Fazoda burchaklar va masofalar

Bu nima va nega kerak

Bino tom qiyaligining nishab burchagi, quyosh panellarini gorizontga nisbatan yo'naltirish yoki samolyotning ko'tarilish trayektoriyasi burchak va masofa tushunchalariga asoslanadi.

Planimetriyada faqat ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak va ikki nuqta orasidagi masofa qaralgan edi. Fazoda esa geometrik ob'yektlar xilma-xil: ayqash to'g'ri chiziqlar, to'g'ri chiziq va tekislik, ikki tekislik orasidagi burchaklar hamda ular orasidagi masofalar vujudga keladi.

Ushbu darsda fazodagi burchaklar va masofalarning turlari, ularni aniqlash hamda hisoblash usullarini to'liq tizimlashtiramiz.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

       Burchak:                    Ikki yoqli burchak:
          A                               Qirra (c)
         /|                                  /
      l / | h                              /  \
       /  |                               /    \
      /φ  |                             /α      \β
     B----H (proyeksiya)               /_________ \

1. Fazoda burchaklar

a) Ayqash to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

Kesishmaydigan va bitta tekislikda yotmaydigan ikki to'g'ri chiziq ayqash to'g'ri chiziqlar deyiladi.

• Fazoning ixtiyoriy nuqtasi orqali berilgan $a$ va $b$ ayqash chiziqlarga parallel $a_1 \parallel a$ va $b_1 \parallel b$ to'g'ri chiziqlar o'tkaziladi.
• Kesishuvchi $a_1$ va $b_1$ to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak ayqash to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak deyiladi ($0^\circ < \varphi \le 90^\circ$).

b) To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak

[!IMPORTANT] Ta'rif. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak — bu to'g'ri chiziq bilan uning shu tekislikdagi proyeksiyasi orasidagi burchakdir ($0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$).

• Agar to'g'ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lsa, burchak $90^\circ$.
• Agar to'g'ri chiziq tekislikka parallel bo'lsa yoki unda yotsa, burchak $0^\circ$.
• To'g'ri burchakli uchburchakda: $\cos \varphi = \frac{p}{l}$, $\sin \varphi = \frac{h}{l}$, bu yerda $l$ — og'ma, $p$ — proyeksiya, $h$ — perpendikulyar.

c) Ikki yoqli burchak va chiziqli burchak

Bitta umumiy to'g'ri chiziqdan (qirradan) chiquvchi ikki yarim tekislik hosil qilgan shakl ikki yoqli burchak deyiladi.

• Qirradagi ixtiyoriy nuqtadan har ikkala yoqda qirraga perpendikulyar nurlar o'tkaziladi.
• Shu nurlar hosil qilgan burchak ikki yoqli burchakning chiziqli burchagi deyiladi.
• Ikki kesishuvchi tekislik orasidagi burchak ular hosil qilgan eng kichik chiziqli burchakka teng ($0^\circ < \varphi \le 90^\circ$).

---

2. Fazoda masofalar

1. Nuqtadan tekislikkacha masofa: Shu nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyar uzunligi.
2. To'g'ri chiziqdan unga parallel tekislikkacha masofa: To'g'ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasidan tekislikkacha bo'lgan masofa.
3. Parallel tekisliklar orasidagi masofa: Bir tekislikdagi ixtiyoriy nuqtadan ikkinchi tekislikkacha tushirilgan perpendikulyar uzunligi.
4. Ayqash to'g'ri chiziqlar orasidagi masofa:
   • Ayqash to'g'ri chiziqlarning ikkalasiga ham perpendikulyar bo'lgan va uchlari shu chiziqlarda yotuvchi kesma — umumiy perpendikulyar deyiladi.
   • Ayqash to'g'ri chiziqlar orasidagi masofa ularning umumiy perpendikulyari uzunligiga teng.

---

Yechilgan misollar

1-misol. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak

Og'maning uzunligi $16\text{ sm}$ bo'lib, tekislik bilan $30^\circ$ li burchak hosil qiladi. Nuqtadan tekislikkacha masofani va og'maning proyeksiyasini toping.

• $\triangle AHB$ to'g'ri burchakli uchburchak, gipotenuza $l = 16\text{ sm}$, burchak $\varphi = 30^\circ$.
• Perpendikulyar (qarshidagi katet): $h = l \cdot \sin 30^\circ = 16 \cdot 0{,}5 = 8\text{ sm}$
• Proyeksiya (yopishgan katet): $p = l \cdot \cos 30^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\text{ sm}$

Javob: masofa $8\text{ sm}$, proyeksiya $8\sqrt{3}\text{ sm}$.

2-misol. Ikki yoqli burchak masofasi

Ikki yoqli burchakning kattaligi $60^\circ$. Uning bir yog'idagi $A$ nuqtadan qirragacha masofa $10\text{ sm}$. $A$ nuqtadan ikkinchi yoqqacha masofani toping.

• $A$ dan qirraga $AK \perp c$ perpendikulyar o'tkazamiz ($AK = 10\text{ sm}$).
• $A$ dan ikkinchi yoqqa $AH$ perpendikulyar tushiramiz.
• Ikki yoqli burchakning chiziqli burchagi $\angle AKH = 60^\circ$.
• $\triangle AKH$ to'g'ri burchakli uchburchak ($\angle AHK = 90^\circ$): $AH = AK \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\text{ sm}$

Javob: $5\sqrt{3}\text{ sm}$.

3-misol. Kubda ayqash to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak va masofa

Qirrasi $a = 6\text{ sm}$ bo'lgan $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kub berilgan. a) $A_1B$ va $B_1C$ ayqash to'g'ri chiziqlari orasidagi burchakni toping. b) $AA_1$ va $BC$ ayqash qirralari orasidagi masofani toping.

• a) $B_1C$ kesmaga parallel qilib $A_1D$ kesmani o'tkazamiz ($B_1C \parallel A_1D$). Qidirilayotgan burchak $\angle DA_1B$ bo'ladi. $\triangle A_1BD$ uchburchakning tomonlari $A_1B = BD = A_1D = a\sqrt{2}$ (yoq diagonallari). Uchburchak muntazam bo'lgani uchun burchak $60^\circ$.
• b) $AA_1 \perp (ABCD)$ va $AB \subset (ABCD)$, demak $AB \perp AA_1$. Shuningdek, $ABCD$ kvadrat bo'lgani uchun $AB \perp BC$. $AB$ kesma $AA_1$ va $BC$ qirralar uchun umumiy perpendikulyardir: masofa $AB = 6\text{ sm}$.

Javob: burchak $60^\circ$, masofa $6\text{ sm}$.

4-misol. Parallel tekisliklar orasidagi kesma

Ikki parallel tekislik orasiga uzunligi $25\text{ sm}$ bo'lgan $AB$ kesma o'tkazilgan, uning uchlari tekisliklarda yotadi. Tekisliklar orasidagi masofa $15\text{ sm}$. Kesmaning tekislikdagi proyeksiyasini toping.

• $A$ nuqtadan ikkinchi tekislikka $AH$ perpendikulyar tushiramiz ($AH = 15\text{ sm}$).
• $\triangle ABH$ to'g'ri burchakli uchburchak ($\angle AHB = 90^\circ$): $HB = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = 20\text{ sm}$

Javob: $20\text{ sm}$.

---

Mashq

1. Og'ma $20\text{ sm}$ bo'lib, tekislik bilan $45^\circ$ li burchak hosil qiladi. Tekislikkacha masofani toping.
2. Ikki yoqli burchak $45^\circ$. Yoqlardan biridagi nuqtadan ikkinchi yoqqacha masofa $6\text{ sm}$. Shu nuqtadan qirragacha masofani toping.
3. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubda $AB_1$ va $CD$ to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.
4. Kubning qirrasi $8\text{ sm}$. $AA_1$ va $CC_1$ parallel qirralari orasidagi masofani hisoblang.
5. Ikki parallel tekislik orasidagi masofa $12\text{ sm}$. Uchlari tekisliklarda yotuvchi kesmaning proyeksiyasi $5\text{ sm}$ bo'lsa, kesma uzunligini toping.
6. Nuqtadan tekislikka o'tkazilgan og'ma $12\text{ sm}$, uning tekislikdagi proyeksiyasi $6\text{ sm}$. Og'ma va tekislik orasidagi burchakni hisoblang.
7. Kubning qirrasi $4\text{ sm}$. $B_1D$ diagonali bilan $(ABCD)$ asos tekisligi orasidagi burchak tangensini toping.
8. Ikki yoqli burchak $30^\circ$. Bir yoqdagi nuqtadan qirragacha masofa $16\text{ sm}$. Shu nuqtadan ikkinchi yoqqacha masofani toping.
9. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ to'g'ri burchakli parallelepipedda $AB = 3\text{ sm}$, $AD = 4\text{ sm}$, $AA_1 = 5\text{ sm}$. $B_1D$ diagonali bilan asos tekisligi orasidagi burchakni toping.
10. Ikki ayqash to'g'ri chiziq orasidagi masofa har doim mavjud va yagonami? Fikringizni izohlang.

Javoblar va yechim yo'llari

1. Masofa: $h = 20 \cdot \sin 45^\circ = 10\sqrt{2}\text{ sm}$. Javob: $10\sqrt{2}\text{ sm}$.
2. Masofa: $l = \frac{6}{\sin 45^\circ} = 6\sqrt{2}\text{ sm}$. Javob: $6\sqrt{2}\text{ sm}$.
3. $CD \parallel AB$, $AB_1$ kvadrat diagonali bo'lgani uchun burchak $45^\circ$. Javob: $45^\circ$.
4. Kvadrat diagonali: $AC = 8\sqrt{2}\text{ sm}$. Javob: $8\sqrt{2}\text{ sm}$.
5. Kesma: $l = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ sm}$. Javob: $13\text{ sm}$.
6. $\cos \varphi = 6 / 12 = 1/2 \implies \varphi = 60^\circ$. Javob: $60^\circ$.
7. $BD = 4\sqrt{2}\text{ sm}$. $\operatorname{tg} \varphi = \frac{BB_1}{BD} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Javob: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
8. Masofa: $h = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8\text{ sm}$. Javob: $8\text{ sm}$.
9. $BD = 5\text{ sm}$, $BB_1 = 5\text{ sm} \implies \operatorname{tg} \varphi = 1 \implies \varphi = 45^\circ$. Javob: $45^\circ$.
10. Ha, har qanday ikki ayqash to'g'ri chiziq uchun yagona umumiy perpendikulyar mavjud va uning uzunligi ular orasidagi masofadir. Javob: Ha, umumiy perpendikulyar yagona.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni perpendikulyarga nisbatan hisoblash. ✗ Chiziq bilan perpendikulyar orasidagi burchakni tekislik bilan hosil qilingan burchak deb olish. ✓ To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak chiziq bilan uning proyeksiyasi orasida o'lchanadi.

2. Ayqash to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni o'tmas qilib olish. ✗ Ayqash to'g'ri chiziqlar burchagini $90^\circ$ dan katta deb xulosa qilish. ✓ Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak ta'rifga ko'ra o'tkir yoki to'g'ri burchak bo'ladi ($0^\circ < \varphi \le 90^\circ$).

3. Ikki yoqli burchak chiziqli burchagida qirraga tiklikni ta'minlamaslik. ✗ Qirraning ixtiyoriy nuqtasidan ixtiyoriy burchak ostida chiziqlar o'tkazish. ✓ Nurlar qirraning bitta nuqtasidan va qirraga qat'iy perpendikulyar holda chiqarilishi shart.

4. Ayqash to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani ixtiyoriy kesma deb bilish. ✗ Ayqash to'g'ri chiziqlarning ixtiyoriy ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesmani masofa deb qabul qilish. ✓ Masofa faqat ikkala to'g'ri chiziqqa ham perpendikulyar bo'lgan umumiy perpendikulyar uzunligidir.

---

DTM uslubidagi test

Yuqoridagi frontmatter bo'limida berilgan 5 ta test savolini ishlab, bilimlaringizni sinovdan o'tkazing.

Keyingi qadam

Fazoda to'g'ri chiziq va tekisliklarning o'zaro joylashuvi, burchaklar va masofalarni to'liq o'rgandik. Ushbu qonuniyatlar 11-sinfda Fazoviy jismlar: ko'pyoqlar (prizma, piramida) va aylanish jismlari (silindr, konus, shar) mavzularini o'rganishda asosiy qurol bo'lib xizmat qiladi.