Logarifmik funksiya va uning xossalari

Bu nima va nega kerak

Tovush balandligi (detsibellar), zilzila kuchi (Rixter shkalasi) yoki eritmaning kislotaliligi ($\text{pH}$) milliardlab marta farq qiluvchi ulkan oraliqda o'zgaradi. Bunday ko'rsatkichlarni qulay ifodalash va tahlil qilish uchun ko'rsatkichli funksiyaning teskarisi bo'lgan logarifmik funksiya qo'llaniladi.

$y = a^x$ ko'rsatkichli funksiya qat'iy monoton bo'lgani sababli, uning har bir qiymatiga yagona argument mos keladi. Demak, uning teskari funksiyasi mavjud va u $y = \log_a x$ ko'rinishida yoziladi.

Ushbu darsda logarifmik funksiyaning aniqlanish sohasi, grafigi, monotonligi va qiymatlar to'plamini aniqlashni o'rganamiz.

Asosiy g'oya

1. Ta'rifi va xossalari

Ta'rif: $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) ko'rinishidagi funksiya logarifmik funksiya deyiladi.

Xossa	$a > 1$	$0 < a < 1$
Aniqlanish sohasi $D(y)$	$(0; +\infty)$	$(0; +\infty)$
Qiymatlar to'plami $E(y)$	$\mathbb{R} = (-\infty; +\infty)$	$\mathbb{R} = (-\infty; +\infty)$
Monotonligi	Qat'iy o'suvchi	Qat'iy kamayuvchi
Noli	$x = 1$ da $y = 0$	$x = 1$ da $y = 0$
Muhim nuqtalar	$(1; 0), (a; 1)$	$(1; 0), (a; 1)$
Asimptotasi	$x = 0$ ($Oy$ o'qi)	$x = 0$ ($Oy$ o'qi)

Asosiy xususiyatlar:

• Grafik har doim $(1; 0)$ nuqtadan o'tadi, chunki $\log_a 1 = 0$.
• $a > 1$ bo'lsa: $x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 < \log_a x_2$.
• $0 < a < 1$ bo'lsa: $x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 > \log_a x_2$.
• $y = \log_a x$ va $y = a^x$ grafiklari $y = x$ to'g'ri chizig'iga nisbatan simmetrikdir.

2. Logarifm ishorasi

• Agar $a$ va $x$ ikkalasi ham $1$ dan katta yoki ikkalasi ham $1$ dan kichik bo'lsa: $\log_a x > 0$.
• Agar ulardan biri $1$ dan katta, ikkinchisi $1$ dan kichik bo'lsa: $\log_a x < 0$.

3. Aniqlanish sohasini topish

$y = \log_{g(x)} f(x)$ funksiya uchun uchta shart bir vaqtda bajarilishi shart: $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1 \end{cases}$

Yechilgan misollar

1-misol. Kvadrat uchhadli argumentning aniqlanish sohasi

$y = \log_4(x^2 - 3x - 10)$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

Yechish: Argument musbat bo'lishi kerak: $x^2 - 3x - 10 > 0.$ Ko'paytuvchilarga ajratamiz: $(x - 5)(x + 2) > 0.$ Intervallar usuliga ko'ra, ko'paytma $(-\infty; -2)$ va $(5; +\infty)$ oraliqlarda musbat.

Javob: $(-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$.

2-misol. Asosida o'zgaruvchi qatnashgan funksiya

$y = \log_{x - 1}(25 - x^2)$ funksiyaning aniqlanish sohasidagi barcha butun sonlar yig'indisini toping.

Yechish: Tegishli shartlar sistemasini tuzamiz: $\begin{cases} 25 - x^2 > 0 \implies -5 < x < 5 \\ x - 1 > 0 \implies x > 1 \\ x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2 \end{cases}$

Shartlarni kesishtirsak: $x \in (1; 2) \cup (2; 5)$. Ushbu oraliqdagi butun sonlar: $3$ va $4$. Ularning yig'indisi: $3 + 4 = 7$.

Javob: $7$.

3-misol. Sonlarni taqqoslash

Quyidagi sonlarni o'sish tartibida joylashtiring: $a = \log_3 10, \quad b = \log_{0{,}5} 4, \quad c = \log_5 1, \quad d = \log_2 8.$

Yechish: Har bir sonni baholaymiz:

1. $c = \log_5 1 = 0$.
2. $b = \log_{2^{-1}} 2^2 = -2$.
3. $d = \log_2 2^3 = 3$.
4. $a = \log_3 10$: $9 < 10 < 27$ bo'lgani uchun $2 < a < 3$.

Demak, $-2 < 0 < a < 3$, ya'ni $b < c < a < d$.

Javob: $b < c < a < d$.

4-misol. Qiymatlar to'plamini topish

$y = \log_2(x^2 + 4) - 3$ funksiyaning qiymatlar to'plamini toping.

Yechish:

1. Har qanday haqiqiy $x$ uchun $x^2 \ge 0$, demak $x^2 + 4 \ge 4$.
2. Asos $2 > 1$ bo'lgani sababli $\log_2 t$ o'suvchi: $\log_2(x^2 + 4) \ge \log_2 4 = 2.$
3. $3$ ni ayiramiz: $y \ge 2 - 3 = -1.$ Argument yuqoridan chegaralanmagani uchun qiymatlar to'plami $E(y) = [-1; +\infty)$.

Javob: $[-1; +\infty)$.

Mashq

1. $y = \log_7(4x - 12)$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
2. $y = \log_{0{,}5}(9 - x^2)$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
3. $y = \log_{x - 2}(10 - x)$ ning aniqlanish sohasidagi butun sonlar yig'indisini hisoblang.
4. Sonlarni taqqoslang: $\log_4 15$ va $\log_4 17$.
5. Sonlarni taqqoslang: $\log_{0{,}3} 5$ va $\log_{0{,}3} 7$.
6. $y = \log_3(x^2 - 4x + 13)$ ning eng kichik qiymatini toping.
7. $y = \sqrt{\log_2(x - 4)}$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
8. $y = \log_2(x - 2) + \log_2(8 - x)$ ning aniqlanish sohasidagi butun sonlar sonini toping.
9. $f(x) = \log_3 x$ bo'lsa, $f(27x) - f(x)$ ning qiymatini hisoblang.
10. $y = \log_{0{,}5}(x^2 + 8)$ funksiyaning eng katta qiymatini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $4x - 12 > 0 \implies x > 3$. Javob: $(3; +\infty)$.

2. $9 - x^2 > 0 \implies x^2 < 9 \implies -3 < x < 3$. Javob: $(-3; 3)$.

3. $10 - x > 0 \implies x < 10$; $x - 2 > 0 \implies x > 2$; $x - 2 \neq 1 \implies x \neq 3$. Oraliq: $(2; 3) \cup (3; 10)$. Butun sonlar: $4, 5, 6, 7, 8, 9$. Yig'indi: $39$. Javob: $39$.

4. Asos $4 > 1$ bo'lgani uchun funksiya o'suvchi: $15 < 17 \implies \log_4 15 < \log_4 17$. Javob: $\log_4 15 < \log_4 17$.

5. Asos $0{,}3 < 1$ bo'lgani uchun funksiya kamayuvchi: $5 < 7 \implies \log_{0{,}3} 5 > \log_{0{,}3} 7$. Javob: $\log_{0{,}3} 5 > \log_{0{,}3} 7$.

6. $x^2 - 4x + 13 = (x - 2)^2 + 9 \ge 9$. Eng kichik qiymat: $\log_3 9 = 2$. Javob: $2$.

7. $\log_2(x - 4) \ge 0 \implies x - 4 \ge 1 \implies x \ge 5$. Javob: $[5; +\infty)$.

8. $x - 2 > 0 \implies x > 2$ va $8 - x > 0 \implies x < 8$. Kesishma: $(2; 8)$. Butun sonlar: $3, 4, 5, 6, 7$ (jami $5$ ta). Javob: $5$ ta.

9. $\log_3(27x) - \log_3 x = \log_3\left(\dfrac{27x}{x}\right) = \log_3 27 = 3$. Javob: $3$.

10. $x^2 + 8 \ge 8$. Asos $0{,}5 < 1$ kamayuvchi bo'lgani uchun eng kichik argumentga eng katta qiymat mos keladi: $y_{\max} = \log_{0{,}5} 8 = -3$. Javob: $-3$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Asos $1$ dan kichik bo'lganda monotonlikni teskari qo'llash. ✗ $\log_{0{,}2} 3 < \log_{0{,}2} 5$ deb hisoblash. ✓ $0 < 0{,}2 < 1$ bo'lganda funksiya kamayuvchi, shuning uchun katta argumentga kichikroq qiymat mos keladi: $\log_{0{,}2} 3 > \log_{0{,}2} 5$.

2. Asosning $a \neq 1$ shartini unutish. ✗ $y = \log_{x-1}(x+3)$ aniqlanish sohasini $x > 1$ deb yozish. ✓ Asos birga teng bo'lolmaydi: $x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2$. To'g'ri javob: $(1; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Darajani oldinga tushirishda modulni tashlab ketish. ✗ $\log_2(x^2) = 2\log_2 x$ deb yozib, manfiy $x$ larni yo'qotish. ✓ Argument kvadrat bo'lgani uchun $x \neq 0$ bo'lgan barcha sonlar o'rinli: $\log_a(x^2) = 2\log_a |x|$.

4. Yig'indini ko'paytmaga aylantirishda aniqlanish sohasini asossiz kengaytirish. ✗ $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ ifodani $\log_2(x(x - 2))$ qilib, $x < 0$ oraliqni ham javobga kiritish. ✓ Dastlabki ifodada har bir logarifm alohida musbat bo'lishi shart ($x > 0$ va $x > 2$), demak faqat $x > 2$ qabul qilinadi.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Logarifmik funksiyaning xossalari va aniqlanish sohasini o'rgandik. Keyingi darsda ushbu poydevorga tayanib logarifmik tenglama va tengsizliklarni yechish usullari hamda chet ildizlarni aniqlash bilan tanishamiz.