Boshlang'ich funksiya

Bu nima va nega kerak

Jism harakatida tezlik hosila orqali topiladi: $v(t) = s'(t)$. Ammo tezlik ma'lum bo'lsa, bosib o'tilgan yo'lni qanday topish mumkin?

Differensiallash amaliga teskari amal — boshlang'ich funksiyani topish (integrallash) deyiladi. U hosilaga ko'ra funksiyaning o'zini tiklaydi va quyidagilarda qo'llaniladi:

• Tezlikka ko'ra yo'lni, tezlanishga ko'ra tezlikni topish;
• Egri chiziqli shakllarning yuzi va hajmini hisoblash.

Asosiy g'oya

1. Boshlang'ich funksiya ta'rifi

Ta'rif: Agar berilgan oraliqdagi barcha $x$ lar uchun $F'(x) = f(x)$ tenglik bajarilsa, $F(x)$ funksiya shu oraliqda $f(x)$ funksiyaning boshlang'ich funksiyasi deyiladi.

Masalan, $f(x) = 2x$ bo'lsa, uning boshlang'ich funksiyasi $F(x) = x^2$ bo'ladi, chunki $(x^2)' = 2x$.

2. Boshlang'ich funksiyaning asosiy xossasi

Bitta funksiya uchun boshlang'ich funksiya yagona emas:

• $(x^2)' = 2x$
• $(x^2 + 5)' = 2x$
• $(x^2 - 100)' = 2x$

Teorema: Agar $F(x)$ funksiya $f(x)$ ning biror oraliqdagi boshlang'ich funksiyasi bo'lsa, u holda $f(x)$ ning barcha boshlang'ich funksiyalari to'plami $F(x) + C$ ko'rinishida yoziladi, bu yerda $C \in \mathbb{R}$ — ixtiyoriy o'zgarmas son (integrallash doimiysi).

Geometrik ma'nosi: $y = F(x) + C$ grafiklar oilasi — $y = F(x)$ grafigini $Oy$ o'qi bo'ylab yuqoriga yoki pastga parallel ko'chirishdan hosil bo'lgan parallel egri chiziqlar oilasidir.

3. Boshlang'ich funksiyalar jadvali

Quyidagi jadval differensiallash qoidalariga teskari tartibda tuzilgan:

Funksiya $f(x)$	Boshlang'ich funksiyasi $F(x)$	Shartlar
$0$	$C$
$k$ (o'zgarmas son)	$kx + C$
$x^n$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$n \neq -1$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln	x
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$	$a > 0, a \neq 1$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\text{tg}\,x + C$	$x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$-\text{ctg}\,x + C$	$x \neq \pi k$

4. Boshlang'ich funksiyani topish qoidalari

Agar $F(x)$ funksiya $f(x)$ uchun, $G(x)$ esa $g(x)$ uchun boshlang'ich bo'lsa:

1. Yig'indi va ayirma qoidasi: $f(x) \pm g(x) \implies F(x) \pm G(x) + C$
2. O'zgarmas ko'paytuvchini chiqarish: $k \cdot f(x) \implies k \cdot F(x) + C \quad (k \neq 0)$
3. Chiziqli argument qoidasi: $f(kx + b) \implies \frac{1}{k} F(kx + b) + C \quad (k \neq 0)$

5. Berilgan nuqtadan o'tuvchi boshlang'ich funksiya

Ko'pincha cheksiz ko'p boshlang'ich funksiyalar orasidan berilgan $M(x_0; y_0)$ nuqtadan o'tuvchisini topish talab qilinadi. Buning uchun:

1. Umumiy boshlang'ich $F(x) + C$ topiladi;
2. $F(x_0) + C = y_0$ tenglama tuzilib, doimiy son $C$ ning aniq qiymati topiladi;
3. Topilgan $C$ funksiya ifodasiga qo'yiladi.

Yechilgan misollar

1-misol. Ko'phad funksiyaning boshlang'ich funksiyasi

$f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 5$ funksiyaning umumiy boshlang'ich funksiyasini toping.

Yechish: Jadval va qoidalarga ko'ra:

• $4x^3 \implies 4 \cdot \dfrac{x^4}{4} = x^4$;
• $-6x^2 \implies -6 \cdot \dfrac{x^3}{3} = -2x^3$;
• $2x \implies 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} = x^2$;
• $-5 \implies -5x$.

Doimiy $C$ ni qo'shib umumiy ko'rinishni olamiz: $F(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x + C.$

Javob: $F(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x + C$.

---

2-misol. Chiziqli argumentli funksiyalar

$f(x) = \cos(4x) - 3\sin(2x)$ funksiyaning umumiy boshlang'ich funksiyasini toping.

Yechish: $\dfrac{1}{k} F(kx + b)$ qoidasiga binoan:

• $\cos(4x) \implies \dfrac{1}{4}\sin(4x)$;
• $-3\sin(2x) \implies -3 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\cos(2x)\right) = \dfrac{3}{2}\cos(2x)$.

$F(x) = \dfrac{1}{4}\sin(4x) + \dfrac{3}{2}\cos(2x) + C.$

Javob: $F(x) = \dfrac{1}{4}\sin(4x) + \dfrac{3}{2}\cos(2x) + C$.

---

3-misol. Berilgan nuqtadan o'tuvchi boshlang'ich funksiya

$f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ funksiyaning grafigi $M(2; 5)$ nuqtadan o'tuvchi boshlang'ich funksiyasini toping.

Yechish:

1. Umumiy boshlang'ich funksiya: $F(x) = x^3 - 2x^2 + x + C.$
2. $M(2; 5)$ nuqtadan o'tadi, ya'ni $F(2) = 5$: $8 - 8 + 2 + C = 5 \implies C = 3.$
3. Xususiy boshlang'ich: $F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3.$

Javob: $F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$.

---

4-misol. Kasr va manfiy darajali funksiyalar

$f(x) = \dfrac{6}{\sqrt{x}} - \dfrac{3}{x^2}$ ($x > 0$) funksiyaning umumiy boshlang'ich funksiyasini toping.

Yechish: Daraja ko'rinishida yozamiz: $f(x) = 6x^{-1/2} - 3x^{-2}$. Daraja qoidasiga ko'ra:

• $6x^{-1/2} \implies 6 \cdot \dfrac{x^{1/2}}{1/2} = 12\sqrt{x}$;
• $-3x^{-2} \implies -3 \cdot \dfrac{x^{-1}}{-1} = \dfrac{3}{x}$.

$F(x) = 12\sqrt{x} + \dfrac{3}{x} + C.$

Javob: $F(x) = 12\sqrt{x} + \dfrac{3}{x} + C$.

Mashq

1. $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7$ funksiyaning umumiy boshlang'ich funksiyasini toping.
2. $f(x) = (2x - 3)^4$ funksiyaning umumiy boshlang'ich funksiyasini toping.
3. $f(x) = 2\sin(5x)$ funksiyaning umumiy boshlang'ich funksiyasini toping.
4. $f(x) = 4e^{2x} - \dfrac{3}{x}$ ($x > 0$) funksiyaning umumiy boshlang'ich funksiyasini toping.
5. $f(x) = 2x - 3$ funksiyaning grafigi $A(1; 4)$ nuqtadan o'tuvchi boshlang'ich funksiyasini toping.
6. $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)}$ funksiyaning umumiy boshlang'ich funksiyasini toping.
7. $f(x) = 3x^2 - 6x$ funksiyaning $x = 2$ da qiymati $10$ ga teng bo'lgan boshlang'ich funksiyasini toping.
8. $f(x) = \dfrac{4}{x^3}$ funksiyaning umumiy boshlang'ich funksiyasini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $F(x) = 5 \cdot \dfrac{x^5}{5} - 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} + 7x + C = x^5 - x^3 + 7x + C$. Javob: $x^5 - x^3 + 7x + C$.

2. $k = 2$. $F(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x - 3)^5}{5} + C = \dfrac{(2x - 3)^5}{10} + C$. Javob: $\dfrac{(2x - 3)^5}{10} + C$.

3. $\sin(5x)$ ning boshlang'ichi $-\dfrac{1}{5}\cos(5x)$. Ko'paytuvchi $2$ bilan: $-\dfrac{2}{5}\cos(5x) + C$. Javob: $-\dfrac{2}{5}\cos(5x) + C$.

4. $4e^{2x}$ uchun $4 \cdot \dfrac{1}{2}e^{2x} = 2e^{2x}$; $-\dfrac{3}{x}$ uchun $-3\ln x$. Javob: $2e^{2x} - 3\ln x + C$.

5. $F(x) = x^2 - 3x + C$. $F(1) = 1 - 3 + C = 4 \implies -2 + C = 4 \implies C = 6$. Javob: $F(x) = x^2 - 3x + 6$.

6. $\dfrac{1}{\cos^2(3x)}$ uchun $k = 3 \implies \dfrac{1}{3}\text{tg}(3x) + C$. Javob: $\dfrac{1}{3}\text{tg}(3x) + C$.

7. $F(x) = x^3 - 3x^2 + C$. $F(2) = 8 - 12 + C = 10 \implies -4 + C = 10 \implies C = 14$. Javob: $F(x) = x^3 - 3x^2 + 14$.

8. $f(x) = 4x^{-3} \implies F(x) = 4 \cdot \dfrac{x^{-2}}{-2} + C = -\dfrac{2}{x^2} + C$. Javob: $-\dfrac{2}{x^2} + C$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Integrallash doimiysi $C$ ni yozishni unutish. ✗ $f(x) = 2x$ ning boshlang'ich funksiyasini faqat $F(x) = x^2$ deb yozish. ✓ Umumiy boshlang'ich funksiya so'ralganda har doim $+ C$ qo'shilishi shart: $F(x) = x^2 + C$.

2. $\sin x$ ning boshlang'ichida ishorada adashish. ✗ $\sin x$ ning hosilasi $\cos x$ bo'lgani sababli, uning boshlang'ichini ham $\cos x$ deb yozish. ✓ $(\cos x)' = -\sin x$, shuning uchun $\sin x$ ning boshlang'ichi $-\cos x + C$ bo'ladi.

3. Chiziqli argumentda koeffitsiyent $k$ ga bo'lishni unutish. ✗ $\cos(3x)$ ning boshlang'ichini $\sin(3x) + C$ deb yozish. ✓ Argument $k$ ga ko'paytirilgan bo'lsa, oldiga $\dfrac{1}{k}$ ko'paytuvchi chiqadi: $\dfrac{1}{3}\sin(3x) + C$.

4. Daraja qoidasini $\dfrac{1}{x}$ ga noto'g'ri qo'llash. ✗ $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$ deb olib, $\dfrac{x^0}{0}$ ko'rinishida nolga bo'lish xatosiga yo'l qo'yish. ✓ $n = -1$ holatida daraja qoidasi ishlamaydi, $\dfrac{1}{x}$ ning boshlang'ichi natural logarifm: $\ln|x| + C$.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Biz boshlang'ich funksiyalarni topish va ularning xossalarini o'rgandik. Keyingi darsda ushbu tushunchani sonli chegaralarga ega bo'lgan amallarga tatbiq etamiz — aniq integral va matematika tarixidagi eng buyuk kashfiyotlardan biri bo'lgan Nyuton-Leybnits formulasi bilan tanishamiz.