Ish va hovuz masalalari

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Ish va hovuz masalalari DTM testlarining asosiy bo'limlaridan biridir. Asosiy modellar:

1. Birgalikda ishlash: bir nechta ishchi yoki quvur bir vaqtda ishlaganda ketadigan vaqt.
2. Birgalikda boshlab, biri ketishi: ma'lum vaqt birga ishlab, qolgan ishni bir kishi yakunlashi.
3. To'ldiruvchi va bo'shatuvchi quvurlar: hovuzga suv quyilishi va chiqib ketishi.
4. Noma'lum unumdorlik: biri ikkinchisidan bir necha kun tezroq ishlashi (ratsional tenglama).
5. Ishchilar soni va muddat: teskari va to'g'ri proporsiya munosabatlari.

DTMda bu masalalarni an'anaviy kasrlar o'rniga EKUK usuli bilan yechish hisoblashni ancha tezlashtiradi.

---

Asosiy formulalar va usullar

Ish hajmi $A = 1$ deb olinsa, unumdorlik: $p = \dfrac{1}{t}$, $A = p \cdot t$.

Holat	Formula	EKUK usuli (DTM tezkor yo'li)
Birgalikda ishlash	$t = \dfrac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$	Ish hajmini $\text{EKUK}(t_1, t_2)$ deb oling. Kasr yo'qoladi.
To'ldirish va bo'shatish	$t = \dfrac{t_1 t_2}{t_2 - t_1}$	Hovuz hajmini $\text{EKUK}(t_1, t_2)$ litr deb hisoblang.
Uch kishi birgalikda	$p = \dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} + \dfrac{1}{t_3}$	Har birining 1 kundagi ish ulushi qo'shiladi.
Ishchilar va kunlar	$N_1 \cdot t_1 = N_2 \cdot t_2$	Ishchilar soni ortsa, sarflanadigan vaqt kamayadi.

---

Yechilgan misollar

1-misol: Birgalikda ishlash

Birinchi usta ishni $12\text{ kunda}$, ikkinchi usta esa $24\text{ kunda}$ bajara oladi. Ular birgalikda ishlasa, shu ishni necha kunda tugatadi?

A) $6$
B) $8$
C) $9$
D) $10$

Yechim:
Jami ishni $\text{EKUK}(12, 24) = 24\text{ detal}$ deb olamiz.
1-usta unumdorligi: $24 / 12 = 2\text{ detal/kun}$.
2-usta unumdorligi: $24 / 24 = 1\text{ detal/kun}$.
Birgalikdagi unumdorlik: $2 + 1 = 3\text{ detal/kun}$.
Kerakli vaqt: $t = 24 / 3 = 8\text{ kun}$.

Tezroq yo'l: $t = \dfrac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} = \dfrac{12 \cdot 24}{36} = 8\text{ kun}$.
To'g'ri javob: B.

---

2-misol: Birgalikda boshlab, biri ketishi

Birinchi guruh hosilni $15\text{ kunda}$, ikkinchi guruh $10\text{ kunda}$ yig'ib olishi mumkin. Dastlab ikkala guruh $4\text{ kun}$ birgalikda ishladi, so'ng ikkinchi guruh ketdi. Qolgan hosilni birinchi guruh yolg'iz o'zi necha kunda yig'adi?

A) $4$
B) $5$
C) $6$
D) $7$

Yechim:
Jami hosil $\text{EKUK}(15, 10) = 30\text{ qism}$ bo'lsin.
1-guruh: $30 / 15 = 2\text{ qism/kun}$, 2-guruh: $30 / 10 = 3\text{ qism/kun}$.
Birgalikda unumdorlik: $2 + 3 = 5\text{ qism/kun}$.
4 kunda bajarilgan ish: $4 \cdot 5 = 20\text{ qism}$.
Qolgan ish: $30 - 20 = 10\text{ qism}$.
1-guruhga ketadigan vaqt: $10 / 2 = 5\text{ kun}$.

Tezroq yo'l: 4 kunda birga bajarilgan ish: $4 \cdot \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{10}\right) = \frac{2}{3}$. Qolgan $\frac{1}{3}$ qism uchun: $\frac{1/3}{1/15} = 5\text{ kun}$.
To'g'ri javob: B.

---

3-misol: To'ldiruvchi va bo'shatuvchi quvur

Hovuzni 1-quvur $6\text{ soat}$da to'ldiradi, 2-quvur esa $9\text{ soat}$da bo'shatadi. Ikkala quvur bir vaqtda ochilsa, bo'sh hovuz necha soatda to'ladi?

A) $12$
B) $15$
C) $18$
D) $24$

Yechim:
Hovuz hajmi $\text{EKUK}(6, 9) = 18\text{ litr}$.
1-quvur: $+3\text{ l/soat}$, 2-quvur: $-2\text{ l/soat}$.
Birgalikda 1 soatda: $3 - 2 = +1\text{ l/soat}$.
To'lish vaqti: $t = 18 / 1 = 18\text{ soat}$.

Tezroq yo'l: $t = \dfrac{a \cdot b}{b - a} = \dfrac{6 \cdot 9}{9 - 6} = \dfrac{54}{3} = 18\text{ soat}$.
To'g'ri javob: C.

---

4-misol: Noma'lum vaqt farqi

Usta shogirdiga qaraganda ishni $5\text{ kun}$ tezroq bajara oladi. Ular birgalikda ishlab, ishni $6\text{ kunda}$ tugatishdi. Usta yolg'iz o'zi ishni necha kunda bajaradi?

A) $10$
B) $12$
C) $15$
D) $18$

Yechim:
Usta $x$ kunda, shogird $x + 5$ kunda bajarsin: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6} \implies x^2 - 7x - 30 = 0$ $(x - 10)(x + 3) = 0 \implies x = 10\text{ kun}$.

Tezroq yo'l: Variantlardan $x = 10$ ni tekshiramiz: $\dfrac{10 \cdot 15}{10 + 15} = \dfrac{150}{25} = 6\text{ kun}$. Aniq to'g'ri!
To'g'ri javob: A.

---

5-misol: Ishchilar soni va teskari proporsiya

Bir xil quvvatdagi $8\text{ ta}$ ishchi ma'lum vazifani $12\text{ kunda}$ bajara oladi. Shu ishni $6\text{ kunda}$ tugatish uchun qo'shimcha nechta ishchi kerak?

A) $6$
B) $8$
C) $12$
D) $16$

Yechim:
$N_1 \cdot t_1 = N_2 \cdot t_2 \implies 8 \cdot 12 = N_2 \cdot 6 \implies N_2 = 16\text{ ta}$ ishchi.
Qo'shimcha ishchilar soni: $16 - 8 = 8\text{ ta}$.

Tezroq yo'l: Muddat 2 marta qisqarsa ($12 \to 6$), ishchilar 2 marta ortishi kerak: $8 \times 2 = 16$. Qo'shimcha: $16 - 8 = 8$.
To'g'ri javob: B.

---

Mashq

1. 1-traktor dalani $8\text{ kunda}$, 2-traktor $12\text{ kunda}$ haydaydi. Birgalikda ishlasa, necha kunda haydaladi?

Yechim

$t = \dfrac{8 \cdot 12}{8 + 12} = \dfrac{96}{20} = 4{,}8\text{ kun}$.

2. Hovuzni 1-quvur $4\text{ soat}$da, 2-quvur $6\text{ soat}$da to'ldiradi, 3-quvur $12\text{ soat}$da bo'shatadi. Uchtala quvur ochilsa, hovuz necha soatda to'ladi?

Yechim

Hovuz hajmi $12\text{ l}$. $p = 3 + 2 - 1 = 4\text{ l/soat}$. $t = \dfrac{12}{4} = 3\text{ soat}$.

3. Ali va Vali birgalikda ishni $12\text{ kunda}$ bajaradi. Ali yolg'iz o'zi $20\text{ kunda}$ bajarsa, Vali yolg'iz o'zi necha kunda bajaradi?

Yechim

$\dfrac{1}{12} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{2}{60} = \dfrac{1}{30} \implies 30\text{ kun}$.

4. Usta ishni $14\text{ kunda}$, shogird $21\text{ kunda}$ bajaradi. Ular $6\text{ kun}$ birga ishlashsa, ishning qancha qismi qoladi?

Yechim

6 kunda: $6 \cdot \left(\dfrac{1}{14} + \dfrac{1}{21}\right) = 6 \cdot \dfrac{5}{42} = \dfrac{5}{7}$. Qolgan qism: $1 - \dfrac{5}{7} = \dfrac{2}{7}$.

5. $6\text{ ta}$ ishchi $3\text{ kunda}$ $18\text{ gektar}$ yerni o'rdi. $9\text{ ta}$ ishchi $4\text{ kunda}$ necha gektar yerni o'radi?

Yechim

1 ishchining 1 kundagi ishi: $\dfrac{18}{6 \cdot 3} = 1\text{ ga}$. $9 \cdot 4 \cdot 1 = 36\text{ gektar}$.

6. 1-quvur hovuzni 2-quvurga qaraganda $9\text{ soat}$ tezroq to'ldiradi. Birgalikda ular bo'sh hovuzni $6\text{ soat}$da to'ldiradi. 2-quvur yolg'iz o'zi necha soatda to'ldiradi?

Yechim

$\dfrac{1}{x-9} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{6} \implies x = 18\text{ soat}$.

7. Uch kishi birgalikda ishni $4\text{ kunda}$ bajaradi. 1-kishi $10\text{ kunda}$, 2-kishi $15\text{ kunda}$ bajarsa, 3-kishi yolg'iz o'zi necha kunda bajaradi?

Yechim

$\dfrac{1}{4} - \left(\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15}\right) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} \implies 12\text{ kun}$.

8. 1-brigada ishni $24\text{ kunda}$, 2-brigada $36\text{ kunda}$ bajara oladi. Ishni 2-brigada boshladi, so'ng qolganini 1-brigada $16\text{ kunda}$ tugatdi. 2-brigada necha kun ishlagan?

Yechim

1-brigada 16 kunda $\dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}$ ishni bajardi. 2-brigadaga $\dfrac{1}{3}$ ish qolgan: $\dfrac{1}{3} \cdot 36 = 12\text{ kun}$.

9. Bo'sh hovuzni 1-quvur $4\text{ soat}$da, 2-quvur $6\text{ soat}$da to'ldiradi, 3-quvur $8\text{ soat}$da bo'shatadi. Dastlab 1- va 2-quvur $2\text{ soat}$ ochiq turdi, so'ng 3-quvur ochildi. Hovuz to'lishi uchun yana necha soat kerak?

Yechim

Hovuz $24\text{ l}$. 2 soatda: $2(6 + 4) = 20\text{ l}$. Qoldi $4\text{ l}$. Uchtasi birga: $6 + 4 - 3 = 7\text{ l/soat}$. Vaqt: $\dfrac{4}{7}\text{ soat}$.

10. $15\text{ ta}$ traktor maydonni $20\text{ kunda}$ haydaydi. $5\text{ kundan}$ keyin yana $5\text{ ta}$ traktor qo'shilsa, qolgan maydon necha kunda haydaladi?

Yechim

Qolgan ish hajmi: $15 \cdot 15 = 225\text{ traktor-kun}$. Yangi son: $20\text{ ta}$. $t = \dfrac{225}{20} = 11{,}25\text{ kun}$.

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

1. Vaqtlarni shunchaki qo'shib yuborish: Birgalikdagi vaqt eng tez ishlovchining vaqtidan ham kam bo'ladi ($t < t_1$).
2. "Qo'shimcha" so'zini inobatga olmaslik: Yangi umumiy son topilgach, dastlabki sonni ayirib tashlash kerak.
3. Bo'shatuvchi quvurni qo'shish: Chiqarib yuboruvchi jo'mrak unumdorligi doimo ayiriladi.
4. Proporsiya turini adashtirish: Ishchilar va muddat teskari proporsional ($N_1 t_1 = N_2 t_2$).

---

DTM imtihoni uchun yakuniy tavsiyalar

1. Vaqtlarning EKUKini topib, ishni butun son (detallar soni yoki litr) deb oling — kasrlar bilan ishlashdan butunlay qutulasiz.
2. Ratsional tenglama tuzish shart bo'lsa, vaqtni tejang: kvadrat tenglamani yechmasdan, variantlardagi qiymatlarni $t = \dfrac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$ ga qo'yib tekshiring.
3. Aralash holatlarda ishni ikki bosqichga ajrating: "bajarilgan ish" va "qolgan ish". Har bir bosqichning vaqtini alohida hisoblang.