To'g'ri chiziq va tekislikning perpendikulyarligi

Bu nima va nega kerak

Bino devorlari yoki ustun tiklanganda uning polga nisbatan tik (vertikal) turishi juda muhim. Agar ustun faqat bitta devor chizig'iga tik bo'lib, yon tomonga og'sa, inshoot qulab tushishi mumkin. Ustun pol tekisligiga perpendikulyar bo'lishi uchun u poldagi har qanday to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lishi shart.

Planimetriyada to'g'ri burchak tekislikdagi ikki to'g'ri chiziq orasida o'rganilgan edi. Stereometriyada esa fazoviy shakllarning ko'p xossalari to'g'ri chiziq va butun tekislik perpendikulyarligiga tayanadi.

Ushbu darsda to'g'ri chiziq va tekislik perpendikulyarligi alomati hamda perpendikulyar va og'maning xossalarini ko'rib chiqamiz.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

       A (nuqta)
       | \
       |  \
     h |   \ l (og'ma)
       |    \
-------H------B------- tekislik (α)
        proyeksiya

1. To'g'ri chiziq va tekislik perpendikulyarligi

[!IMPORTANT] Ta'rif. Agar to'g'ri chiziq tekislikda yotuvchi har qanday to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u tekislikka perpendikulyar deyiladi: $a \perp \alpha$.

Agar $a \perp \alpha$ bo'lsa, tekislikdagi ixtiyoriy $b$ to'g'ri chiziq uchun $a \perp b$ bo'ladi.

2. Perpendikulyarlik alomati

To'g'ri chiziq tekislikdagi barcha to'g'ri chiziqlarga tikligini tekshirish shart emas. Ikkita to'g'ri chiziq kifoya:

[!IMPORTANT] Teorema (Alomat). Agar to'g'ri chiziq tekislikdagi kesishuvchi ikkita to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u shu tekislikka perpendikulyar bo'ladi: $a \perp b, \quad a \perp c, \quad b \cap c = M \implies a \perp \alpha$

To'g'ri chiziqlar aynan kesishuvchi bo'lishi kerak. Agar ular parallel bo'lsa, to'g'ri chiziq tekislikka qiya bo'lishi mumkin.

3. Asosiy xossalar

1. Parallel to'g'ri chiziqlar: Bitta tekislikka perpendikulyar ikki to'g'ri chiziq o'zaro paralleldir: $a \perp \alpha, b \perp \alpha \implies a \parallel b$.
2. Parallel chiziqning perpendikulyarligi: Parallel chiziqlardan biri tekislikka perpendikulyar bo'lsa, ikkinchisi ham shu tekislikka perpendikulyardir: $a \parallel b, a \perp \alpha \implies b \perp \alpha$.
3. Berilgan nuqtadan tekislikka bitta perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin.

4. Perpendikulyar, og'ma va proyeksiya

Fazodagi $A$ nuqtadan $\alpha$ tekislikka:

• $AH \perp \alpha$ — perpendikulyar, uning uzunligi nuqtadan tekislikkacha masofa deyiladi.
• $AB$ kesma ($B \in \alpha, B \neq H$) — og'ma, $HB$ esa uning proyeksiyasi.

$\triangle AHB$ to'g'ri burchakli uchburchak ($\angle AHB = 90^\circ$): $AB^2 = AH^2 + HB^2$

Asosiy xossalar:

• Perpendikulyar har qanday og'madan qisqa: $AH < AB$.
• Teng og'malarning proyeksiyalari teng: $AB_1 = AB_2 \iff HB_1 = HB_2$.
• Katta og'maning proyeksiyasi ham katta bo'ladi.

---

Yechilgan misollar

1-misol. Perpendikulyar va og'ma

Nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyar uzunligi $15\text{ sm}$, og'ma esa $17\text{ sm}$. Og'maning proyeksiyasini toping.

• $\triangle AHB$ to'g'ri burchakli uchburchak ($l = 17\text{ sm}$, $h = 15\text{ sm}$).
• Pifagor teoremasi bo'yicha: $p = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\text{ sm}$

Javob: $8\text{ sm}$.

2-misol. Teng og'malar va proyeksiyalar

$M$ nuqtadan tekislikka ikkita teng $MA = MB = 10\text{ sm}$ og'ma tushirilgan. Ular orasidagi burchak $60^\circ$, proyeksiyalari esa o'zaro perpendikulyar. $M$ nuqtadan tekislikkacha masofani toping.

• $MA = MB = 10\text{ sm}$ va $\angle AMB = 60^\circ$ bo'lgani uchun $\triangle MAB$ teng tomonli: $AB = 10\text{ sm}$.
• Proyeksiyalar teng: $OA = OB = x$.
• $\triangle AOB$ to'g'ri burchakli ($\angle AOB = 90^\circ$): $x^2 + x^2 = 10^2 \implies 2x^2 = 100 \implies x^2 = 50$
• Perpendikulyar $MO$ ni $\triangle MOA$ dan topamiz: $MO = \sqrt{10^2 - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\text{ sm}$

Javob: $5\sqrt{2}\text{ sm}$.

3-misol. To'g'ri to'rtburchak tekisligiga perpendikulyar

Tomonlari $AB = 6\text{ sm}$ va $BC = 8\text{ sm}$ bo'lgan to'g'ri to'rtburchak diagonallari kesishish nuqtasi $O$ dan uning tekisligiga $SO = 12\text{ sm}$ perpendikulyar o'tkazilgan. $S$ nuqtadan to'rtburchak uchlarigacha masofani toping.

• To'g'ri to'rtburchak diagonali: $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ sm}$.
• Diagonallar teng ikkiga bo'linadi: $OA = OB = OC = OD = 5\text{ sm}$.
• Barcha proyeksiyalar teng bo'lgani uchun, barcha og'malar ham teng: $SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ sm}$

Javob: $13\text{ sm}$.

4-misol. Proyeksiyalar ayirmasi berilganda

Nuqtadan tekislikka uzunliklari $13\text{ sm}$ va $20\text{ sm}$ bo'lgan ikkita og'ma o'tkazilgan. Proyeksiyalar ayirmasi $11\text{ sm}$. Nuqtadan tekislikkacha masofani toping.

• Proyeksiyalarni $x$ va $x + 11$ deb olamiz.
• Balandlik kvadrati $h^2$ har ikki uchburchakda teng: $h^2 = 13^2 - x^2 = 20^2 - (x + 11)^2$ $169 - x^2 = 279 - 22x - x^2 \implies 22x = 110 \implies x = 5\text{ sm}$
• Masofa: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\text{ sm}$.

Javob: $12\text{ sm}$.

---

Mashq

1. Nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyar $8\text{ sm}$, og'ma esa $10\text{ sm}$. Og'maning tekislikdagi proyeksiyasini toping.
2. Og'ma uzunligi $14\text{ sm}$ bo'lib, tekislik bilan $30^\circ$ li burchak hosil qiladi. Perpendikulyar va proyeksiyani toping.
3. Nuqtadan tekislikka $10\text{ sm}$ va $17\text{ sm}$ li ikkita og'ma o'tkazilgan. Kichik og'ma proyeksiyasi $6\text{ sm}$ bo'lsa, katta og'ma proyeksiyasini hisoblang.
4. Tomoni $6\sqrt{2}\text{ sm}$ bo'lgan $ABCD$ kvadratning $A$ uchidan kvadrat tekisligiga $AK = 5\text{ sm}$ perpendikulyar o'tkazilgan. $K$ nuqtadan $C$ uchigacha masofani toping.
5. Nuqtadan tekislikka o'tkazilgan ikki teng og'maning uzunligi $25\text{ sm}$, tekislikkacha masofa $24\text{ sm}$. Og'malarning proyeksiyasini toping.
6. Nuqtadan tekislikka ikkita og'ma o'tkazilgan: $15\text{ sm}$ va $20\text{ sm}$. Proyeksiyalar yig'indisi $25\text{ sm}$ bo'lsa, nuqtadan tekislikkacha masofani toping.
7. Tomoni $6\sqrt{3}\text{ sm}$ bo'lgan muntazam $ABC$ uchburchakning markazi $O$ dan tekislikka $SO = 8\text{ sm}$ perpendikulyar chiqarilgan. $S$ nuqtadan uchburchak uchlarigacha masofani toping.
8. To'g'ri to'rtburchak $ABCD$ ning tomonlari $AB = 9\text{ sm}, AD = 12\text{ sm}$. $A$ uchidan tekislikka $AS = 20\text{ sm}$ perpendikulyar o'tkazilgan. $S$ dan $C$ gacha masofani hisoblang.
9. Fazodagi nuqtadan tekislikka o'tkazilgan og'ma $26\text{ sm}$, uning tekislikdagi proyeksiyasi $10\text{ sm}$. Nuqtadan tekislikkacha masofani toping.
10. To'g'ri chiziq tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u har doim shu tekislikka perpendikulyar bo'ladimi? Fikringizni asoslang.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $p = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\text{ sm}$. Javob: $6\text{ sm}$.
2. $h = 14 \cdot \sin 30^\circ = 7\text{ sm}$, $p = 14 \cdot \cos 30^\circ = 7\sqrt{3}\text{ sm}$. Javob: $h = 7\text{ sm}$, $p = 7\sqrt{3}\text{ sm}$.
3. $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ sm}$. $p_2 = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15\text{ sm}$. Javob: $15\text{ sm}$.
4. Diagonal: $AC = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12\text{ sm}$. $KC = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13\text{ sm}$. Javob: $13\text{ sm}$.
5. $p = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7\text{ sm}$. Javob: $7\text{ sm}$.
6. $15^2 - x^2 = 20^2 - (25-x)^2 \implies 50x = 450 \implies x = 9\text{ sm}$. $h = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12\text{ sm}$. Javob: $12\text{ sm}$.
7. Tashqi aylana radiusi $R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\text{ sm}$. Masofa: $SA = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ sm}$. Javob: $10\text{ sm}$.
8. $AC = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\text{ sm}$. $SC = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25\text{ sm}$. Javob: $25\text{ sm}$.
9. $h = \sqrt{26^2 - 10^2} = 24\text{ sm}$. Javob: $24\text{ sm}$.
10. Har doim emas. Agar to'g'ri chiziqlar parallel bo'lsa, perpendikulyar bo'lmasligi mumkin. Alomatga ko'ra ular kesishuvchi bo'lishi shart. Javob: Yo'q, kesishuvchi bo'lishi kerak.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Tekislikdagi ixtiyoriy ikkita chiziqqa tik bo'lish yetarli deb o'ylash. ✗ To'g'ri chiziq tekislikdagi ikki parallel chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u tekislikka perpendikulyar bo'ladi deb xulosa qilish. ✓ To'g'ri chiziqlar albatta kesishuvchi bo'lishi shart.

2. Perpendikulyar va og'ma o'rnini almashtirish. ✗ Masofani topishda og'mani gipotenuza emas, katet deb olish. ✓ Nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyar har doim og'madan qisqa bo'ladi: $h < l$.

3. Bir tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqlarni kesishadi deb hisoblash. ✗ Bitta tekislikka perpendikulyar bo'lgan ikki to'g'ri chiziq fazoda kesishishi mumkin deb o'ylash. ✓ Bitta tekislikka perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziqlar doimo paralleldir: $a \perp \alpha, b \perp \alpha \implies a \parallel b$.

4. Fazodagi to'g'ri burchakni chizmadagi ko'rinishiga qarab baholash. ✗ Fazoviy chizmada o'tkir ko'ringan burchakni $90^\circ$ emas deb yanglishish. ✓ Fazoviy tasvirda to'g'ri burchaklar burchak ostida ko'rinadi. Xulosani shart va teoremalar asosida chiqarish lozim.

---

DTM uslubidagi test

Yuqoridagi frontmatter bo'limida keltirilgan 5 ta test savoli mavzuni to'liq mustahkamlashga yordam beradi.

Keyingi qadam

To'g'ri chiziq va tekislik perpendikulyarligi asosida stereometriyaning eng muhim teoremalaridan biri — Uch perpendikulyar teoremasi o'rganiladi. Keyingi darsda og'ma va uning proyeksiyasi yordamida tekislikdagi to'g'ri burchaklarni aniqlaymiz.