Ko'rsatkichli funksiya

Bu nima va nega kerak

Bakteriyalarning ko'payishi, bankdagi omonatning murakkab foiz hisobida o'sishi yoki radioaktiv moddalarning yemirilishi kabi jarayonlarda miqdor vaqt o'tishi bilan chiziqli emas, balki geometrik tarzda, ya'ni darajali tezlikda o'zgaradi.

Bunday jarayonlarni ifodalash uchun o'zgaruvchisi daraja ko'rsatkichida bo'lgan funksiyalar — ko'rsatkichli funksiyalar qo'llaniladi. Ko'rsatkichli funksiyalarni bilish oliy matematika, fizika, iqtisodiyot va DTM testlaridagi murakkab masalalarni yechishda poydevor hisoblanadi.

Asosiy g'oya

1. Ko'rsatkichli funksiya ta'rifi

Ta'rif: $y = a^x$ ko'rinishidagi funksiya ko'rsatkichli funksiya deyiladi, bu yerda $a > 0$ va $a \neq 1$.

Nega asosga bunday cheklovlar qo'yilgan?

• Agar $a < 0$ bo'lsa, masalan $(-4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-4}$ haqiqiy sonlar to'plamida mavjud emas.
• Agar $a = 0$ bo'lsa, $0^{-1} = \dfrac{1}{0}$ ma'noga ega emas.
• Agar $a = 1$ bo'lsa, $y = 1^x = 1$ o'zgarmas to'g'ri chiziqqa aylanadi.

2. Funksiyaning asosiy xossalari

1. Aniqlanish sohasi: $D(y) = \mathbb{R} = (-\infty; +\infty)$.
2. Qiymatlar sohasi: $E(y) = (0; +\infty)$, ya'ni doimo $a^x > 0$.
3. Karakterli nuqta: Har qanday $a$ uchun $a^0 = 1$, grafik doimo $(0; 1)$ nuqtadan o'tadi.
4. Monotonlik:
   • $a > 1$ bo'lganda: funksiya qat'iy o'suvchi. Katta argumentga katta qiymat mos keladi: $x_1 < x_2 \iff a^{x_1} < a^{x_2}$.
   • $0 < a < 1$ bo'lganda: funksiya qat'iy kamayuvchi. Katta argumentga kichik qiymat mos keladi: $x_1 < x_2 \iff a^{x_1} > a^{x_2}$.
5. Asimptota: $Ox$ o'qi ($y = 0$) grafikning gorizontal asimptotasi bo'ladi.

Yechilgan misollar

1-misol. Qiymatlar sohasini topish

Quyidagi funksiyalarning qiymatlar sohasini toping: a) $y = 7^x + 3$ b) $y = 2^{|x|} - 1$ c) $y = 3^{\cos x}$

Yechish: a) Har qanday $x \in \mathbb{R}$ uchun $7^x > 0$. Ikkala qismga $3$ ni qo'shamiz: $7^x + 3 > 3$. Demak, $E(y) = (3; +\infty)$. b) Modul uchun $|x| \ge 0$. Asos $2 > 1$ (o'suvchi) bo'lgani uchun $2^{|x|} \ge 2^0 = 1$. Undan $1$ ni ayirsak: $2^{|x|} - 1 \ge 0$. Demak, $E(y) = [0; +\infty)$. c) Ma'lumki, $-1 \le \cos x \le 1$. Asos $3 > 1$ bo'lgani sababli: $3^{-1} \le 3^{\cos x} \le 3^1 \implies \dfrac{1}{3} \le y \le 3$. Demak, $E(y) = \left[\dfrac{1}{3}; 3\right]$.

Javob: a) $(3; +\infty)$; b) $[0; +\infty)$; c) $\left[\dfrac{1}{3}; 3\right]$.

2-misol. Sonlarni taqqoslash

Quyidagi sonlarni taqqoslang: a) $3^{\sqrt{2}}$ va $3^{1{,}4}$ b) $(0{,}2)^{-3}$ va $(0{,}2)^{-1}$ c) $2^{30}$ va $3^{20}$

Yechish: a) Asos $a = 3 > 1$ bo'lgani uchun funksiya o'suvchi. $\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1{,}4$ bo'lgani uchun: $3^{\sqrt{2}} > 3^{1{,}4}$. b) Asos $0{,}2 \in (0; 1)$ bo'lgani uchun funksiya kamayuvchi. Darajalar $-3 < -1$, demak, tengsizlik ishorasi almashadi: $(0{,}2)^{-3} > (0{,}2)^{-1}$. c) Umumiy darajaga keltiramiz: $2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$ va $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$. $8 < 9$ bo'lgani sababli $8^{10} < 9^{10}$, ya'ni $2^{30} < 3^{20}$.

Javob: a) $3^{\sqrt{2}} > 3^{1{,}4}$; b) $(0{,}2)^{-3} > (0{,}2)^{-1}$; c) $2^{30} < 3^{20}$.

3-misol. Eng katta qiymatni topish

$y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 4x + 7}$ funksiyaning eng katta qiymatini toping.

Yechish: Darajadagi ifodani to'la kvadratga ajratamiz: $x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 + 3.$ Bu ifoda $x = 2$ da o'zining eng kichik qiymati $3$ ga erishadi. Asos $a = \dfrac{1}{2} < 1$ bo'lgani sababli, daraja eng kichik bo'lganda funksiya qiymati eng katta bo'ladi: $y_{\max} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}.$

Javob: $\dfrac{1}{8}$.

4-misol. Grafik xossalarini tekshirish

$y = 2^{x-1} - 2$ funksiya berilgan. Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini va asimptotasini toping.

Yechish:

• $Ox$ o'qi bilan kesishish ($y = 0$): $2^{x-1} - 2 = 0 \implies 2^{x-1} = 2^1 \implies x - 1 = 1 \implies x = 2$. Nuqta: $(2; 0)$.
• $Oy$ o'qi bilan kesishish ($x = 0$): $y = 2^{0-1} - 2 = \dfrac{1}{2} - 2 = -1{,}5$. Nuqta: $(0; -1{,}5)$.
• $x \to -\infty$ da $2^{x-1} \to 0$ bo'lgani sababli, $y \to -2$. Gorizontal asimptota to'g'ri chizig'i: $y = -2$.

Javob: $(2; 0)$, $(0; -1{,}5)$, asimptota $y = -2$.

Mashq

Mustaqil yechish uchun masalalar:

1. $y = 4^x - 8$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
2. $y = 5^{-x^2 + 6x - 7}$ funksiyaning eng katta qiymatini toping.
3. Sonlarni o'sish tartibida joylashtiring: $a = (0{,}3)^2$, $b = (0{,}3)^{-1}$, $c = (0{,}3)^0$.
4. $y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{|x|}$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
5. $y = 3^{x+1} - 9$ funksiya grafigining koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini toping.
6. $y = 2^{x^2 - 2x + 4}$ funksiyaning eng kichik qiymatini toping.
7. Sonlarni taqqoslang: $a = 4^{15}$ va $b = 8^{10}$.
8. $y = 6^{\sin x + 1}$ funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari ko'paytmasini toping.

Yechimlar va javoblar

1. $4^x > 0 \implies 4^x - 8 > -8$. Demak, $E(y) = (-8; +\infty)$. Javob: $(-8; +\infty)$.

2. $-x^2 + 6x - 7 = -(x - 3)^2 + 2$. Eng katta daraja $2$. Asos $5 > 1$ bo'lgani uchun $y_{\max} = 5^2 = 25$. Javob: $25$.

3. Asos $0{,}3 \in (0; 1)$ (kamayuvchi). Darajalar: $2 > 0 > -1$. Shuning uchun: $(0{,}3)^2 < (0{,}3)^0 < (0{,}3)^{-1}$, ya'ni $a < c < b$. Javob: $a < c < b$.

4. $|x| \ge 0 \implies \left(\dfrac{1}{3}\right)^{|x|} \le \left(\dfrac{1}{3}\right)^0 = 1$. Funksiya qiymati har doim musbat: $y > 0$. Demak, $E(y) = (0; 1]$. Javob: $(0; 1]$.

5. $Oy$ o'qi bilan: $x = 0 \implies y = 3^1 - 9 = -6 \implies (0; -6)$. $Ox$ o'qi bilan: $y = 0 \implies 3^{x+1} = 9 = 3^2 \implies x = 1 \implies (1; 0)$. Javob: $(0; -6)$ va $(1; 0)$.

6. $x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3 \ge 3$. Asos $2 > 1$ bo'lgani uchun eng kichik qiymat: $y_{\min} = 2^3 = 8$. Javob: $8$.

7. $a = (2^2)^{15} = 2^{30}$, $b = (2^3)^{10} = 2^{30}$. Demak, $a = b$. Javob: $a = b$.

8. $-1 \le \sin x \le 1 \implies 0 \le \sin x + 1 \le 2$. $y_{\min} = 6^0 = 1$, $y_{\max} = 6^2 = 36$. Ko'paytma: $1 \cdot 36 = 36$. Javob: $36$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Ko'rsatkichli funksiya qiymatini manfiy bo'lishi mumkin deb o'ylash. ✗ $2^x = -4$ tenglama $x = -2$ yechimga ega deb hisoblash. ✓ Har qanday haqiqiy $x$ uchun $a^x > 0$. Manfiy daraja sonning ishorasini o'zgartirmaydi: $2^{-2} = \dfrac{1}{4} > 0$. Tenglama yechimga ega emas.

2. Asos $0 < a < 1$ bo'lganda taqqoslash ishorasini o'zgartirmaslik. ✗ $(0{,}5)^3 > (0{,}5)^2$, chunki $3 > 2$. ✓ Asos $1$ dan kichik bo'lsa, funksiya kamayuvchi: ko'rsatkich qancha katta bo'lsa, son shuncha kichik bo'ladi. $(0{,}5)^3 = 0{,}125 < 0{,}25 = (0{,}5)^2$.

3. Manfiy sonni ko'rsatkichli funksiya asosi deb olish. ✗ $y = (-2)^x$ funksiyani ko'rsatkichli funksiya deb hisoblash. ✓ Asos manfiy bo'lsa, kasr darajalar (masalan, $\sqrt{-2}$) mavjud bo'lmay qoladi. Shuning uchun ta'rif bo'yicha $a > 0$ bo'lishi shart.

4. Qiymatlar sohasini aniqlanish sohasi bilan chalkashtirish. ✗ $y = 3^x$ ning qiymatlar sohasi $(-\infty; +\infty)$ deb yozish. ✓ Aniqlanish sohasi $D(y) = \mathbb{R}$, lekin qiymatlar sohasi faqat musbat sonlardan iborat: $E(y) = (0; +\infty)$.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Ko'rsatkichli funksiyaning xossalari va uning monotonligi bilan tanishdik. Keyingi darsda ushbu qoidalar asosida ko'rsatkichli tenglama va tengsizliklarni yechish usullarini o'rganamiz.