Aralashma va qotishma masalalari

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Aralashma, eritma va qotishma masalalari DTM imtihonlarida doimiy uchraydi. Asosiy savol turlari:

1. Ikki eritma yoki qotishmani aralashtirish: yangi aralashmaning konsentratsiyasini topish.
2. Suv qo'shish (suyultirish): konsentratsiyani kamaytirish uchun kerakli suv miqdori.
3. Suvni bug'lantirish: konsentratsiyani oshirish uchun bug'latiladigan suv massasi.
4. Sof modda qo'shish: eritmaga toza tuz, kislota yoki metall qo'shish.
5. Namlik va quritish masalalari: ho'l va quruq mevalar (quruq modda saqlanishi).

DTMda bu masalalarni tez yechishning kaliti — diagonal (krest) usuli va sof modda massasining saqlanish qonunidir.

---

Asosiy formulalar va usullar

Konsentratsiya (foiz ulush): $C = \frac{m_{\text{modda}}}{m_{\text{eritma}}} \cdot 100\%, \quad m_{\text{modda}} = m_{\text{eritma}} \cdot \frac{C}{100\%}$

Erigan sof modda massasining saqlanishi: $m_1 \cdot C_1 + m_2 \cdot C_2 = (m_1 + m_2) \cdot C_{\text{yangi}}$

Jarayon	Sof modda foizi ($C$)	Massaga ta'siri
Suv qo'shish	$C = 0\%$	Eritma massasi oshadi, modda o'zgarmaydi
Suv bug'lantirish	$C = 0\%$	Eritma massasi kamayadi, modda o'zgarmaydi
Sof modda qo'shish	$C = 100\%$	Ham modda, ham umumiy massa oshadi
Quruq meva masalasi	$m_{\text{quruq}} = \text{const}$	$M_{\text{ho'l}} \cdot (100\% - P_1) = M_{\text{quruq}} \cdot (100\% - P_2)$

Diagonal (krest) usuli — DTM tezkor quroli

Ikki turli konsentratsiyadagi ($C_1$ va $C_2$) eritmalardan $C_{\text{ar}}$ konsentratsiyali aralashma olish uchun ularning massalari nisbati: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{|C_2 - C_{\text{ar}}|}{|C_1 - C_{\text{ar}}|}$

---

Yechilgan misollar

1-misol: Ikki eritmani aralashtirish

$20\%\text{ li } 300\text{ g}$ tuzli eritmaga $40\%\text{ li } 200\text{ g}$ tuzli eritma qo'shildi. Yangi eritmaning konsentratsiyasini (foizda) toping.

A) $26$
B) $28$
C) $30$
D) $32$

Yechim:
1-eritmadagi sof tuz: $300 \cdot 0{,}20 = 60\text{ g}$.
2-eritmadagi sof tuz: $200 \cdot 0{,}40 = 80\text{ g}$.
Jami tuz: $60 + 80 = 140\text{ g}$.
Jami eritma: $300 + 200 = 500\text{ g}$.
Konsentratsiya: $C = \frac{140}{500} \cdot 100\% = 28\%$

Tezroq yo'l: Massalar nisbati $300 : 200 = 3 : 2$. O'rtacha foiz: $C = \frac{3 \cdot 20 + 2 \cdot 40}{3 + 2} = \frac{60 + 80}{5} = \frac{140}{5} = 28\%$
To'g'ri javob: B.

---

2-misol: Suv qo'shish (suyultirish)

$30\%\text{ li } 400\text{ g}$ kislota eritmasiga qancha suv ($\text{g}$) qo'shilsa, $20\%\text{ li}$ eritma hosil bo'ladi?

A) $150$
B) $200$
C) $250$
D) $300$

Yechim:
Kislota massasi o'zgarmaydi: $400 \cdot 0{,}30 = 120\text{ g}$.
Bu $120\text{ g}$ kislota yangi eritmada $20\%$ bo'lishi kerak: $M_{\text{yangi}} = \frac{120}{0{,}20} = 600\text{ g}$ Qo'shilgan suv: $600 - 400 = 200\text{ g}$.

Tezroq yo'l (diagonal usuli):
Eritma ($30\%$) va Suv ($0\%$) aralashib $20\%$ beradi.
Nisbat: $\dfrac{m_{\text{eritma}}}{m_{\text{suv}}} = \dfrac{20 - 0}{30 - 20} = \dfrac{20}{10} = \dfrac{2}{1}$.
Eritma $400\text{ g}$ bo'lsa, suv: $400 / 2 = 200\text{ g}$.
To'g'ri javob: B.

---

3-misol: Suv bug'lantirish

Tarkibida $10\%$ shakar bo'lgan $600\text{ g}$ sharbatdan qancha suv ($\text{g}$) bug'latilsa, uning konsentratsiyasi $15\%$ ga yetadi?

A) $100$
B) $150$
C) $200$
D) $250$

Yechim:
Shakar massasi: $600 \cdot 0{,}10 = 60\text{ g}$.
Yangi eritma massasi: $M_{\text{yangi}} = \dfrac{60}{0{,}15} = 400\text{ g}$.
Bug'langan suv massasi: $600 - 400 = 200\text{ g}$.

Tezroq yo'l: Konsentratsiya $10\%$ dan $15\%$ ga oshdi (ya'ni $1{,}5$ marta ortdi). Demak, eritma massasi $1{,}5$ marta kamayishi kerak: $600 / 1{,}5 = 400\text{ g}$. Bug'langan suv: $600 - 400 = 200\text{ g}$.
To'g'ri javob: C.

---

4-misol: Qotishma masalasi

Massasi $12\text{ kg}$ bo'lgan $45\%\text{ li}$ mis qotishmasiga $60\%\text{ li}$ mis qotishmasidan qancha ($\text{kg}$) qo'shilsa, mis ulushi $50\%$ bo'ladi?

A) $4$
B) $5$
C) $6$
D) $8$

Yechim:
Qo'shiladigan qotishma massasi $x\text{ kg}$ bo'lsin. $12 \cdot 0{,}45 + x \cdot 0{,}60 = (12 + x) \cdot 0{,}50$ $5{,}4 + 0{,}6x = 6 + 0{,}5x \implies 0{,}1x = 0{,}6 \implies x = 6\text{ kg}$

Tezroq yo'l (diagonal usuli):
Nisbat: $\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{60 - 50}{50 - 45} = \dfrac{10}{5} = \dfrac{2}{1}$.
Demak, $m_2 = \dfrac{m_1}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\text{ kg}$.
To'g'ri javob: C.

---

5-misol: Namlik va quruq modda saqlanishi

Yangi uzilgan mevaning namligi $80\%$, quritilgan mevaniki esa $20\%$. $100\text{ kg}$ yangi mevadan necha kg quritilgan meva olinadi?

A) $20$
B) $25$
C) $30$
D) $40$

Yechim:
Quruq modda massasi o'zgarmasdir:
Yangi mevada quruq modda: $100\% - 80\% = 20\%$.
Quruq modda massasi: $100 \cdot 0{,}20 = 20\text{ kg}$.
Quritilgan mevada quruq modda: $100\% - 20\% = 80\%$.
Quritilgan meva massasi: $M = \frac{20}{0{,}80} = 25\text{ kg}$

Tezroq yo'l: $M_1 \cdot 20\% = M_2 \cdot 80\% \implies M_2 = 100 \cdot \dfrac{20}{80} = 25\text{ kg}$.
To'g'ri javob: B.

---

Mashq

1. $15\%\text{ li } 200\text{ g}$ va $25\%\text{ li } 300\text{ g}$ tuzli eritmalar aralashtirildi. Hosil bo'lgan eritmaning konsentratsiyasini toping.

Yechim

Tuz: $200 \cdot 0{,}15 + 300 \cdot 0{,}25 = 30 + 75 = 105\text{ g}$. $C = \dfrac{105}{500} \cdot 100\% = 21\%$.

2. $500\text{ g } 20\%\text{ li}$ spirt eritmasiga $100\text{ g}$ sof spirt qo'shildi. Yangi konsentratsiyani toping.

Yechim

Spirt: $500 \cdot 0{,}20 + 100 = 200\text{ g}$. Jami eritma: $600\text{ g}$. $C = \dfrac{200}{600} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\%$.

3. $70\%\text{ li } 400\text{ g}$ kislotadan $20\%\text{ li}$ eritma tayyorlash uchun qancha ($\text{g}$) suv qo'shish kerak?

Yechim

Kislota: $400 \cdot 0{,}70 = 280\text{ g}$. Yangi eritma: $\dfrac{280}{0{,}20} = 1400\text{ g}$. Suv: $1400 - 400 = 1000\text{ g}$.

4. $40\%\text{ li}$ va $10\%\text{ li}$ eritmalardan $20\%\text{ li } 600\text{ g}$ eritma tayyorlandi. Har biridan qanchadan olingan?

Yechim

Diagonal: $\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{20 - 10}{40 - 20} = \dfrac{1}{2}$. $1+2=3$ qism $= 600\text{ g}$. $200\text{ g}$ ($40\%$) va $400\text{ g}$ ($10\%$).

5. Tarkibida $8\%$ tuz bo'lgan $800\text{ g}$ suvdan qancha suv bug'latilsa, tuz $10\%$ bo'ladi?

Yechim

Tuz: $800 \cdot 0{,}08 = 64\text{ g}$. Yangi eritma: $\dfrac{64}{0{,}10} = 640\text{ g}$. Bug'langan suv: $800 - 640 = 160\text{ g}$.

6. $16\text{ kg } 70\%\text{ li}$ va $24\text{ kg } 90\%\text{ li}$ mis qotishmalari birga eritilsa, yangi qotishmada necha foiz mis bo'ladi?

Yechim

Mis: $16 \cdot 0{,}70 + 24 \cdot 0{,}90 = 32{,}8\text{ kg}$. Foiz: $\dfrac{32{,}8}{40} \cdot 100\% = 82\%$.

7. Yangi uzumda $90\%$, mayizda $12\%$ suv bor. $44\text{ kg}$ mayiz olish uchun necha kg uzum kerak?

Yechim

Mayizdagi quruq modda: $44 \cdot 0{,}88 = 38{,}72\text{ kg}$. Uzum massasi: $\dfrac{38{,}72}{0{,}10} = 387{,}2\text{ kg}$.

8. $2\text{ l } 30\%\text{ li}$ tuzli eritmaga $3\text{ l } 10\%\text{ li}$ eritma va $5\text{ l}$ suv qo'shildi. Yangi konsentratsiyani toping.

Yechim

Tuz: $2 \cdot 0{,}30 + 3 \cdot 0{,}10 = 0{,}9\text{ l}$. Jami: $10\text{ l}$. $C = \dfrac{0{,}9}{10} \cdot 100\% = 9\%$.

9. Idishda $10\text{ l}$ sof spirt bor edi. Undan $2\text{ l}$ olinib, o'rniga suv quyildi. So'ng yana $2\text{ l}$ aralashma olinib, suv quyildi. Idishda necha foizli spirt qoldi?

Yechim

Spirtning har safar $0{,}8$ qismi qoladi. Ikki martadan so'ng: $10 \cdot 0{,}8^2 = 6{,}4\text{ l}$. Konsentratsiya: $64\%$.

10. 1-qotishmada oltin va kumush $2 : 3$, 2-qotishmada $3 : 7$ nisbatda. Yangi qotishmada nisbat $5 : 11$ bo'lishi uchun ulardan qanday nisbatda olish kerak?

Yechim

Oltin ulushlari: $C_1 = \dfrac{2}{5} = \dfrac{32}{80}$, $C_2 = \dfrac{3}{10} = \dfrac{24}{80}$, $C_{\text{ar}} = \dfrac{5}{16} = \dfrac{25}{80}$. Diagonal: $\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{25 - 24}{32 - 25} = \dfrac{1}{7}$.

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

1. Konsentratsiyalarni to'g'ridan-to'g'ri qo'shish:
   ✗ Noto'g'ri: $20\%$ li eritmaga $30\%$ li eritma qo'shilsa, $50\%$ li bo'ladi.
   ✓ To'g'ri: Yangi konsentratsiya har doim $20\%$ va $30\%$ oralig'ida bo'ladi.

2. Suv qo'shilganda erigan moddani ham oshirish:
   Suv qo'shilganda faqat maxraj (eritma massasi) oshadi, erigan tuz yoki kislota massasi esa mutlaqo o'zgarmaydi.

3. Meva masalalarida suv bo'yicha proporsiya tuzish:
   Suv bug'lanib ketadi, shuning uchun proporsiyani o'zgarmas kattalik — quruq modda bo'yicha tuzish shart ($100\% - P\%$).

4. Sof modda qo'shilganda maxrajni oshirishni unutish:
   $100\text{ g}$ tuz qo'shilsa, u suratga ham ($m_{\text{tuz}} + 100$), maxrajga ham ($M_{\text{eritma}} + 100$) qo'shiladi.

---

DTM imtihoni uchun yakuniy tavsiyalar

1. Ikki eritma yoki qotishma aralashtirilayotgan bo'lsa, birinchi navbatda diagonal (krest) usulini qo'llang. Bu usul tenglama tuzishga ketadigan vaqtni tejaydi.
2. Namlik yoki quritishga oid masalalarda darhol quruq qoldiq foizini hisoblang: $100 - \text{namlik}$.
3. Tekshirish: hosil bo'lgan yangi konsentratsiya doimo aralashtirilgan komponentlar foizlarining o'rtasida yotishi shart ($C_{\text{kichik}} < C_{\text{yangi}} < C_{\text{katta}}$).