To'g'ri chiziq va tekislikning parallelligi

Bu nima va nega kerak

Fazoda to'g'ri chiziq va tekislikning o'zaro joylashuvi uch xil bo'ladi:

1. To'g'ri chiziq tekislikda yotadi: barcha nuqtalari tekislikka tegishli ($a \subset \alpha$).
2. To'g'ri chiziq tekislikni kesib o'tadi: yagona umumiy nuqtaga ega ($a \cap \alpha = \{M\}$).
3. To'g'ri chiziq va tekislik parallel: birorta ham umumiy nuqtaga ega emas ($a \parallel \alpha$).

Xona shiftidagi chiroq simlari pol sathiga parallel o'rnatiladi, temir yo'l relslari yer tekisligiga nisbatan tekis parallel joylashadi. Fazoviy shakllar va konstruksiyalarni hisoblashda to'g'ri chiziq va tekislikning parallelligi asosiy tushunchalardan biridir.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

[!IMPORTANT] Ta'rif. Agar to'g'ri chiziq va tekislik umumiy nuqtaga ega bo'lmasa, ular parallel deyiladi va $a \parallel \alpha$ deb belgilanadi.

To'g'ri chiziq va tekislikning parallellik alomati

[!IMPORTANT] Parallellik alomati. Agar tekislikda yotmaydigan to'g'ri chiziq shu tekislikdagi biror to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, u holda bu to'g'ri chiziq tekislikning o'ziga ham paralleldir: $a \not\subset \alpha, \quad b \subset \alpha, \quad a \parallel b \implies a \parallel \alpha$

            a (tekislikdan tashqarida)
     ----------------------------------
                 ^
                 | parallel
                 v
     +-----------b---------------------+ alpha
     |          /                      |
     |         /                       |
     |        /                        |
     +---------------------------------+

Parallellikning muhim xossalari

[!IMPORTANT] 1-xossa. Agar $a \parallel \alpha$ bo'lsa, $a$ orqali o'tuvchi har qanday $\beta$ tekislik $\alpha$ tekislikni $b$ to'g'ri chiziq bo'ylab kessa, $a \parallel b$ bo'ladi.

[!IMPORTANT] 2-xossa. Agar ikki kesishuvchi tekislik biror $a$ to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, ularning kesishish chizig'i ham shu $a$ to'g'ri chiziqqa parallel bo'ladi: $\alpha \cap \beta = c, \quad a \parallel \alpha, \quad a \parallel \beta \implies a \parallel c$

[!IMPORTANT] 3-xossa. Berilgan to'g'ri chiziqdan tashqaridagi nuqta orqali unga parallel cheksiz ko'p tekislik o'tkazish mumkin. Berilgan tekislikdan tashqaridagi nuqta orqali esa shu tekislikka parallel cheksiz ko'p to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin (ularning barchasi bitta parallel tekislikda yotadi).

---

Yechilgan misollar

1-misol. Uchburchak o'rta chizig'i va tekislik

$\triangle ABC$ ning $AB$ tomoni orqali $\alpha$ tekislik o'tgan ($C \notin \alpha$). $AC$ va $BC$ tomonlarning o'rtalari mos ravishda $M$ va $N$ bo'lsa, $MN \parallel \alpha$ ekanini isbotlang.

• $MN$ kesma $\triangle ABC$ ning o'rta chizig'i bo'lib, asosga parallel: $MN \parallel AB$.
• $AB$ to'g'ri chiziq $\alpha$ tekislikda yotadi ($AB \subset \alpha$).
• $MN$ to'g'ri chiziq $\alpha$ tekislikda yotmaydi ($M, N \notin \alpha$).
• Parallellik alomatiga ko'ra, $MN \parallel \alpha$.

Javob: Isbotlandi.

2-misol. Kubda qirra va yoq parallelligi

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubda $A_1B_1$ to'g'ri chiziq $(CDD_1C_1)$ yoq tekisligiga parallel ekanini ko'rsating.

• $A_1B_1C_1D_1$ kvadrat bo'lgani uchun $A_1B_1 \parallel D_1C_1$.
• $D_1C_1$ to'g'ri chiziq $(CDD_1C_1)$ yoq tekisligida yotadi: $D_1C_1 \subset (CDD_1C_1)$.
• $A_1B_1$ to'g'ri chiziq bu yoqda yotmaydi.
• Parallellik alomatiga binoan, $A_1B_1 \parallel (CDD_1C_1)$.

Javob: Isbotlandi.

3-misol. Trapetsiya va parallel tekislik

Trapetsiyaning $AD$ katta asosi $\alpha$ tekislikda yotadi, $BC$ kichik asosi esa unda yotmaydi. Agar $AD = 14\text{ sm}$, $BC = 8\text{ sm}$ bo'lsa: a) $BC \parallel \alpha$ ekanini ko'rsating; b) Trapetsiyaning o'rta chizig'i $MN$ uzunligini va uning $\alpha$ tekislikka nisbatan joylashuvini aniqlang.

• a) Trapetsiyada asoslar parallel: $BC \parallel AD$. $AD \subset \alpha \implies BC \parallel \alpha$.
• b) O'rta chiziq: $MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{14 + 8}{2} = 11\text{ sm}$
• $MN \parallel AD$ va $AD \subset \alpha \implies MN \parallel \alpha$.

Javob: a) $BC \parallel \alpha$; b) $MN = 11\text{ sm}$, $MN \parallel \alpha$.

4-misol. Fazoviy mutanosib kesmalar

Tekislikdan tashqaridagi $S$ nuqtadan chiquvchi ikki to'g'ri chiziq $\alpha$ tekislikni $A$ va $B$ nuqtalarda kesadi. $SA$ va $SB$ kesmalarda $A_1$ va $B_1$ nuqtalar shunday olinganki, $SA_1 : A_1A = 2 : 3$. Agar $AB = 15\text{ sm}$ bo'lsa, $A_1B_1$ kesma uzunligini toping.

• $SA_1 = 2k$ va $A_1A = 3k$ bo'lsa, $SA = 5k$.
• Nisbat: $\frac{SA_1}{SA} = \frac{2}{5}$. Xuddi shunday $\frac{SB_1}{SB} = \frac{2}{5}$.
• $\triangle SA_1B_1 \sim \triangle SAB$ bo'lgani uchun $A_1B_1 \parallel AB$ va: $\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{2}{5} \implies A_1B_1 = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6\text{ sm}$
• $A_1B_1 \parallel AB$ va $AB \subset \alpha \implies A_1B_1 \parallel \alpha$.

Javob: $6\text{ sm}$.

---

Mashq

1. To'g'ri chiziq tekislikdagi bir to'g'ri chiziqqa parallel. U tekislikka parallel bo'lishi uchun qanday shart bajarilishi kerak?
2. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubda $B_1D_1$ to'g'ri chiziq qaysi asos tekisligiga parallel?
3. $\triangle ABC$ ning $AB$ tomoni $\alpha$ tekislikka parallel. $\alpha$ tekislik $AC$ va $BC$ tomonlarni mos ravishda $A_1$ va $B_1$ nuqtalarda kesadi. Agar $AC = 12\text{ sm}$, $AA_1 = 4\text{ sm}$, $AB = 18\text{ sm}$ bo'lsa, $A_1B_1$ uzunligini toping.
4. Parallelogramm $ABCD$ ning $AB$ tomoni orqali $\alpha$ tekislik o'tgan ($C, D \notin \alpha$). $CD$ to'g'ri chiziqning $\alpha$ tekislikka nisbatan holatini aniqlang.
5. Trapetsiyaning asoslari $\alpha$ tekislikka parallel. Trapetsiyaning o'rta chizig'i $\alpha$ tekislikka parallel bo'ladimi?
6. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ kubda $AB_1$ to'g'ri chiziq $(CDD_1C_1)$ yoq tekisligiga parallel ekanini tushuntiring.
7. Tekislikdan tashqaridagi $M$ nuqta orqali berilgan tekislikka parallel nechta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin?
8. $a \parallel \alpha$ to'g'ri chiziq berilgan. $\alpha$ dagi to'g'ri chiziqlar $a$ ga nisbatan qanday joylashgan bo'lishi mumkin?
9. Uchburchakning $AB = 15\text{ sm}$ tomoni $\alpha$ tekislikka parallel. Uchburchak medianalari kesishish nuqtasi $M$ orqali $AB$ ga parallel o'tkazilgan to'g'ri chiziqning uchburchak ichidagi kesmasi uzunligini toping.
10. $a \parallel \alpha$ bo'lib, $a$ orqali o'tuvchi tekislik $\alpha$ tekislikni $b$ to'g'ri chiziq bo'ylab kessa, $a$ va $b$ qanday joylashgan?

Javoblar va yechim yo'llari

1. To'g'ri chiziq tekislikda yotmasligi kerak ($a \not\subset \alpha$). Javob: tekislikda yotmasligi kerak.
2. $B_1D_1 \parallel BD$ va $BD \subset (ABCD)$, demak $(ABCD)$ pastki asos tekisligiga parallel. Javob: $(ABCD)$ tekisligiga.
3. $A_1C = 12 - 4 = 8\text{ sm}$. O'xshashlikdan: $A_1B_1 = 18 \cdot \frac{8}{12} = 12\text{ sm}$. Javob: $12\text{ sm}$.
4. Parallelogrammda $CD \parallel AB$. $AB \subset \alpha$ va $CD \not\subset \alpha \implies CD \parallel \alpha$. Javob: parallel ($CD \parallel \alpha$).
5. O'rta chiziq asoslarga parallel bo'lgani uchun, u ham $\alpha$ tekislikka parallel bo'ladi. Javob: Ha, parallel bo'ladi.
6. $AB_1 \parallel DC_1$ va $DC_1 \subset (CDD_1C_1) \implies AB_1 \parallel (CDD_1C_1)$. Javob: parallel.
7. Cheksiz ko'p (ular $M$ dan o'tuvchi bitta parallel tekislikda yotadi). Javob: cheksiz ko'p.
8. Umumiy nuqtaga ega bo'lmaydi: yo $a$ ga parallel bo'ladi, yo $a$ bilan ayqash bo'ladi. Javob: parallel yoki ayqash.
9. Medianalar kesishish nuqtasi uni $2 : 1$ nisbatda bo'ladi. O'xshashlikdan kesma: $15 \cdot \frac{2}{3} = 10\text{ sm}$. Javob: $10\text{ sm}$.
10. Parallellikning 1-xossasiga ko'ra $a \parallel b$. Javob: $a \parallel b$.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Tekislikda yotish holatini unutish. ✗ "Agar to'g'ri chiziq tekislikdagi to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, u albatta tekislikka parallel" deb aytish. ✓ To'g'ri chiziqning o'zi tekislikda yotmasligi shart ($a \not\subset \alpha$).

2. Tekislikka parallel to'g'ri chiziqni undagi barcha to'g'ri chiziqlarga parallel deb o'ylash. ✗ $a \parallel \alpha$ bo'lsa, tekislikdagi barcha to'g'ri chiziqlar $a$ ga parallel bo'ladi deb hisoblash. ✓ Tekislikda faqat bitta yo'nalishdagi chiziqlar $a$ ga parallel bo'ladi, qolganlari $a$ bilan ayqashdir.

3. Berilgan nuqtadan tekislikka parallel faqat bitta to'g'ri chiziq o'tadi deb bilish. ✗ Nuqta orqali tekislikka parallel yagona to'g'ri chiziq o'tadi deb hisoblash. ✓ Berilgan nuqta orqali tekislikka parallel cheksiz ko'p to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin.

4. Kesishmaydigan to'g'ri chiziq va tekislikni ayqash deb atash. ✗ To'g'ri chiziq va tekislik kesishmasa, ularni ayqash deb aytish. ✓ "Ayqash" atamasi faqat ikki to'g'ri chiziqqa xos. To'g'ri chiziq va tekislik esa parallel deyiladi.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun yuqoridagi 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

To'g'ri chiziq va tekislikning parallelligini to'liq o'zlashtirdik. Keyingi darsda fazoda to'g'ri chiziq va tekislikning perpendikulyarligi qoidalariga o'tamiz.