Uch perpendikulyar teoremasi

Bu nima va nega kerak

Fazoviy chizmalarda to'g'ri burchaklar ko'pincha qiyshiq burchak ko'rinishida tasvirlanadi. Masalan, piramida cho'qqisidan asos tomoniga tushirilgan balandlik yoki qirralardagi to'g'ri burchaklarni ko'z bilan payqash qiyin.

Fazodagi perpendikulyarlikni tekislikdagi perpendikulyarlik bilan bog'lovchi asosiy qoida — Uch perpendikulyar teoremasidir. Ushbu teorema fazoviy masalalarni oddiy planimetriyaga (Pifagor teoremasiga) keltirish imkonini beradi.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

          A (fazodagi nuqta)
          | \
          |  \
          |   \ og'ma (AB)
          |    \
   -------H-----B------ tekislik (α)
         /     /|
        /     / | to'g'ri chiziq (c)
       /     /  |

1. Uchta perpendikulyar

Ushbu qoidada uchta perpendikulyar zanjirdek bog'langan:

1. $AH \perp \alpha$ — tekislikka tushirilgan perpendikulyar.
2. $HB \perp c$ — tekislikdagi $c$ to'g'ri chiziq og'maning proyeksiyasiga perpendikulyar.
3. $AB \perp c$ — tekislikdagi $c$ to'g'ri chiziq og'maning o'ziga perpendikulyar.

2. Uch perpendikulyar teoremasi (to'g'ri teorema)

[!IMPORTANT] Teorema. Tekislikda yotuvchi to'g'ri chiziq og'maning proyeksiyasiga perpendikulyar bo'lsa, u og'maning o'ziga ham perpendikulyar bo'ladi: $c \subset \alpha, \quad c \perp HB \implies c \perp AB$

Isbot g'oyasi: $c$ to'g'ri chiziq $HB$ va $AH$ ga tik bo'lgani uchun, u $(AHB)$ tekisligiga perpendikulyar. Demak, shu tekislikda yotuvchi $AB$ og'maga ham perpendikulyardir.

3. Teskari teorema

[!IMPORTANT] Teskari teorema. Tekislikda yotuvchi to'g'ri chiziq og'maga perpendikulyar bo'lsa, u og'maning proyeksiyasiga ham perpendikulyar bo'ladi: $c \subset \alpha, \quad c \perp AB \implies c \perp HB$

4. Fazodagi nuqtadan to'g'ri chiziqqacha masofa

$A$ nuqtadan $\alpha$ tekislikdagi $c$ to'g'ri chiziqqacha masofani topish tartibi:

1. $A$ dan tekislikka $AH$ perpendikulyar tushiriladi ($AH \perp \alpha$);
2. $H$ proyeksiyadan $c$ ga $HB$ perpendikulyar o'tkaziladi ($HB \perp c$);
3. Teoremaga ko'ra $AB \perp c$ bo'ladi va masofa hisoblanadi: $AB = \sqrt{AH^2 + HB^2}$

---

Yechilgan misollar

1-misol. To'g'ri burchakli uchburchakda masofa

$ABC$ to'g'ri burchakli uchburchakda $\angle C = 90^\circ$, $AC = 15\text{ sm}$, $BC = 20\text{ sm}$. $C$ uchidan tekislikka $CK = 16\text{ sm}$ perpendikulyar o'tkazilgan. $K$ nuqtadan $AB$ gipotenuzagacha masofani toping.

• Gipotenuza: $AB = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25\text{ sm}$.
• $C$ dan $AB$ ga tushirilgan balandlik: $CH = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12\text{ sm}$.
• $CK \perp (ABC)$ va $CH \perp AB$ bo'lgani uchun, teoremaga ko'ra $KH \perp AB$.
• Masofa: $KH = \sqrt{CK^2 + CH^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20\text{ sm}$.

Javob: $20\text{ sm}$.

2-misol. Kvadrat tomonlarigacha masofa

Tomoni $10\text{ sm}$ bo'lgan kvadratning markazi $O$ dan tekislikka $SO = 12\text{ sm}$ perpendikulyar o'tkazilgan. $S$ dan kvadrat tomonlarigacha masofani toping.

• $O$ dan $AB$ tomonga $OK \perp AB$ tushiramiz: $OK = 10 / 2 = 5\text{ sm}$.
• Teoremaga ko'ra $SK \perp AB$.
• Masofa: $SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ sm}$.
• Simmetriyaga ko'ra barcha to'rtta tomongacha masofa teng.

Javob: $13\text{ sm}$.

3-misol. Muntazam uchburchak tekisligigacha masofa

Tomoni $6\sqrt{3}\text{ sm}$ bo'lgan muntazam $ABC$ uchburchak tomonlaridan $5\text{ sm}$ masofada $M$ nuqta joylashgan. $M$ dan tekislikkacha masofani toping.

• Tomonlargacha masofalar teng bo'lgani uchun, proyeksiyasi $H$ ichki aylana markazi bo'ladi: $r = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3\text{ sm}$
• Masofa: $MH = \sqrt{MK^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\text{ sm}$.

Javob: $4\text{ sm}$.

4-misol. Romb tekisligiga perpendikulyar va masofa

Tomoni $12\text{ sm}$, o'tkir burchagi $30^\circ$ bo'lgan $ABCD$ rombning $A$ uchidan tekislikka $AK = 8\text{ sm}$ perpendikulyar chiqarilgan. $K$ dan $CD$ to'g'ri chiziqqacha masofani toping.

• $A$ dan $CD$ ga balandlik: $AH = 12 \cdot \sin 30^\circ = 6\text{ sm}$.
• Teoremaga ko'ra $KH \perp CD$.
• Masofa: $KH = \sqrt{AK^2 + AH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ sm}$.

Javob: $10\text{ sm}$.

---

Mashq

1. To'g'ri burchakli uchburchak $ABC$ da $\angle C = 90^\circ$, $AC = 15\text{ sm}$, $BC = 20\text{ sm}$. $C$ uchidan tekislikka $CK = 9\text{ sm}$ perpendikulyar chiqarilgan. $K$ dan gipotenuzagacha masofani toping.
2. Tomoni $8\text{ sm}$ bo'lgan kvadratning markazi $O$ dan tekislikka $SO = 3\text{ sm}$ perpendikulyar o'tkazilgan. $S$ dan kvadrat tomonlarigacha masofani toping.
3. Tomoni $12\sqrt{3}\text{ sm}$ bo'lgan muntazam $ABC$ uchburchak markazi $O$ dan tekislikka $SO = 8\text{ sm}$ perpendikulyar o'tkazilgan. $S$ dan tomonlargacha masofani hisoblang.
4. Tomoni $4\text{ sm}$ bo'lgan $ABCD$ kvadratning $A$ uchidan tekislikka $AK = 3\text{ sm}$ perpendikulyar chiqarilgan. $K$ dan $BC$ to'g'ri chiziqqacha masofani toping.
5. Tomoni $10\text{ sm}$, o'tkir burchagi $30^\circ$ bo'lgan rombning $A$ uchidan tekislikka $AK = 12\text{ sm}$ perpendikulyar o'tkazilgan. $K$ dan qarama-qarshi $CD$ tomon yotgan to'g'ri chiziqqacha masofani toping.
6. Fazodagi nuqta teng yonli trapetsiyaning barcha tomonlaridan $5\text{ sm}$ masofada turibdi. Trapetsiyaning asoslari $4\text{ sm}$ va $16\text{ sm}$ bo'lib, unga ichki aylana chizish mumkin. Nuqtadan tekislikkacha masofani toping.
7. $ABCD$ to'g'ri to'rtburchakda $AB = 15\text{ sm}$, $AD = 20\text{ sm}$. $A$ uchidan tekislikka $AK = 5\text{ sm}$ perpendikulyar o'tkazilgan. $K$ dan $BD$ diagonaligacha masofani toping.
8. Fazodagi nuqta muntazam oltiburchakning barcha tomonlaridan $17\text{ sm}$ masofada turibdi. Oltiburchak tomoni $10\sqrt{3}\text{ sm}$ bo'lsa, nuqtadan tekislikkacha masofani toping.
9. Teng yonli uchburchak $ABC$ da $AB = AC = 10\text{ sm}$, $BC = 12\text{ sm}$. $A$ uchidan tekislikka $AS = 6\text{ sm}$ perpendikulyar chiqarilgan. $S$ dan $BC$ asosgacha masofani hisoblang.
10. Nega nuqtadan to'g'ri chiziqqacha masofani topishda dastlab uning proyeksiyasidan perpendikulyar o'tkaziladi?

Javoblar va yechim yo'llari

1. Gipotenuzaga balandlik: $CH = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12\text{ sm}$. $KH = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\text{ sm}$. Javob: $15\text{ sm}$.
2. $OK = 8 / 2 = 4\text{ sm}$. Masofa: $SK = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ sm}$. Javob: $5\text{ sm}$.
3. Ichki aylana radiusi: $r = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 6\text{ sm}$. Masofa: $SK = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ sm}$. Javob: $10\text{ sm}$.
4. $AB \perp BC \implies KB \perp BC$. Masofa: $KB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ sm}$. Javob: $5\text{ sm}$.
5. Romb balandligi: $AH = 10 \cdot \sin 30^\circ = 5\text{ sm}$. $KH = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ sm}$. Javob: $13\text{ sm}$.
6. Ichki aylana diametri: $2r = \sqrt{4 \cdot 16} = 8 \implies r = 4\text{ sm}$. Masofa: $h = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\text{ sm}$. Javob: $3\text{ sm}$.
7. $BD = 25\text{ sm}$. $AH = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12\text{ sm}$. Masofa: $KH = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\text{ sm}$. Javob: $13\text{ sm}$.
8. Muntazam oltiburchakda $r = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 15\text{ sm}$. Masofa: $h = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8\text{ sm}$. Javob: $8\text{ sm}$.
9. Asosga balandlik: $AH = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ sm}$. $SH = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ sm}$. Javob: $10\text{ sm}$.
10. Proyeksiyaning tikligi og'maning ham to'g'ri chiziqqa tikligini kafolatlaydi va to'g'ri burchakli uchburchak orqali masofani topishga imkon beradi. Javob: Og'maning perpendikulyarligini ta'minlash uchun.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Proyeksiyaning tikligini tekshirmay og'mani tik deb hisoblash. ✗ Nuqtani to'g'ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi bilan tutashtirib, masofa deb olish. ✓ Nuqtadan to'g'ri chiziqqacha masofa perpendikulyar bo'lishi shart ($HB \perp c$).

2. To'g'ri chiziq tekislikda yotmasligini e'tibordan chetda qoldirish. ✗ Tekislikda yotmaydigan to'g'ri chiziqqa teoremani qo'llash. ✓ Teoremadagi $c$ to'g'ri chiziq albatta berilgan tekislikda yotishi shart ($c \subset \alpha$).

3. Tomonlargacha masofalar tengligida markazni adashtirish. ✗ Fazodagi nuqtadan ko'pburchak tomonlarigacha masofalar teng bo'lsa, proyeksiyani tashqi aylana markazi deb o'ylash. ✓ Tomonlargacha masofalar teng bo'lsa, proyeksiya ichki chizilgan aylana markazi ($r$) bo'ladi.

4. Fazoviy chizmadagi burchakka aldanib qolish. ✗ Chizmada burchak to'g'ri ko'rinmasa, uni $90^\circ$ emas deb hisoblash. ✓ Fazoviy tasvirda to'g'ri burchaklar burchak ostida ko'rinadi; xulosani teoremalarga tayanib chiqarish lozim.

---

DTM uslubidagi test

Yuqoridagi frontmatter bo'limida keltirilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Keyingi darsda ushbu bilimlarni umumlashtirib, Fazoda burchaklar va masofalar mavzusida to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak, ikki yoqli burchak hamda ayqash to'g'ri chiziqlar orasidagi masofalarni hisoblaymiz.