og'adi, ya'ni $48$.
To'g'ri javob: A.

---

3-misol: Daryoda oqimga qarshi va bo'ylab harakat

Kater oqim bo'yicha $45\text{ km}$ va oqimga qarshi $22\text{ km}$ suzib, jami $5\text{ soat}$ sarfladi. Daryo oqimining tezligi $2\text{ km/soat}$ bo'lsa, katerning turg'un suvdagi tezligini ($\text{km/soat}$) toping.

A) $11$
B) $12$
C) $13$
D) $15$

Yechim: Tenglama tuzamiz: $\frac{45}{v+2} + \frac{22}{v-2} = 5$ Kvadrat tenglama ko'rinishi: $5v^2 - 67v + 26 = 0$. Ildizlari: $v = 13$ va $v = 0{,}4$. Kater tezligi $v > 2$ bo'lgani uchun $v = 13\text{ km/soat}$.

Tezroq yo'l: $v+2$ soni $45$ ga, $v-2$ esa $22$ ga karrali bo'lishi kerak. Variantlardagi $13$ soni uchun: $13+2=15$ ($45/15=3$) va $13-2=11$ ($22/11=2$). Yig'indi: $3+2=5$.
To'g'ri javob: C.

---

4-misol: Poyezd va ko'prik uzunligi

Uzunligi $180\text{ m}$ bo'lgan poyezd uzunligi $420\text{ m}$ bo'lgan ko'prikdan $30\text{ soniya}$da to'liq o'tib ketdi. Poyezd tezligini $\text{km/soat}$ da toping.

A) $60$
B) $72$
C) $80$
D) $90$

Yechim: To'liq masofa: $s = 180 + 420 = 600\text{ m}$.
Tezlik: $v = \dfrac{600}{30} = 20\text{ m/s}$.
$\text{km/soat}$ ga o'tkazish: $20 \cdot 3{,}6 = 72\text{ km/soat}$.

Tezroq yo'l: $10\text{ m/s} = 36\text{ km/soat}$, demak $20\text{ m/s} = 72\text{ km/soat}$.
To'g'ri javob: B.

---

5-misol: Kechikish va tezlikni oshirish

Avtomobil $240\text{ km}$ masofani bosib o'tishi kerak edi. Yo'lning yarmida u $30\text{ minut}$ to'xtab qoldi. Manzilga vaqtida yetish uchun qolgan yo'lda tezligini $20\text{ km/soat}$ ga oshirdi. Avtomobilning dastlabki tezligini ($\text{km/soat}$) toping.

A) $50$
B) $60$
C) $70$
D) $80$

Yechim: Yo'lning yarmi $120\text{ km}$. Vaqtlar farqi: $\dfrac{120}{v} - \dfrac{120}{v+20} = 0{,}5$.
$v^2 + 20v - 4800 = 0 \implies (v-60)(v+80) = 0 \implies v = 60\text{ km/soat}$.

Tezroq yo'l: $v=60$ bo'lsa: $\dfrac{120}{60} - \dfrac{120}{80} = 2 - 1{,}5 = 0{,}5\text{ soat}$ ($30\text{ minut}$).
To'g'ri javob: B.

---

Mashq

1. Ikki shahar orasidagi masofa $360\text{ km}$. Ikki mashina bir-biriga qarab $60\text{ km/soat}$ va $90\text{ km/soat}$ tezlikda chiqdi. Ular necha soatdan keyin uchrashadi?

Yechim

$t = \dfrac{360}{60 + 90} = \dfrac{360}{150} = 2{,}4\text{ soat}$.

2. Poyezd $450\text{ m}$ li tunneldan $25\text{ soniya}$da, ustun yonidan $10\text{ soniya}$da o'tdi. Poyezd uzunligini ($\text{m}$) toping.

Yechim

Ustun yonidan: $L = 10v$. Tunneldan: $L + 450 = 25v$. $15v = 450 \implies v = 30\text{ m/s}$. $L = 10 \cdot 30 = 300\text{ m}$.

3. Kater oqim bo'yicha $80\text{ km}$ masofani $4\text{ soat}$da, oqimga qarshi $60\text{ km}$ masofani $5\text{ soat}$da o'tdi. Katerning turg'un suvdagi tezligini toping.

Yechim

$v_k + v_o = 20$, $v_k - v_o = 12$. Qo'shsak: $2v_k = 32 \implies v_k = 16\text{ km/soat}$.

4. Yo'lovchi poyezdi yuk poyezdidan $3\text{ soat}$ keyin chiqib, uni $6\text{ soat}$da quvib yetdi. Yuk poyezdi tezligi $50\text{ km/soat}$ bo'lsa, yo'lovchi poyezdi tezligini toping.

Yechim

Yuk poyezdi $9\text{ soat}$da: $9 \cdot 50 = 450\text{ km}$. Yo'lovchi poyezdi tezligi: $\dfrac{450}{6} = 75\text{ km/soat}$.

5. Avtomobil yo'lning birinchi $120\text{ km}$ ini $60\text{ km/soat}$ tezlikda, keyingi $180\text{ km}$ ini $90\text{ km/soat}$ tezlikda bosib o'tdi. O'rtacha tezlikni toping.

Yechim

$t_1 = 2\text{ soat}$, $t_2 = 2\text{ soat}$. $s_{\text{jami}} = 300\text{ km}$, $t_{\text{jami}} = 4\text{ soat}$. $v_{\text{o'rt}} = \dfrac{300}{4} = 75\text{ km/soat}$.

6. Ikkinchi velosipedchi birinchisidan $2\text{ km/soat}$ sekin yurib, $100\text{ km}$ yo'lga $2{,}5\text{ soat}$ ko'p vaqt sarfladi. Ikkinchi velosipedchi tezligini toping.

Yechim

$\dfrac{100}{v} - \dfrac{100}{v+2} = 2{,}5 \implies v^2 + 2v - 80 = 0 \implies v = 8\text{ km/soat}$.

7. Aylana yo'l uzunligi $400\text{ m}$. Ikki yuguruvchi bir yo'nalishda $5\text{ m/s}$ va $3\text{ m/s}$ tezlikda yugurmoqda. Birinchi marta necha sekunddan keyin uchrashishadi?

Yechim

$t = \dfrac{400}{5 - 3} = \dfrac{400}{2} = 200\text{ soniya}$.

8. Qayiq oqim bo'ylab $36\text{ km}$ suzib qaytdi va jami $5\text{ soat}$ sarfladi. Oqim tezligi $3\text{ km/soat}$ bo'lsa, qayiq tezligini toping.

Yechim

$\dfrac{36}{v+3} + \dfrac{36}{v-3} = 5 \implies 5v^2 - 72v - 45 = 0 \implies v = 15\text{ km/soat}$.

9. Bir vaqtda bir-biriga qarab chiqqan ikki mashina uchrashgach, biri manzilga $2\text{ soat}$da, ikkinchisi $4{,}5\text{ soat}$da yetdi. Ular necha soatda uchrashgan?

Yechim

Uchrashuv vaqti: $t = \sqrt{t_1 \cdot t_2} = \sqrt{2 \cdot 4{,}5} = \sqrt{9} = 3\text{ soat}$.

10. Qayiq oqim bo'yicha suzib, soldan o'zib ketdi va $1\text{ soat}$dan keyin orqaga burildi. Qayiq sol bilan yana necha soatdan keyin uchrashadi?

Yechim

Suv bilan bog'langan sanoq sistemasida sol qo'zg'almas. Qayiq soldan $1\text{ soat}$ uzoqlashgan bo'lsa, qaytib kelishiga ham aynan $1\text{ soat}$ ketadi.

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

1. O'rtacha tezlikni noto'g'ri hisoblash: Masofalar teng bo'lganda tezliklarni shunchaki qo'shib 2 ga bo'lmang. $v_{\text{o'rt}} = \dfrac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ formulasini qo'llang.
2. Vaqt birliklarini aralashtirish: Masalada minut berilgan bo'lsa ($30\text{ min}$, $45\text{ min}$), ularni soatga ($0{,}5\text{ soat}$, $\dfrac{3}{4}\text{ soat}$) aylantirishni unutmang.
3. Poyezd uzunligini hisobga olmaslik: Poyezd ko'prikdan to'liq o'tishi uchun $L_{\text{poyezd}} + L_{\text{ko'prik}}$ masofani bosib o'tishi shart.
4. Chet ildizni tanlash: Kvadrat tenglama yechilganda manfiy ildiz tashlab yuboriladi, daryo masalalarida esa kater tezligi oqim tezligidan katta bo'lishi shart ($v_k > v_o$).

---

DTM imtihoni uchun yakuniy tavsiyalar

1. Harakat yo'nalishini aniqlang: qarama-qarshi bo'lsa tezliklar qo'shiladi ($v_1 + v_2$), bir tomonga bo'lsa ayriladi ($v_1 - v_2$).
2. Matndan ratsional tenglama chiqqan zahoti kvadrat tenglama yechishga shoshilmang — variantlardagi butun sonlarni tenglamaga qo'yib tekshiring.
3. Savol oxirida nima so'ralganiga diqqat qiling: birinchi jismning tezligimi, ikkinchisinikimi yoki ular orasidagi masofami?