Logarifmik tenglama va tengsizliklar

Bu nima va nega kerak

Bankdagi jamg'armaning necha yilda ikki baravar ortishi yoki radioaktiv moddaning qachon xavfsiz darajagacha yemirilishini hisoblash kabi amaliy masalalarda noma'lum miqdor logarifm ostida qatnashadi. Bunday masalalar logarifmik tenglama va tengsizliklarga olib keladi.

Logarifmik tenglamalarni yechishda eng muhim va nozik qadam — chet ildizlarni aniqlashdir. Logarifm faqat musbat sonlar uchun aniqlangani sababli, almashtirishlar jarayonida manfiy qiymat beruvchi yechimlar hosil bo'lishi mumkin.

Ushbu darsda har bir misolda aniqlanish sohasini qat'iy nazorat qilish, asosiy yechish usullari hamda asos $1$ dan kichik bo'lganda tengsizlik ishorasining o'zgarishini ko'rib chiqamiz.

Asosiy g'oya

1. Logarifmik tenglamalar va chet ildizlar

Noma'lum qatnashgan asosiy tenglama ko'rinishlari:

1. Sodda tenglama: $\log_a f(x) = b \implies f(x) = a^b$ Bu yerda $a^b > 0$ bo'lgani sababli $f(x) > 0$ sharti avtomatik bajariladi.

2. Bir xil asosli logarifmlar: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$

3. Chet ildizlar sababi: $\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a(f(x) \cdot g(x))$ tengligini qo'llaganda, agar $f(x) < 0$ va $g(x) < 0$ bo'lsa ham ularning ko'paytmasi musbat bo'lib ketadi. Natijada ma'noga ega bo'lmagan chet ildizlar paydo bo'ladi.

   Qoida: Har bir logarifmik tenglamada dastlab aniqlanish sohasi (AS) topiladi yoki oxirida topilgan ildizlar boshlang'ich tenglamaga qo'yib tekshiriladi!

4. Yangi o'zgaruvchi kiritish: $A\log_a^2 x + B\log_a x + C = 0$ tenglamada $t = \log_a x$ almashtirish kiritilib, kvadrat tenglamaga keltiriladi.

2. Logarifmik tengsizliklar

$\log_a f(x) > \log_a g(x)$ tengsizligini yechishda asos $a$ ga e'tibor beriladi:

• $a > 1$ bo'lsa: belgi saqlanadi: $\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$
• $0 < a < 1$ bo'lsa: belgi teskarisiga o'zgaradi: $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$

Yechilgan misollar

1-misol. Logarifmlar yig'indisi va chet ildiz

$\log_2(x + 3) + \log_2(x - 3) = 4$ tenglamani yeching.

Yechish:

1. AS: $x + 3 > 0$ va $x - 3 > 0 \implies x > 3$.
2. Yig'indini ko'paytmaga keltiramiz: $\log_2\big((x + 3)(x - 3)\big) = 4 \implies x^2 - 9 = 2^4 = 16.$ $x^2 = 25 \implies x_1 = 5, \quad x_2 = -5.$
3. Tekshirish:
   • $x = 5 > 3$ (AS ga kiradi, to'g'ri ildiz).
   • $x = -5 < 3$ (AS ga kirmaydi, chunki $\log_2(-2)$ mavjud emas — chet ildiz).

Javob: $5$.

2-misol. Kvadrat tenglamaga keltirish

$\log_3^2 x - 4\log_3 x + 3 = 0$ tenglamani yeching.

Yechish:

1. AS: $x > 0$.
2. $t = \log_3 x$ deb belgilaymiz: $t^2 - 4t + 3 = 0 \implies t_1 = 1, \quad t_2 = 3.$
3. Dastlabki o'zgaruvchiga qaytamiz:
   • $\log_3 x = 1 \implies x_1 = 3$.
   • $\log_3 x = 3 \implies x_2 = 3^3 = 27$. Ikkala ildiz ham $x > 0$ shartini qanoatlantiradi.

Javob: $3; 27$.

3-misol. Asosi $1$ dan kichik tengsizlik

$\log_{0{,}2}(3x - 1) \ge -1$ tengsizlikni yeching.

Yechish:

1. AS: $3x - 1 > 0 \implies x > \dfrac{1}{3}$.
2. Asos $0{,}2 < 1$ bo'lgani sababli belgi qarama-qarshisiga o'zgaradi: $3x - 1 \le (0{,}2)^{-1} = 5 \implies 3x \le 6 \implies x \le 2.$
3. AS bilan kesishtiramiz: $x \in \left(\frac{1}{3}; 2\right].$

Javob: $\left(\dfrac{1}{3}; 2\right]$.

4-misol. Kvadrat ifodali tengsizlik

$\log_2(x^2 - 2x) \le 3$ tengsizlikni yeching.

Yechish:

1. AS: $x^2 - 2x > 0 \implies x(x - 2) > 0 \implies x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.
2. Asos $2 > 1$ bo'lgani uchun belgi saqlanadi: $x^2 - 2x \le 2^3 = 8 \implies x^2 - 2x - 8 \le 0 \implies (x - 4)(x + 2) \le 0.$ Bu tengsizlik yechimi: $[-2; 4]$.
3. AS bilan kesishtiramiz: $[-2; 4] \cap \big((-\infty; 0) \cup (2; +\infty)\big) = [-2; 0) \cup (2; 4].$

Javob: $[-2; 0) \cup (2; 4]$.

Mashq

1. $\log_5(3x - 1) = 2$ tenglamani yeching.
2. $\log_2(x + 1) + \log_2(x - 1) = 3$ tenglamani yeching.
3. $\log_4(x^2 - 6x) = 2$ tenglamaning ildizlari yig'indisini toping.
4. $\log_2^2 x - 5\log_2 x + 6 = 0$ tenglamaning ildizlari ko'paytmasini toping.
5. $\log_x(3x + 10) = 2$ tenglamani yeching.
6. $\log_3(2x - 5) \le 2$ tengsizlikni yeching.
7. $\log_{0{,}5}(4x - 8) > -2$ tengsizlikni yeching.
8. $\log_3(x^2 - 8x) \le 2$ tengsizlikning butun yechimlari nechta?
9. $\lg(x + 4) + \lg(x - 2) = \lg(2x + 1)$ tenglamani yeching.
10. $\log_{0{,}1}(x - 4) \ge \log_{0{,}1}(10 - x)$ tengsizlikni yeching.

Javoblar va yechim yo'llari

1. AS: $x > \dfrac{1}{3}$. $3x - 1 = 25 \implies 3x = 26 \implies x = \dfrac{26}{3}$. Javob: $\dfrac{26}{3}$.

2. AS: $x > 1$. $x^2 - 1 = 8 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$ ($x = -3$ chet ildiz). Javob: $3$.

3. AS: $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$. $x^2 - 6x - 16 = 0 \implies x_1 = 8, x_2 = -2$. Yig'indisi: $8 + (-2) = 6$. Javob: $6$.

4. AS: $x > 0$. $t^2 - 5t + 6 = 0 \implies t_1 = 2, t_2 = 3 \implies x_1 = 4, x_2 = 8$. Ko'paytmasi: $4 \cdot 8 = 32$. Javob: $32$.

5. AS: $x > 0, x \neq 1$. $x^2 - 3x - 10 = 0 \implies x_1 = 5, x_2 = -2$ ($x = -2$ chet ildiz). Javob: $5$.

6. AS: $x > 2{,}5$. $2x - 5 \le 9 \implies 2x \le 14 \implies x \le 7$. Kesishma: $(2{,}5; 7]$. Javob: $(2{,}5; 7]$.

7. AS: $x > 2$. $4x - 8 < 4 \implies 4x < 12 \implies x < 3$. Kesishma: $(2; 3)$. Javob: $(2; 3)$.

8. AS: $x < 0$ yoki $x > 8$. $x^2 - 8x - 9 \le 0 \implies [-1; 9]$. Kesishma: $[-1; 0) \cup (8; 9]$. Butun yechimlar: $-1$ va $9$ ($2$ ta). Javob: $2$ ta.

9. AS: $x > 2$. $(x+4)(x-2) = 2x + 1 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$ ($-3$ chet ildiz). Javob: $3$.

10. AS: $4 < x < 10$. $x - 4 \le 10 - x \implies 2x \le 14 \implies x \le 7$. Kesishma: $(4; 7]$. Javob: $(4; 7]$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Aniqlanish sohasini tekshirmasdan chet ildizni qabul qilish. ✗ $\log_2(x - 2) + \log_2(x - 4) = 3$ da $x(x - 6) = 0$ dan $x = 0$ va $x = 6$ ni olish. ✓ $x = 0$ da $\log_2(-2)$ mavjud emas. Faqat $x = 6$ yechim bo'ladi.

2. Asos $1$ dan kichik bo'lganda ishorani o'zgartirmaslik. ✗ $\log_{0{,}3}(x - 1) > 1 \implies x - 1 > 0{,}3$ deb yozish. ✓ $0{,}3 < 1$ bo'lgani sababli belgi almashadi: $0 < x - 1 < 0{,}3 \implies 1 < x < 1{,}3$.

3. Tengsizlikda argumentning musbatlik shartini unutish. ✗ $\log_2(x - 5) < 3 \implies x - 5 < 8 \implies x < 13$ deb $(-\infty; 13)$ ni olish. ✓ Argument musbat bo'lishi shart: $x - 5 > 0 \implies x > 5$. To'g'ri javob: $(5; 13)$.

4. $\log_a^2 x$ bilan $\log_a(x^2)$ ni chalkashtirish. ✗ $\log_3^2 x = 2\log_3 x$ deb hisoblash. ✓ $\log_3^2 x = (\log_3 x)^2$. Daraja argumentga tegishli bo'lgandagina oldinga tushadi: $\log_3(x^2) = 2\log_3 x$ ($x > 0$ da).

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Logarifmik tenglama va tengsizliklarni puxta o'rgandik. Keyingi darsda matematik analizning poydevori bo'lgan funksiya limiti va noaniqliklarni ochish usullari bilan tanishamiz.