Yosh va raqamli sonlar masalalari

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

DTM testlarida yoshga va xonali sonlarga oid savollar quyidagi turlarda uchraydi:

1. Yoshlar nisbatlari: O'tmish, hozir va kelajakdagi yoshlar bog'liqligi.
2. Umumiy va o'rtacha yosh: Guruh yoshlari yig'indisi va yangi tug'ilgan bolalar hisobi.
3. Mantiqiy yosh masalalari: "Men sening yoshingda bo'lganimda..." shaklidagi sistemalar.
4. Xonali sonlar yoyilmasi: $\overline{ab} = 10a + b$ va $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ ifodalari.
5. Raqamlar almashuvi: $\overline{ba} - \overline{ab} = 9(b - a)$ va qoldiqli bo'linish.

---

Asosiy formulalar va usullar

1. Yosh masalalari qoidalari

• O'zgarmas farq: Ikki insonning yoshlari ayirmasi vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi: $(A + t) - (B + t) = A - B = \text{const}$
• Guruh yoshlari yig'indisi: $n$ kishining $t$ yildan keyingi yoshlari yig'indisi $n \cdot t$ taga ortadi: $S_t = S_0 + n \cdot t$

2. Raqamli sonlar formulalari

• Razryad yoyilmasi: $\overline{ab} = 10a + b$ ($1 \le a \le 9$, $0 \le b \le 9$).
• Raqamlar almashuvi: $\overline{ab} + \overline{ba} = 11(a + b)$ $\overline{ab} - \overline{ba} = 9(a - b)$ $\overline{abc} - \overline{cba} = 99(a - c)$
• Qoldiqli bo'lish: $A = B \cdot q + r$, bunda $0 \le r < B$.

---

Yechilgan misollar

1-misol: Yoshlar farqiga doir masala

Ota o'g'lidan 26 yosh katta. 5 yil oldin otaning yoshi o'g'lining yoshidan 3 marta katta edi. Hozir o'g'il necha yoshda?

A) $16$ B) $18$ C) $20$ D) $22$

Yechimi:

1. Yoshlar farqi har doim 26 ga teng.
2. 5 yil oldin o'g'il $x$ bo'lsa, ota $3x$ bo'lgan: $3x - x = 26 \implies 2x = 26 \implies x = 13$
3. Hozir o'g'il: $13 + 5 = 18$ yoshda.

Tezroq yo'l: Variantlardan tekshirish: o'g'il 18 da bo'lsa, ota $18 + 26 = 44$ da. 5 yil oldin: o'g'il 13, ota 39. $39 : 13 = 3$.

Javob: B

---

2-misol: Kichik farzandli oila yoshi

4 kishilik oilaning hozirgi yoshlari yig'indisi 76 ga teng. 4 yil oldin ularning yoshlari yig'indisi 61 ga teng bo'lgan. Kichik farzand hozir necha yoshda?

A) $2$ B) $3$ C) $4$ D) $5$

Yechimi:

1. Agar 4 kishi ham 4 yil oldin bo'lganida, yig'indi $4 \cdot 4 = 16$ taga kamayib, $76 - 16 = 60$ bo'lardi.
2. Haqiqatda yig'indi 61 bo'lgan, ya'ni $61 - 60 = 1$ yil ko'p.
3. Demak, kichik farzand $4 - 1 = 3$ yil oldin tug'ilgan. Hozir u 3 yoshda.

Tezroq yo'l: Kichik farzand yoshini $x$ desak: $(76 - x) - 12 = 61 \implies x = 3$.

Javob: B

---

3-misol: Raqamlar o'rni almashishi

Ikki xonali sonning raqamlari yig'indisi 12 ga teng. Agar unga 36 qo'shilsa, raqamlari teskari tartibda yozilgan son hosil bo'ladi. Dastlabki sonni toping.

A) $39$ B) $48$ C) $57$ D) $66$

Yechimi:

1. $\overline{ba} - \overline{ab} = 36 \implies 9(b - a) = 36 \implies b - a = 4$.
2. $a + b = 12$ bilan birga qo'shsak: $2b = 16 \implies b = 8$, unda $a = 4$.
3. Dastlabki son: $48$.

Tezroq yo'l: Variantlarga 36 qo'shib ko'ramiz: $48 + 36 = 84$ (48 ning teskarisi).

Javob: B

---

4-misol: Raqamlar yig'indisi va ko'paytmasi

Ikki xonali son o'z raqamlari yig'indisidan 4 marta, raqamlari ko'paytmasidan esa 2 marta katta. Shu sonning raqamlari ko'paytmasini toping.

A) $12$ B) $16$ C) $18$ D) $24$

Yechimi:

1. $\overline{ab} = 4(a + b) \implies 10a + b = 4a + 4b \implies 6a = 3b \implies b = 2a$.
2. $\overline{ab} = 2ab \implies 12a = 4a^2 \implies a = 3$ (chunki $a \ne 0$).
3. Unda $b = 6$, son $36$.
4. Raqamlar ko'paytmasi: $3 \cdot 6 = 18$.

Tezroq yo'l: $b = 2a$ bo'lgan sonlar: 12, 24, 36, 48. Ulardan faqat 36 soni $2 \cdot (3 \cdot 6) = 36$ shartini beradi.

Javob: C

---

5-misol: Yoshlar nisbati

Aka ukasidan 6 yosh katta. 3 yildan keyin ularning yoshlari nisbati $4 : 3$ bo'ladi. Hozir uka necha yoshda?

A) $12$ B) $15$ C) $18$ D) $21$

Yechimi:

1. Yoshlar farqi har doim 6 ga teng.
2. 3 yildan keyin nisbat $4 : 3$, ya'ni farq $4 - 3 = 1$ qism $= 6$ yosh.
3. 3 yildan so'ng uka $3 \cdot 6 = 18$ da bo'ladi.
4. Hozir uka: $18 - 3 = 15$ yoshda.

Tezroq yo'l: 3 yildan keyin ukaning yoshi 3 ga karrali bo'ladi. Variantlarga 3 qo'shamiz: 15+3=18. Uka 18, aka 24, nisbat $24 : 18 = 4 : 3$.

Javob: B

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

[!WARNING] 1. Yoshlar farqi o'zgarmasligi Odamlar ulg'aygan sari ularning yoshlari ayirmasi doimo o'zgarmas qoladi.

2. Yangi tug'ilgan bolalar hisobi Oila a'zolarining o'tmishdagi yoshini hisoblashda bolaning yoshini hisobga oling; u hali tug'ilmagan bo'lishi mumkin.

3. Xonali son va ko'paytma $\overline{ab} = 10a + b$, bu $a \cdot b$ emas. Bosh raqam $a \ge 1$.

---

Mashq

1. Ali 14 yoshda, otasi 42 yoshda. Necha yildan keyin ota Alidan 2 marta katta bo'ladi?

Yechimi

Farq: $42 - 14 = 28$. 1 qism $= 28$. Ali 28 yoshga to'lishi kerak: $28 - 14 = 14$ yildan keyin. Javob: 14

2. Bobo va nabiraning yoshlari yig'indisi 72 ga teng. Bobo nabirasidan 5 marta katta. Bobo necha yoshda?

Yechimi

$x + 5x = 72 \implies 6x = 72 \implies x = 12$. Bobo: $5 \cdot 12 = 60$. Javob: 60

3. Ona 36 yoshda, 3 nafar farzandi 3, 7 va 10 yoshda. Necha yildan keyin onaning yoshi farzandlari yoshlari yig'indisiga teng bo'ladi?

Yechimi

Farzandlar hozirgi yig'indisi: $3 + 7 + 10 = 20$. $36 + t = 20 + 3t \implies 2t = 16 \implies t = 8$. Javob: 8

4. O'quvchi o'ylagan soniga 15 ni qo'shib, natijani 4 ga ko'paytirdi va 20 ni ayirdi. 100 hosil bo'ldi. O'ylangan sonni toping.

Yechimi

$4(x + 15) - 20 = 100 \implies 4(x + 15) = 120 \implies x + 15 = 30 \implies x = 15$. Javob: 15

5. Ikki xonali sonning raqamlari yig'indisi 9 ga teng. Raqamlar o'rni almashtirilsa, dastlabki sondan 45 ga kam son hosil bo'ladi. Dastlabki sonni toping.

Yechimi

$\overline{ab} - \overline{ba} = 45 \implies 9(a - b) = 45 \implies a - b = 5$. $a + b = 9 \implies a = 7, b = 2$. Son: 72. Javob: 72

6. Uch xonali son 7 bilan tugaydi. Agar 7 son boshiga ko'chirilsa, yangi son dastlabki sondan 189 ga katta bo'ladi. Dastlabki sonni toping.

Yechimi

$(700 + x) - (10x + 7) = 189 \implies 693 - 9x = 189 \implies 9x = 504 \implies x = 56$. Son: 567. Javob: 567

7. Ota 44 yoshda, farzandlari 16 va 12 yoshda. Necha yil oldin otaning yoshi farzandlari yoshlari yig'indisidan 2 marta katta bo'lgan?

Yechimi

$44 - t = 2((16 - t) + (12 - t)) \implies 44 - t = 56 - 4t \implies 3t = 12 \implies t = 4$. Javob: 4

8. Ikki xonali son o'z raqamlari yig'indisidan 7 marta katta. Undan 27 ayirilsa, raqamlari almashgan son hosil bo'ladi. Dastlabki sonni toping.

Yechimi

$10a + b = 7(a + b) \implies a = 2b$. $9(a - b) = 27 \implies a - b = 3 \implies b = 3, a = 6$. Son: 63. Javob: 63

9. Bir kishi do'stiga: "Men sen mening yoshimda bo'lgan paytingdagi yoshingdan 2 marta kattaman. Sen mening yoshimga yetganingda yoshlarimiz yig'indisi 63 bo'ladi", dedi. Bu kishi hozir necha yoshda?

Yechimi

Yoshlar farqi $d = x - y$. $x = 2(y - d) = 2(2y - x) \implies 3x = 4y \implies x = \dfrac{4}{3}y$. $(x + d) + (y + d) = 3x - y = 63 \implies 3y = 63 \implies y = 21, x = 28$. Javob: 28

10. O'z raqamlari yig'indisining kvadratiga teng bo'lgan ikki xonali sonni toping.

Yechimi

$\overline{ab} = (a + b)^2$. Kvadratlar orasidan faqat $81 = (8 + 1)^2 = 9^2 = 81$ mos keladi. Javob: 81