Hosila yordamida funksiyani tekshirish

Bu nima va nega kerak

Funksiya grafigini chizish va jarayonlarni tahlil qilish uchun uning o'sish, kamayish oraliqlari va ekstremumlarini bilish zarur.

Hosila — jarayonning o'zgarish tezligi:

• $f'(x) > 0$ bo'lsa, funksiya o'sadi.
• $f'(x) < 0$ bo'lsa, funksiya kamayadi.
• $f'(x) = 0$ nuqtalarda esa egri chiziq yo'nalishi o'zgarishi mumkin.

Ushbu darsda hosila yordamida funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlarini, statsionar nuqtalarini hamda ekstremumlarini topishni o'rganamiz.

Asosiy g'oya

1. Funksiyaning o'sishi va kamayishi alomati

Teorema: Faraz qilaylik, $f(x)$ oraliqda differensiallanuvchi bo'lsin:

1. Agar barcha $x$ lar uchun $f'(x) > 0$ bo'lsa, funksiya shu oraliqda o'suvchi;
2. Agar barcha $x$ lar uchun $f'(x) < 0$ bo'lsa, funksiya shu oraliqda kamayuvchi;
3. Agar $f'(x) = 0$ bo'lsa, funksiya o'zgarmas ($f(x) = C$) bo'ladi.

Agar funksiya oraliq chetlarida uzluksiz bo'lsa, bu nuqtalar ham o'sish yoki kamayish oralig'iga kiritiladi.

2. Statsionar va kritik nuqtalar

• Statsionar nuqta — funksiya hosilasi nolga teng bo'lgan nuqta: $f'(x) = 0$.
• Kritik nuqta — funksiya aniqlangan, ammo hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan ichki nuqta.

3. Ekstremum nuqtalari

• Agar $x_0$ atrofidagi barcha $x$ lar uchun $f(x) \\le f(x_0)$ bo'lsa, $x_0$ — lokal maksimum nuqtasi, $f(x_0)$ — lokal maksimum.
• Agar $x_0$ atrofidagi barcha $x$ lar uchun $f(x) \\ge f(x_0)$ bo'lsa, $x_0$ — lokal minimum nuqtasi, $f(x_0)$ — lokal minimum.

Ferma teoremasi (zaruriy shart): Differensiallanuvchi funksiya ekstremumga erishadigan nuqtada uning hosilasi nolga teng bo'ladi: $f'(x_0) = 0$.

4. Ekstremumning yetarli alomati

Kritik nuqta $x_0$ orqali chapdan o'ngga o'tganda hosila ishorasining o'zgarishi:

$f'(x)$ ishorasining o'zgarishi	Geometrik ma'nosi	Nuqta xarakteri
$+$ dan $-$ ga	O'sishdan kamayishga o'tadi	Maksimum nuqtasi ($x_{\\max}$)
$-$ dan $+$ ga	Kamayishdan o'sishga o'tadi	Minimum nuqtasi ($x_{\\min}$)
Ishora o'zgarmasa ($+ \\to +$ yoki $- \\to -$)	O'sish yoki kamayish davom etadi	Ekstremum emas

5. Funksiyani tekshirish rejasi

1. Aniqlanish sohasi $D(f)$ ni topish.
2. Hosila $f'(x)$ ni hisoblash va $f'(x) = 0$ orqali statsionar nuqtalarni topish.
3. Sonlar o'qida oraliqlar usuli bilan $f'(x)$ ishorasini aniqlash.
4. O'sish, kamayish oraliqlari va ekstremum nuqtalarini belgilash.
5. Ekstremum qiymatlarini hisoblash: $y = f(x_0)$.

Yechilgan misollar

1-misol. O'sish va kamayish oraliqlari

$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$ funksiyaning o'sish va kamayish oraliqlarini toping.

Yechish:

1. Hosilani olamiz: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2).$
2. Statsionar nuqtalar: $x = 1$ va $x = 2$.
3. Hosila ishoralari: $(-\infty; 1)$ da $f' > 0$ (o'sadi); $(1; 2)$ da $f' < 0$ (kamayadi); $(2; \infty)$ da $f' > 0$ (o'sadi).

Javob: O'sish: $(-\infty; 1]$ va $[2; \infty)$; kamayish: $[1; 2]$.

---

2-misol. Ekstremum nuqtalari va qiymatlari

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ funksiyaning ekstremumlarini toping.

Yechish:

1. Hosila hisoblaymiz: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0.$ Statsionar nuqtalar: $x = 1$ va $x = 3$.
2. Ishoralarni tekshiramiz:
   • $x < 1$ da $f'(x) > 0$; $1 < x < 3$ da $f'(x) < 0$. $x = 1$ da $+$ dan $-$ ga o'tgan, demak $x_{\\max} = 1$.
   • $1 < x < 3$ da $f'(x) < 0$; $x > 3$ da $f'(x) > 0$. $x = 3$ da $-$ dan $+$ ga o'tgan, demak $x_{\\min} = 3$.
3. Ekstremum qiymatlari: $y_{\\max} = f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6.$ $y_{\\min} = f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2.$

Javob: $x_{\\max} = 1, y_{\\max} = 6$; $x_{\\min} = 3, y_{\\min} = 2$.

---

3-misol. Kasr-ratsional funksiya

$f(x) = x + \\dfrac{4}{x}$ funksiyaning ekstremumlarini toping.

Yechish:

1. Aniqlanish sohasi: $x \\neq 0$.
2. Hosila: $f'(x) = 1 - \\dfrac{4}{x^2} = \\dfrac{x^2 - 4}{x^2} = \\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}.$
3. Statsionar nuqtalar: $x = -2$ va $x = 2$. Maxraj $x = 0$ da nol.
4. Oraliqlar:
   • $(-\\infty; -2)$ da $f' > 0$; $(-2; 0)$ da $f' < 0 \\implies x_{\\max} = -2$;
   • $(0; 2)$ da $f' < 0$; $(2; \\infty)$ da $f' > 0 \\implies x_{\\min} = 2$.
5. Qiymatlari: $f(-2) = -2 + \\dfrac{4}{-2} = -4 \\quad (y_{\\max} = -4).$ $f(2) = 2 + \\dfrac{4}{2} = 4 \\quad (y_{\\min} = 4).$

Javob: $x_{\\max} = -2, y_{\\max} = -4$; $x_{\\min} = 2, y_{\\min} = 4$.

---

4-misol. Ekstremum bo'lmagan statsionar nuqta

$f(x) = x^4 - 4x^3 + 16$ funksiyaning ekstremumlarini toping.

Yechish:

1. Hosila: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) = 0$.
2. Statsionar nuqtalar: $x = 0$ va $x = 3$.
3. Hosila ishoralari: $x < 0$ va $0 < x < 3$ da $f'(x) < 0$ ($4x^2 \ge 0$ sababli ishora o'zgarmaydi); $x > 3$ da $f'(x) > 0$.
4. $x = 0$ da ishora saqlandi $\implies$ ekstremum emas. $x = 3$ da $-$ dan $+$ ga o'zgardi $\implies x_{\min} = 3$. $y_{\min} = f(3) = 81 - 108 + 16 = -11.$

Javob: $x = 0$ ekstremum emas; $x_{\\min} = 3, y_{\\min} = -11$.

Mashq

1. $f(x) = x^2 - 6x + 8$ funksiyaning o'sish oralig'ini toping.
2. $f(x) = 6x - x^2$ funksiyaning maksimum nuqtasini toping.
3. $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 10$ funksiyaning maksimum nuqtasini toping.
4. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 5$ funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping.
5. $f(x) = \\dfrac{x^2 + 1}{x}$ funksiyaning lokal minimum qiymatini toping.
6. $f(x) = x^3 - 12x$ funksiyaning lokal maksimum qiymatini toping.
7. $f(x) = 3x^5 - 5x^3$ funksiyaning barcha ekstremum nuqtalarini toping.
8. $y = x^2 e^{-x}$ funksiyaning o'sish oralig'ini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $f'(x) = 2x - 6 \\ge 0 \\implies x \\ge 3$. Javob: $[3; \\infty)$.

2. $f'(x) = 6 - 2x = 0 \\implies x = 3$. Hosila $+$ dan $-$ ga o'tadi. Javob: $x_{\\max} = 3$.

3. $f'(x) = 6(x - 3)(x + 2) = 0$. $x = -2$ da hosila $+$ dan $-$ ga o'tadi. Javob: $x_{\\max} = -2$.

4. $f'(x) = 3(x - 1)^2 \\ge 0$. Hosila ishorasini o'zgartirmaydi, doim o'suvchi. Javob: Ekstremum nuqtalari yo'q.

5. $f'(x) = \\dfrac{x^2 - 1}{x^2} = 0 \\implies x = \\pm 1$. $x = 1$ minimum nuqta: $f(1) = 2$. Javob: $2$.

6. $f'(x) = 3(x^2 - 4) = 0 \\implies x = \\pm 2$. $x_{\\max} = -2$, $f(-2) = -8 + 24 = 16$. Javob: $16$.

7. $f'(x) = 15x^2(x - 1)(x + 1) = 0$. $x = -1$ maksimum, $x = 1$ minimum, $x = 0$ ekstremum emas. Javob: $x_{\\max} = -1, x_{\\min} = 1$.

8. $y' = x(2 - x)e^{-x} \\ge 0 \\implies x(x - 2) \\le 0 \\implies 0 \\le x \\le 2$. Javob: $[0; 2]$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Ekstremum nuqtasi bilan qiymatini adashtirish. ✗ "Maksimumini toping" savoliga faqat $x_{\\max} = 1$ deb javob berish. ✓ Ekstremum nuqtasi — abssissa ($x$), ekstremum qiymati — funksiya qiymati ($y = f(x)$).

2. Hosila nol bo'lgan har qanday nuqtani ekstremum deb bilish. ✗ $f(x) = x^3$ funksiyada $f'(0) = 0$, demak $x = 0$ ekstremum deb xulosa qilish. ✓ Hosila bu nuqtadan o'tganda ishorasini albatta o'zgartirishi lozim.

3. Uzilish nuqtasini unutish. ✗ $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ da faqat $x = \pm 2$ ni olib, $x = 0$ nuqtani tashlab ketish. ✓ Uzilish nuqtalari ham oraliqlarni ajratadi va hosila ishorasiga ta'sir qiladi.

4. O'sish oraliqlarini noo'rin birlashtirish ($\cup$). ✗ $f(x) = \dfrac{1}{x}$ kamayish oralig'ini $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ deb yozish. ✓ To'g'ri ifoda: $(-\infty; 0)$ va $(0; \infty)$ oraliqlarning har birida kamayuvchi.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Biz funksiyaning o'sish, kamayish oraliqlari va lokal ekstremumlarini topishni o'rgandik. Keyingi darsda bu bilimlarni berilgan kesmada funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishga hamda amaliy optimallashtirish masalalarini yechishga tatbiq qilamiz.