Fazoda ikki to'g'ri chiziqning o'zaro joylashuvi

Bu nima va nega kerak

Planimetriyada ikki to'g'ri chiziq faqat kesishadi yoki parallel bo'ladi. Fazoda esa yangi holat yuzaga keladi: ular bitta tekislikda yotmasligi mumkin.

Masalan, ko'prikdan o'tayotgan yo'l bilan uning tagidagi temir yo'l hech qachon to'qnashmaydi (kesishmaydi), lekin ular o'zaro parallel ham emas. Ular turli tekisliklarda joylashgan. Fazoda kesishmaydigan va bitta tekislikda yotmaydigan bunday to'g'ri chiziqlar ayqash to'g'ri chiziqlar deyiladi.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

Fazoda ikki to'g'ri chiziqning o'zaro joylashuvi:

                  Fazoda ikki to'g'ri chiziq
                         /          \
      Bitta tekislikda yotuvchi     Bitta tekislikda yotmaydigan
             /          \                         |
     Kesishuvchi       Parallel                 Ayqash
   (1 umumiy nuqta)  (umumiy nuqtasi yo'q)  (umumiy nuqtasi yo'q)

1. Kesishuvchi to'g'ri chiziqlar: bitta tekislikda yotadi va yagona umumiy nuqtaga ega ($a \cap b = \{M\}$).
2. Parallel to'g'ri chiziqlar: bitta tekislikda yotadi va umumiy nuqtaga ega emas ($a \parallel b$).
3. Ayqash to'g'ri chiziqlar: bitta tekislikda yotmaydi va umumiy nuqtasi yo'q.

Ayqash to'g'ri chiziqlar alomati

[!IMPORTANT] Ayqash to'g'ri chiziqlar alomati. Agar ikki to'g'ri chiziqdan biri biror $\alpha$ tekislikda yotsa ($a \subset \alpha$), ikkinchisi esa bu tekislikni $a$ to'g'ri chiziqda yotmaydigan $M$ nuqtada kesib o'tsa ($b \cap \alpha = \{M\}$, $M \notin a$), u holda $a$ va $b$ ayqash to'g'ri chiziqlardir.

          b
          |
          |  M (kesishish nuqtasi)
     +----*----------------+ alpha
     |   /                 |
     |  / a                |
     | /                   |
     +---------------------+

Parallellikning tranzitivligi

[!IMPORTANT] Teorema. Fazoda uchinchi to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan ikki to'g'ri chiziq o'zaro paralleldir: $a \parallel b \quad \text{va} \quad b \parallel c \implies a \parallel c$

Fazoda ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak

1. Kesishuvchi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak: ular hosil qilgan burchaklardan kichigi yoki tengi olinadi ($0^\circ < \varphi \le 90^\circ$). Parallel to'g'ri chiziqlar uchun $0^\circ$.
2. Ayqash to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak: Ixtiyoriy nuqtadan berilgan $a$ va $b$ to'g'ri chiziqlarga parallel $a_1$ va $b_1$ to'g'ri chiziqlar o'tkaziladi ($a_1 \parallel a, b_1 \parallel b$). Ushbu kesishuvchi $a_1$ va $b_1$ orasidagi burchak ayqash $a$ va $b$ to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak hisoblanadi.
3. Agar burchak $90^\circ$ bo'lsa, ular o'zaro perpendikulyar deyiladi ($a \perp b$). Ayqash to'g'ri chiziqlar ham o'zaro perpendikulyar bo'lishi mumkin.

---

Yechilgan misollar

1-misol. Kubda ayqash qirralar orasidagi burchak

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubda $AA_1$ va $BC$ to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.

• $AA_1$ va $BC$ to'g'ri chiziqlar ayqashdir.
• $BC$ ga parallel qilib $AD$ ni olamiz ($AD \parallel BC$).
• $AA_1$ va $AD$ to'g'ri chiziqlar $A$ nuqtada kesishadi.
• $AA_1D_1D$ kvadrat bo'lgani uchun $\angle A_1AD = 90^\circ$.

Javob: $90^\circ$.

2-misol. Yoq diagonali va qirra orasidagi burchak

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubda $AB_1$ va $CD$ to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.

• $CD \parallel AB$ bo'lgani uchun, $AB_1$ va $CD$ orasidagi burchak $AB_1$ va $AB$ orasidagi $\angle BAB_1$ burchakka teng.
• $ABB_1A_1$ yoq kvadrat, uning diagonali burchakni teng ikkiga bo'ladi: $\angle BAB_1 = 45^\circ$

Javob: $45^\circ$.

3-misol. Ayqashlik alomatini qo'llash

$ABC$ uchburchak tekisligida yotmaydigan $D$ nuqta olingan (tetraedr $DABC$). $AB$ va $CD$ to'g'ri chiziqlar ayqash ekanini isbotlang.

• $AB \subset (ABC)$ tekislikda yotadi.
• $CD$ to'g'ri chiziq $(ABC)$ tekisligini $C$ nuqtada kesadi.
• $C \notin AB$, chunki $A, B, C$ uchburchak uchlaridir.
• Alomatga ko'ra, $AB$ va $CD$ to'g'ri chiziqlar ayqashdir.

Javob: Isbotlandi.

4-misol. Fazoda Varinyon parallelogrammi

Uchlari bir tekislikda yotmaydigan fazoviy $ABCD$ to'rtburchakda $AB, BC, CD, DA$ tomonlarning o'rtalari mos ravishda $K, L, M, N$ bo'lsa, $KLMN$ parallelogramm ekanini isbotlang.

• $\triangle ABC$ da $KL$ o'rta chiziq: $KL \parallel AC$ va $KL = \frac{AC}{2}$.
• $\triangle ADC$ da $MN$ o'rta chiziq: $MN \parallel AC$ va $MN = \frac{AC}{2}$.
• Tranzitivlikka ko'ra $KL \parallel MN$ va $KL = MN$.
• Ikki qarama-qarshi tomoni parallel va teng bo'lgan to'rtburchak parallelogrammdir. Demak, $KLMN$ — parallelogramm.

Javob: Isbotlandi.

---

Mashq

1. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubda $A_1D_1$ qirraga ayqash bo'lgan nechta kub qirrasi bor?
2. Kubda $AC$ va $B_1D_1$ to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.
3. Muntazam tetraedr $SABC$ ning barcha qirralari teng. Qarama-qarshi $SA$ va $BC$ qirralari orasidagi burchakni aniqlang.
4. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubda $A_1B$ va $AC$ to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang.
5. $a$ va $b$ ayqash to'g'ri chiziqlar. $a$ to'g'ri chiziq orqali o'tib, $b$ ga parallel bo'lgan nechta tekislik mavjud?
6. Kubda $AB_1$ va $A_1D$ to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.
7. Fazoviy $ABCD$ to'rtburchakda $AC = 10\text{ sm}$ va $BD = 14\text{ sm}$. Tomonlari o'rtalarini tutashtirishdan hosil bo'lgan parallelogramm perimetrini toping.
8. $a \parallel b$ bo'lib, $c$ to'g'ri chiziq $a$ bilan ayqash bo'lsa, $c$ va $b$ to'g'ri chiziqlar o'zaro parallel bo'lishi mumkinmi?
9. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ to'g'ri burchakli parallelepipedda $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 12$. $AA_1$ va $BD$ to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping.
10. Kubda $A_1C_1$ va $BD$ to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak nimaga teng?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $A_1D_1$ bilan parallel qirralar 3 ta, kesishuvchilar 4 ta, o'zi bilan 8 ta. Qolgan 4 qirra ($BB_1, CC_1, AB, CD$) ayqash. Javob: 4 ta.
2. $B_1D_1 \parallel BD$. Kvadratda $AC \perp BD$, demak burchak $90^\circ$. Javob: $90^\circ$.
3. $BC$ ning o'rtasi $M$ bo'lsin. $AM \perp BC$ va $SM \perp BC \implies BC \perp (SAM) \implies BC \perp SA$. Burchak $90^\circ$. Javob: $90^\circ$.
4. $A_1B \parallel D_1C$. $\triangle ACD_1$ muntazam uchburchak, chunki tomonlari yoq diagonallari ($a\sqrt{2}$). Burchak $60^\circ$. Javob: $60^\circ$.
5. $a$ dagi nuqtadan $b_1 \parallel b$ o'tkazilsa, $a$ va $b_1$ orqali yagona tekislik o'tadi. Javob: faqat 1 ta.
6. $AB_1 \parallel DC_1$. $\triangle A_1DC_1$ da barcha tomonlar $a\sqrt{2}$. Demak burchak $60^\circ$. Javob: $60^\circ$.
7. Tomonlari $\frac{AC}{2} = 5\text{ sm}$ va $\frac{BD}{2} = 7\text{ sm}$. Perimetr: $P = 2(5 + 7) = 24\text{ sm}$. Javob: $24\text{ sm}$.
8. Mumkin emas. Agar $b \parallel c$ bo'lsa, tranzitivlikka ko'ra $a \parallel c$ bo'lib qolardi. Javob: mumkin emas.
9. $AA_1 \perp (ABCD)$ bo'lgani uchun $AA_1 \perp BD$. Burchak $90^\circ$. Javob: $90^\circ$.
10. $A_1C_1 \parallel AC$. Kvadratda $AC \perp BD$, shuning uchun burchak $90^\circ$. Javob: $90^\circ$.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Kesishmaydigan to'g'ri chiziqlarni doimo parallel deb o'ylash. ✗ Fazoda umumiy nuqtasi yo'q to'g'ri chiziqlarni darhol parallel deyish. ✓ Ular bitta tekislikda yotmasligi mumkin — bunday chiziqlar ayqash deyiladi.

2. Ayqash to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak yo'q deb hisoblash. ✗ Kesishmaydigan to'g'ri chiziqlar orasida burchak bo'lmaydi deb bilish. ✓ Ayqash to'g'ri chiziqlarga parallel kesishuvchi chiziqlar o'tkazilib, ular orasidagi burchak topiladi.

3. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni $90^\circ$ dan katta deb olish. ✗ Burchakni masalan $120^\circ$ deb yozish. ✓ Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak doimo o'tkir yoki to'g'ri burchak bo'ladi: $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$.

4. Fazoda perpendikulyar to'g'ri chiziqlar albatta kesishadi deb hisoblash. ✗ Perpendikulyar to'g'ri chiziqlar kesishishi shart deb bilish. ✓ Fazoda to'g'ri chiziqlar ayqash bo'la turib ham o'zaro perpendikulyar bo'lishi mumkin (masalan kubda $AA_1$ va $BC$).

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun yuqoridagi 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Fazoda ikki to'g'ri chiziqning o'zaro joylashuvini o'rgandik. Keyingi darsda to'g'ri chiziq va tekislikning parallelligi, uning alomati va xossalarini ko'rib chiqamiz.