Integral yordamida yuza hisoblash

Bu nima va nega kerak

Maktab geometriyasidan ko'pburchaklar va doira yuzini topish ma'lum. Ammo amaliyotda shakllar chegarasi ko'pincha parabola, giperbola yoki trigonometrik egri chiziqlardan iborat bo'ladi (arkalar, to'g'onlar, qanot profillari).

Bunday shakllar yuzasini hisoblashda aniq integral universal vositadir.

Oldingi darsda aniq integralning geometrik ma'nosi egri chiziqli trapetsiya yuziga tengligini ko'rdik. Ushbu darsda egri chiziqlar bilan chegaralangan har qanday soha yuzini hisoblash usullarini o'rganamiz.

Asosiy g'oya

1. Egri chiziqli trapetsiya yuzi

$[a; b]$ da $f(x) \ge 0$ bo'lsa, $y = f(x)$ grafigi, $Ox$ o'qi hamda $x = a, x = b$ to'g'ri chiziqlari bilan chegaralangan yuza: $S = \int_a^b f(x)\,dx$

2. Grafik $Ox$ o'qidan pastda bo'lgan holat

$[a; b]$ da $f(x) \le 0$ bo'lsa, integral manfiy chiqadi. Geometrik yuza musbat bo'lgani uchun: $S = -\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b |f(x)|\,dx$

3. Funksiya $Ox$ o'qini kesib o'tuvchi holat

$f(x)$ ishorasini o'zgartirsa, oraliq nol nuqtalari bo'yicha bo'linadi va yuzalar alohida hisoblanadi: $S = \int_a^c f(x)\,dx - \int_c^b f(x)\,dx$

4. Ikkita egri chiziq orasidagi soha yuzi

$[a; b]$ da $f(x) \ge g(x)$ bo'lsa, $y = f(x)$ va $y = g(x)$ orasidagi yuza: $S = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$

Qoida: Har doim "yuqoridagi funksiya minus pastdagi funksiya" integrallanadi.

5. Chegaralarni topish

Chegaralar berilmagan bo'lsa, funksiyalarni tenglashtirish orqali topiladi: $f(x) = g(x) \implies x_1 = a, \quad x_2 = b$

Yechilgan misollar

1-misol. Egri chiziqli trapetsiya

$y = 3x^2 - 2x + 1$ egri chizig'i, $Ox$ o'qi hamda $x = 0$ va $x = 2$ to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini toping.

Yechish:

1. $[0; 2]$ kesmada $y > 0$ bo'ladi.
2. Yuza formulasi bo'yicha integrallaymiz: $S = \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = \left. (x^3 - x^2 + x) \right|_0^2$
3. Chegaralarni qo'yamiz: $S = (2^3 - 2^2 + 2) - 0 = 8 - 4 + 2 = 6$

Javob: $6$.

---

2-misol. $Ox$ o'qidan pastdagi soha

$y = x^2 - 4$ parabola va $Ox$ o'qi bilan chegaralangan shakl yuzini toping.

Yechish:

1. Kesishish nuqtalari: $x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2$.
2. $[-2; 2]$ da $y \le 0$ bo'lgani uchun integral oldiga minus qo'yiladi: $S = -\int_{-2}^2 (x^2 - 4)\,dx = \int_{-2}^2 (4 - x^2)\,dx$
3. Juftlik xossasiga ko'ra: $S = 2 \int_0^2 (4 - x^2)\,dx = 2 \left. \left(4x - \frac{x^3}{3}\right) \right|_0^2 = 2 \left(8 - \frac{8}{3}\right) = \frac{32}{3}$

Javob: $\dfrac{32}{3}$ (yoki $10\dfrac{2}{3}$).

---

3-misol. Parabola va to'g'ri chiziq orasidagi yuza

$y = 4 - x^2$ parabola va $y = x + 2$ to'g'ri chizig'i bilan chegaralangan soha yuzini hisoblang.

Yechish:

1. Kesishish nuqtalari: $4 - x^2 = x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 1$.
2. $[-2; 1]$ da parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida: $4 - x^2 \ge x + 2$.
3. "Yuqoridagi minus pastdagi" formulasini tuzamiz: $S = \int_{-2}^1 [(4 - x^2) - (x + 2)]\,dx = \int_{-2}^1 (2 - x - x^2)\,dx$
4. Boshlang'ich funksiyaga chegaralarni qo'yamiz: $F(x) = 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$ $F(1) = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}, \quad F(-2) = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3} = -\frac{20}{6}$ $S = F(1) - F(-2) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{20}{6}\right) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4{,}5$

Javob: $4{,}5$ (yoki $\dfrac{9}{2}$).

---

4-misol. Ikkita parabola orasidagi yuza

$y = 6 - x^2$ va $y = x^2 - 2$ parabolalari bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblang.

Yechish:

1. Kesishish nuqtalari: $6 - x^2 = x^2 - 2 \implies 2x^2 = 8 \implies x = \pm 2$.
2. $[-2; 2]$ da $6 - x^2 \ge x^2 - 2$.
3. Integralni tuzamiz va juftlikdan foydalanamiz: $S = \int_{-2}^2 (8 - 2x^2)\,dx = 2 \int_0^2 (8 - 2x^2)\,dx = 2 \left. \left(8x - \frac{2x^3}{3}\right) \right|_0^2 = 2 \left(16 - \frac{16}{3}\right) = \frac{64}{3}$

Javob: $\dfrac{64}{3}$ (yoki $21\dfrac{1}{3}$).

Mashq

Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan sohalar yuzini hisoblang:

1. $y = 3x^2$, $Ox$ o'qi hamda $x = 1$ va $x = 2$ to'g'ri chiziqlari.
2. $y = 2x + 1$, $Ox$ o'qi hamda $x = 0$ va $x = 3$ to'g'ri chiziqlari.
3. $y = x^3$, $Ox$ o'qi hamda $x = 0$ va $x = 2$ to'g'ri chiziqlari.
4. $y = 4 - x^2$ parabola va $Ox$ o'qi.
5. $y = x^2 - 2x$ parabola va $Ox$ o'qi.
6. $y = x^2$ parabola va $y = 2x$ to'g'ri chizig'i.
7. $y = \sqrt{x}$, $Ox$ o'qi va $x = 4$ to'g'ri chizig'i.
8. $y = \cos x$, $Ox$ o'qi hamda $x = 0$ va $x = \dfrac{\pi}{2}$ to'g'ri chiziqlari.
9. $y = x^2$ parabola va $y = x + 2$ to'g'ri chizig'i.
10. $y = \dfrac{1}{x}$, $Ox$ o'qi hamda $x = 1$ va $x = e^2$ to'g'ri chiziqlari.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $S = \int_1^2 3x^2\,dx = \left. x^3 \right|_1^2 = 8 - 1 = 7$. Javob: $7$.

2. $S = \int_0^3 (2x + 1)\,dx = \left. (x^2 + x) \right|_0^3 = 9 + 3 = 12$. Javob: $12$.

3. $S = \int_0^2 x^3\,dx = \left. \dfrac{x^4}{4} \right|_0^2 = 4$. Javob: $4$.

4. Kesishish nuqtalari $x = \pm 2$. $S = \int_{-2}^2 (4 - x^2)\,dx = \left. \left(4x - \dfrac{x^3}{3}\right) \right|_{-2}^2 = \dfrac{32}{3}$. Javob: $\dfrac{32}{3}$.

5. Ildizlar $0$ va $2$. $Ox$ dan pastda: $S = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left. \left(x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right) \right|_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}$. Javob: $\dfrac{4}{3}$.

6. Kesishish nuqtalari: $x^2 = 2x \implies x = 0, 2$. $S = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \dfrac{4}{3}$. Javob: $\dfrac{4}{3}$.

7. $S = \int_0^4 x^{\frac{1}{2}}\,dx = \left. \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right|_0^4 = \dfrac{2}{3} \cdot 8 = \dfrac{16}{3}$. Javob: $\dfrac{16}{3}$.

8. $S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx = \left. \sin x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 - 0 = 1$. Javob: $1$.

9. Kesishish nuqtalari: $x^2 = x + 2 \implies x = -1, 2$. $S = \int_{-1}^2 (x + 2 - x^2)\,dx = \left. \left(\dfrac{x^2}{2} + 2x - \dfrac{x^3}{3}\right) \right|_{-1}^2 = \dfrac{10}{3} - \left(-\dfrac{7}{6}\right) = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$. Javob: $4{,}5$.

10. $S = \int_1^{e^2} \dfrac{1}{x}\,dx = \left. \ln x \right|_1^{e^2} = 2 - 0 = 2$. Javob: $2$.

Keng tarqalgan xatolar

1. $Ox$ o'qidan pastdagi sohani to'g'ridan-to'g'ri integrallab manfiy yuza olish. ✗ $y = x^2 - 1$ ning $[-1; 1]$ dagi yuzini $S = \int_{-1}^1 (x^2 - 1)\,dx = -\dfrac{4}{3}$ deb yozish. ✓ Geometrik yuza doimo musbat bo'ladi. $Ox$ dan pastdagi soha uchun integral oldiga minus qo'yiladi: $S = \int_{-1}^1 (1 - x^2)\,dx = \dfrac{4}{3}$.

2. Ikkita funksiya ayirmasida tartibni adashtirish. ✗ Qaysi funksiya yuqorida ekanini tekshirmasdan ayirib, manfiy natija olish. ✓ Har doim biror sinov nuqtasini qo'yib, $[f(x) - g(x)]$ da $f(x) \ge g(x)$ ekaniga ishonch hosil qilish shart.

3. Integrallash chegaralari sifatida ordinata ($y$) qiymatlarini qo'yish. ✗ $y = x^2$ va $y = 4$ orasidagi soha uchun chegaralarni $0$ dan $4$ gacha deb olish. ✓ $x$ bo'yicha integrallashda chegaralar faqat kesishish nuqtalarining abssissalari ($x = \pm 2$) bo'lishi kerak.

4. Funksiya $Ox$ o'qini kesib o'tganda bitta integral hisoblash. ✗ $y = x$ ning $[-1; 1]$ oraliqdagi yuzini $\int_{-1}^1 x\,dx = 0$ deb topish. ✓ Musbat va manfiy qismlar qisqarib ketmasligi uchun kesishish nuqtasi ($x = 0$) orqali alohida integrallar yig'indisi olinadi: $S = \int_{-1}^0 (-x)\,dx + \int_0^1 x\,dx = 1$.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Biz tekislikdagi shakllar yuzasini aniq integral yordamida hisoblashni to'liq o'zlashtirdik. Ushbu ko'nikma oliy matematika va fizika kurslarida fazoviy jismlar hajmi, inersiya momenti va harakat qonuniyatlarini o'rganishda mustahkam poydevor hisoblanadi.