Stereometriya aksiomalari va oqibatlari

Bu nima va nega kerak

7–9-sinflarda o'rganilgan planimetriya bitta tekis varaqdagi shakllarni o'rganadi. Fazodagi jismlar (binolar, kub, piramida) esa bitta tekislikka sig'maydi. Fazoviy shakllarning xossalarini o'rganuvchi geometriya bo'limi stereometriya deyiladi.

Tekislikda to'g'ri chiziq asosiy element bo'lsa, fazoda unga tekislik qo'shiladi. Fazodagi jismlarni to'g'ri tahlil qilish uchun stereometriyaning poydevori bo'lgan asosiy aksiomalarni bilish shart.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

Asosiy tushunchalar:

• Nuqta: $A, B, C, \dots$
• To'g'ri chiziq: $a, b, c, \dots$
• Tekislik: $\alpha, \beta, \gamma, \dots$ (har tomonga cheksiz yoyilgan tekis sirt).

Stereometriyaning uch asosiy aksiomasi

Planimetriyaning barcha teoremalari har bir alohida tekislikda saqlanadi. Fazoning o'ziga xos tuzilishini quyidagi uchta aksioma belgilaydi:

[!IMPORTANT] 1-aksioma ($C_1$). Bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan ixtiyoriy uchta nuqta orqali bitta va faqat bitta tekislik o'tadi.

$A, B, C$ nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotmasa, ularni o'z ichiga oluvchi yagona $\alpha$ tekislik mavjud: $\alpha = (ABC)$. (Hayotiy misol: Uch oyoqli stul pol sathi notekis bo'lsa ham qimirlamay mustahkam turadi).

[!IMPORTANT] 2-aksioma ($C_2$). Agar to'g'ri chiziqning ikkita nuqtasi tekislikda yotsa, bu to'g'ri chiziqning barcha nuqtalari shu tekislikda yotadi ($a \subset \alpha$).

[!IMPORTANT] 3-aksioma ($C_3$). Agar ikki turli tekislik umumiy nuqtaga ega bo'lsa, ular shu nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi.

$M \in \alpha$ va $M \in \beta \implies \alpha \cap \beta = c$, bu yerda $M \in c$. (Xonaning ikki devori bitta to'g'ri chiziq bo'ylab tutashadi).

       Aksioma 1:                Aksioma 3:
          B                         \      alpha
         / \                         \    /
        /   \                         \  /
       A-----C                         \/--------- c (kesishish chizig'i)
   (yagona tekislik)                   /\
                                      /  \
                                     /    \ beta

Tekislikni aniqlash usullari (oqibatlar)

Fazoda yagona tekislik o'tkazishning 4 usuli bor:

1. Bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan 3 ta nuqta orqali ($A, B, C$).
2. To'g'ri chiziq va unda yotmagan nuqta orqali ($a$ va $M \notin a$).
3. Kesishuvchi ikki to'g'ri chiziq orqali ($a \cap b = \{O\}$).
4. Parallel ikki to'g'ri chiziq orqali ($a \parallel b$).

---

Yechilgan misollar

1-misol. Bitta tekislikda yotmaydigan to'rtta nuqta

Fazoda $A, B, C, D$ to'rtta nuqta bitta tekislikda yotmaydi. Bu to'rtta nuqtaning uchtasidan o'tuvchi jami nechta turli tekislik o'tkazish mumkin?

• Agar biror 3 ta nuqta bir to'g'ri chiziqda yotsa, to'rtinchi nuqta bilan birga barchasi bitta tekislikda bo'lib qolardi. Demak, hech qaysi 3 ta nuqta bir to'g'ri chiziqda yotmaydi.
• Har 3 ta nuqta alohida tekislik aniqlaydi: $C_4^3 = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4\text{ ta tekislik}$
• Ular: $(ABC), (ABD), (ACD), (BCD)$ — tetraedr yoqlari.

Javob: $4$ ta tekislik.

2-misol. Kubdagi kesim yuzi

Qirrasi $4\text{ sm}$ bo'lgan $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubda $A_1$, $B$ va $C_1$ uchlar orqali o'tuvchi kesim yuzini toping.

• $A_1B, BC_1, A_1C_1$ kesmalar kub yoqlarining diagonallaridir: $A_1B = BC_1 = A_1C_1 = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\text{ sm}$
• Kesim tomoni $a = 4\sqrt{2}\text{ sm}$ bo'lgan muntazam uchburchakdir.
• Muntazam uchburchak yuzi: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3}\text{ sm}^2$

Javob: $8\sqrt{3}\text{ sm}^2$.

3-misol. Kesishish chizig'iga tegishlilik

$\alpha$ va $\beta$ tekisliklar $c$ to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. $\alpha$ tekislikdagi $AB$ to'g'ri chiziq va $\beta$ tekislikdagi $CD$ to'g'ri chiziq fazoda $K$ nuqtada kesishsa, $K$ nuqta $c$ to'g'ri chiziqda yotishini ko'rsating.

• $K \in AB$ va $AB \subset \alpha$ bo'lgani uchun $K \in \alpha$.
• $K \in CD$ va $CD \subset \beta$ bo'lgani uchun $K \in \beta$.
• $K$ nuqta ikkala tekislikka tegishli, ya'ni $K \in \alpha \cap \beta$.
• 3-aksiomaga ko'ra, $\alpha \cap \beta = c$. Demak, $K \in c$.

Javob: $K$ nuqta $c$ to'g'ri chiziqda yotadi.

4-misol. Fazoviy to'rtburchak diagonallari

Fazoda $A, B, C, D$ nuqtalar bitta tekislikda yotmaydi. $AC$ va $BD$ to'g'ri chiziqlar kesishishi mumkinmi?

• Teskarisini faraz qilaylik: $AC$ va $BD$ to'g'ri chiziqlar biror nuqtada kesishsin.
• Kesishuvchi ikki to'g'ri chiziq orqali yagona $\gamma$ tekislik o'tadi.
• U holda $A, C \in \gamma$ va $B, D \in \gamma$ bo'lib, to'rtala nuqta bitta tekislikda yotib qolardi. Bu shartga zid.
• Demak, $AC$ va $BD$ kesisha olmaydi.

Javob: Kesishishi mumkin emas.

---

Mashq

1. Fazoda bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtadan teng uzoqlikda joylashgan nuqtalar to'plami fazoda nimani tashkil qiladi?
2. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubda $A, B, C, D_1$ to'rtta nuqta bitta tekislikda yotadimi?
3. Bitta tekislikda yotmaydigan $S$ nuqta va $ABC$ uchburchak berilgan. $SA, SB, SC$ to'g'ri chiziqlar juft-jufti bilan nechta turli tekislik hosil qiladi?
4. Qirrasi $6\text{ sm}$ bo'lgan kubda $A_1, B, D$ uchlar orqali o'tuvchi uchburchakning perimetrini hisoblang.
5. Ikki parallel to'g'ri chiziq $a$ va $b$ berilgan. $a$ to'g'ri chiziqda 2 ta, $b$ to'g'ri chiziqda 3 ta nuqta belgilandi. Bu 5 ta nuqta orqali nechta turli tekislik o'tadi?
6. $\alpha$ va $\beta$ tekisliklar $MN$ to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. $\alpha$ tekislikdagi $a$ to'g'ri chiziq $MN$ ni $P$ nuqtada kesadi. $a$ to'g'ri chiziq $\beta$ tekislikni necha nuqtada kesadi?
7. $A, B, C, D$ to'rtta nuqta bitta tekislikda yotmaydi. $AB$ va $CD$ to'g'ri chiziqlarning umumiy nuqtasi bo'lishi mumkinmi?
8. $ABCD$ parallelogramm tekisligida yotmaydigan $M$ nuqta berilgan. $(MAB)$ va $(MCD)$ tekisliklarning umumiy nuqtasi bormi?
9. Qirrasi $8\text{ sm}$ bo'lgan kubning $B, D, C_1$ uchlari orqali o'tuvchi kesim yuzini toping.
10. Bir nuqtada kesishuvchi va hech qaysi uchtasi bir tekislikda yotmaydigan 4 ta to'g'ri chiziq juft-jufti bilan nechta tekislik hosil qiladi?

Javoblar va yechim yo'llari

1. Uchburchak tekisligiga perpendikulyar va unga tashqi chizilgan aylana markazidan o'tuvchi to'g'ri chiziqni. Javob: to'g'ri chiziq.
2. $A, B, C$ pastki asosda, $D_1$ esa ustki asosda yotadi. Ular bitta tekislikda yotmaydi. Javob: yotmaydi.
3. $(SAB), (SBC), (SAC)$ — jami 3 ta tekislik. Javob: 3 ta.
4. Tomonlari: $A_1B = BD = A_1D = 6\sqrt{2}\text{ sm}$. Perimetr: $P = 3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\text{ sm}$. Javob: $18\sqrt{2}\text{ sm}$.
5. Ikki parallel to'g'ri chiziq yagona tekislikda yotadi, demak barcha nuqtalar bitta tekislikda. Javob: 1 ta.
6. $a$ to'g'ri chiziq $\beta$ tekislik bilan faqat $MN$ chizig'idagi $P$ nuqtada uchrashadi. Javob: 1 ta.
7. Agar umumiy nuqtasi bo'lsa, kesishuvchi to'g'ri chiziqlar orqali yagona tekislik o'tib, to'rtala nuqta bitta tekislikda bo'lardi. Bu shartga zid. Javob: mumkin emas.
8. $M$ nuqta ikkala tekislikka tegishli, demak ular $M$ orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi. Javob: Ha, to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi.
9. Muntazam uchburchak tomoni $a = 8\sqrt{2}\text{ sm}$. $S = \frac{(8\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = 32\sqrt{3}\text{ sm}^2$. Javob: $32\sqrt{3}\text{ sm}^2$.
10. $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ ta tekislik. Javob: 6 ta.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. "Ixtiyoriy uchta nuqta orqali yagona tekislik o'tadi" deb o'ylash. ✗ Nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotgan holatni hisobga olmaslik. ✓ Bir to'g'ri chiziqda yotuvchi uchta nuqta orqali cheksiz ko'p tekislik o'tadi (ochilgan kitob sahifalari kabi). Yagona tekislik o'tishi uchun nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotmasligi shart.

2. Kesishmaydigan to'g'ri chiziqlarni doimo parallel deb hisoblash. ✗ Fazoda umumiy nuqtasi yo'q to'g'ri chiziqlarni darhol parallel deyish. ✓ Fazoda kesishmaydigan to'g'ri chiziqlar bitta tekislikda yotmasligi ham mumkin — ular ayqash to'g'ri chiziqlardir.

3. Tekislikni cheklangan shakl deb tasavvur qilish. ✗ Tekislikni chizmadagi to'rtburchak chegarasida tugaydi deb bilish. ✓ Chizmadagi shakl tekislikning tasviri xolos; tekislik har tomonga cheksiz yoyiladi.

4. Ikki tekislikning kesishmasi bitta nuqta bo'la oladi deb o'ylash. ✗ Ikki tekislik faqat bitta nuqtada kesishadi deb hisoblash. ✓ 3-aksiomaga ko'ra, agar ikki turli tekislikning bitta umumiy nuqtasi bo'lsa, ular butun bir to'g'ri chiziq bo'ylab kesishadi.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun yuqoridagi 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Stereometriyaning dastlabki aksiomalari va tekislik o'tkazish usullarini o'rgandik. Keyingi darsda fazoda ikki to'g'ri chiziqning o'zaro joylashuvi — kesishuvchi, parallel va ayqash to'g'ri chiziqlar hamda ular orasidagi burchakni aniqlashni ko'rib chiqamiz.