Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati

Bu nima va nega kerak

Amaliyotda ko'pincha eng tejamkor yoki eng samarali yechimlar izlanadi: eng kam xarajat bilan mahsulot ishlab chiqarish, berilgan materialdan eng katta hajmli idish yasash yoki maksimal foyda olish.

Bunday masalalar optimallashtirish deb ataladi. Differensial hisob yordamida funksiyaning berilgan oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarini aniq topish mumkin.

Asosiy g'oya

1. Lokal ekstremum va global qiymat farqi

Lokal ekstremum — bu nuqtaning bevosita yaqin atrofidagi eng katta yoki eng kichik qiymatdir. Butun kesma bo'yicha esa:

• Funksiya o'zining eng katta qiymatiga lokal maksimumda ham, kesmaning chetki nuqtalarida ham erishishi mumkin.
• Lokal ekstremumlar bir nechta bo'lishi mumkin, ammo kesmadagi eng katta (yoki eng kichik) qiymat faqat bitta bo'ladi.

Veyershtrass teoremasi: $[a; b]$ kesmada uzluksiz bo'lgan funksiya shu kesmada o'zining eng katta va eng kichik qiymatlariga albatta erishadi.

2. Kesmada eng katta va eng kichik qiymatni topish tartibi

$y = f(x)$ funksiyaning $[a; b]$ kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun:

1. Hosila $f'(x)$ ni topamiz.
2. $f'(x) = 0$ tenglamani yechib, berilgan $[a; b]$ kesmaga tegishli statsionar nuqtalarni ajratamiz.
3. Funksiyaning ushbu statsionar nuqtalardagi hamda kesma chetlaridagi ($f(a)$ va $f(b)$) qiymatlarini hisoblaymiz.
4. Chiqqan qiymatlarni taqqoslab, eng kattasi ($M$) va eng kichigini ($m$) tanlaymiz: $M = \max_{[a; b]} f(x), \quad m = \min_{[a; b]} f(x).$

3. Geometrik va amaliy masalalarda qo'llash

1. Masala shartidagi o'zgaruvchilardan birini $x$ deb belgilaymiz.
2. Optimallashtirilishi kerak bo'lgan kattalikni $x$ ning funksiyasi $f(x)$ ko'rinishida yozamiz.
3. Hosila orqali funksiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini topamiz.

Yechilgan misollar

1-misol. Ko'phad funksiya kesmada

$f(x) = x^3 - 3x + 4$ funksiyaning $[-2; 2]$ kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

Yechish:

1. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$. Har ikkalasi $[-2; 2]$ ga tegishli.
2. Qiymatlarni hisoblaymiz:
   • $f(-1) = -1 + 3 + 4 = 6$;
   • $f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$;
   • $f(-2) = -8 + 6 + 4 = 2$;
   • $f(2) = 8 - 6 + 4 = 6$.
3. Qiymatlar: $\{2; 6\}$. Eng kattasi $6$, eng kichigi $2$.

Javob: $\max f(x) = 6$, $\min f(x) = 2$.

---

2-misol. Kesmaga kirmaydigan statsionar nuqta

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ funksiyaning $[0; 3]$ kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

Yechish:

1. $f'(x) = 6(x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = -1, 2$. $x = -1 \notin [0; 3]$, shuning uchun faqat $x = 2 \in [0; 3]$ olinadi.
2. Nuqtalardagi qiymatlar:
   • $f(0) = 5$;
   • $f(2) = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$;
   • $f(3) = 54 - 27 - 36 + 5 = -4$.
3. Taqqoslaymiz: $\{5; -15; -4\}$.

Javob: Eng katta qiymat $5$, eng kichik qiymat $-15$.

---

3-misol. Kasr-ratsional funksiya

$f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ funksiyaning $[1; 6]$ kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

Yechish:

1. $f'(x) = 1 - \dfrac{9}{x^2} = 0 \implies x = \pm 3$. Kesmaga faqat $x = 3$ kiradi.
2. Qiymatlar:
   • $f(1) = 1 + 9 = 10$;
   • $f(3) = 3 + 3 = 6$;
   • $f(6) = 6 + 1{,}5 = 7{,}5$.

Javob: Eng katta qiymat $10$, eng kichik qiymat $6$.

---

4-misol. Eng katta yuzali to'g'ri to'rtburchak

Perimetri $36\text{ sm}$ bo'lgan to'g'ri to'rtburchaklar ichida eng katta yuzaga ega bo'lganining yuzini toping.

Yechish:

1. Tomonlari $x$ va $18 - x$ ($0 < x < 18$).
2. Yuza funksiyasi: $S(x) = x(18 - x) = 18x - x^2$.
3. Hosila: $S'(x) = 18 - 2x = 0 \implies x = 9$.
4. Eng katta yuza: $S(9) = 9 \cdot 9 = 81\text{ sm}^2$.

Javob: $81\text{ sm}^2$.

Mashq

1. $f(x) = x^2 - 4x + 7$ funksiyaning $[0; 3]$ kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
2. $f(x) = 4 - 2x - x^2$ funksiyaning $[-2; 1]$ kesmadagi eng katta qiymatini toping.
3. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ funksiyaning $[0; 2]$ kesmadagi eng katta qiymatini toping.
4. $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ funksiyaning $[-2; 2]$ kesmadagi eng katta qiymatini toping.
5. $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ funksiyaning $[0{,}5; 3]$ kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
6. $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ funksiyaning $[0; 3]$ kesmadagi eng kichik qiymatini toping.
7. Yig'indisi $20$ bo'lgan ikki musbat son ko'paytmasining eng katta qiymatini toping.
8. $f(x) = \sin(2x)$ funksiyaning $[0; \pi/2]$ kesmadagi eng katta qiymatini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $f'(x) = 2x - 4 = 0 \implies x = 2 \in [0; 3]$. $f(0) = 7, f(2) = 3, f(3) = 4$. Javob: $3$.

2. $f'(x) = -2 - 2x = 0 \implies x = -1 \in [-2; 1]$. $f(-2) = 4, f(-1) = 5, f(1) = 1$. Javob: $5$.

3. $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1 \in [0; 2]$. $f(0) = -1, f(1) = 3, f(2) = 1$. Javob: $3$.

4. $f'(x) = 4x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0, \pm 1$. $f(0) = 3, f(\pm 1) = 2, f(\pm 2) = 11$. Javob: $11$.

5. $f'(x) = 1 - 1/x^2 = 0 \implies x = 1 \in [0{,}5; 3]$. $f(0{,}5) = 2{,}5, f(1) = 2, f(3) = 3\dfrac{1}{3}$. Javob: $2$.

6. $f'(x) = 6(x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = 1, 2 \in [0; 3]$. $f(0) = 0, f(1) = 5, f(2) = 4, f(3) = 9$. Javob: $0$.

7. $P(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$. $P'(x) = 20 - 2x = 0 \implies x = 10$. $P(10) = 100$. Javob: $100$.

8. $f'(x) = 2\cos(2x) = 0 \implies 2x = \pi/2 \implies x = \pi/4$. $f(\pi/4) = 1$. Javob: $1$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Kesma chetki nuqtalarini tekshirishni unutish. ✗ Faqat hosilani nolga tenglab olingan qiymatlarni solishtirish. ✓ Eng katta yoki eng kichik qiymat kesma uchlarida ($a$ yoki $b$ da) ham bo'lishi mumkin.

2. Kesmaga kirmaydigan statsionar nuqtalarni qo'shish. ✗ Masalan, $x = 4 \notin [0; 2]$ bo'lsa ham $f(4)$ ni hisoblab javobga kiritish. ✓ Faqat berilgan kesmaga tegishli nuqtalar tekshiriladi.

3. Eng katta qiymat o'rniga argumentni javob deb yozish. ✗ "Eng katta qiymatni toping" deyilganda $x = 3$ deb yozish. ✓ Qiymat so'ralsa funksiya natijasi $y = f(3)$, nuqta so'ralsa $x = 3$ olinadi.

4. Ochiq oraliqda eng katta qiymat doim bor deb bilish. ✗ Masalan, $(0; 1)$ oraliqda $f(x) = x$ ning eng katta qiymati $1$ deb ta'kidlash. ✓ Funksiya $1$ ga intiladi, ammo bu nuqta oraliqqa kirmaydi, demak eng katta qiymat mavjud emas.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Funksiyalarni tekshirish va hosilaning amaliy tatbiqlarini to'liq o'rgandik. Keyingi darsda differensiallash amaliga teskari bo'lgan fundamental tushuncha — boshlang'ich funksiya bilan tanishamiz.