Teskari funksiya

Bu nima va nega kerak

Kundalik hayotda har bir amalning o'ziga xos teskari amali mavjud: qo'shishga ayirish, ko'paytirishga bo'lish, darajaga ko'tarishga ildiz chiqarish mos keladi.

Funksiyalar olamida ham xuddi shunday:

• Selsiyni Farengeytga aylantirish formulasi $F = \dfrac{9}{5}C + 32$ bo'lsa, uning teskarisi Farengeytni Selsiyga qaytaradi: $C = \dfrac{5}{9}(F - 32)$.
• Kriptografiyada matnni kodlash to'g'ri funksiya bo'lsa, uni asl holiga qaytarish teskari funksiyadir.
• DTM imtihonlarida murakkab tenglamalarni yechishda teskari funksiya tushunchasi qo'l keladi.

Ushbu darsda teskari funksiya, uning mavjudlik shartlari va topish usullarini o'rganamiz.

Asosiy g'oya

1. Teskari funksiya ta'rifi

Aytaylik, $y = f(x)$ funksiya berilgan bo'lsin.

Ta'rif: Agar $y = f(x)$ funksiyaning har bir $y \in E(f)$ qiymatiga $D(f)$ sohadan yagona $x$ mos kelsa, $y$ ga $x$ ni mos qo'yuvchi funksiya $f(x)$ ga teskari funksiya deyiladi va $y = f^{-1}(x)$ deb belgilanadi.

Eslatma: $f^{-1}(x)$ yozuvidagi $-1$ ko'rsatkich daraja emas: $f^{-1}(x) \neq \dfrac{1}{f(x)}$.

2. Mavjudlik sharti (Monotonlik teoremasi)

Masalan, $y = x^2$ funksiyada $y = 4$ qiymatga ikkita argument ($x = 2$ va $x = -2$) to'g'ri keladi, shuning uchun butun sonlar o'qida unga teskari funksiya mavjud emas.

Monotonlik teoremasi: Agar $y = f(x)$ funksiya biror oraliqda qat'iy o'suvchi yoki qat'iy kamayuvchi bo'lsa, ushbu oraliqda uning teskari funksiyasi mavjud bo'ladi.

Gorizontal chiziq testi: Agar grafikni ixtiyoriy gorizontal to'g'ri chiziq ko'pi bilan bitta nuqtada kessa, u holda funksiya teskarilanuvchandir.

3. Aniqlanish va qiymatlar sohalari

Teskari funksiyada sohalar o'rin almashadi: $D(f^{-1}) = E(f), \qquad E(f^{-1}) = D(f).$

4. Asosiy ayniyatlar va geometrik ma'nosi

• $f(f^{-1}(x)) = x$ va $f^{-1}(f(x)) = x$.
• $y = f(x)$ va $y = f^{-1}(x)$ grafiklari $y = x$ to'g'ri chizig'iga nisbatan simmetrikdir.
• $(a; b) \in f \iff (b; a) \in f^{-1}$.

5. Teskari funksiyani topish qoidasi

1. $y = f(x)$ tenglamadan $x$ ni $y$ orqali ifodalang: $x = \varphi(y)$.
2. $x$ va $y$ ning o'rinlarini almashtiring: $y = \varphi(x)$.
3. Teskari funksiyaning aniqlanish sohasini $D(f^{-1}) = E(f)$ deb ko'rsating.

Yechilgan misollar

1-misol. Chiziqli va kasr-chiziqli funksiyaning teskarisi

Quyidagi funksiyalarga teskari funksiyani toping: a) $y = 4x - 7$ b) $y = \dfrac{3x - 2}{x + 4}$ ($x \neq -4$)

Yechish: a) $x$ ni topamiz: $4x = y + 7 \implies x = \frac{y + 7}{4}.$ O'zgaruvchilarni almashtiramiz: $y = \frac{x + 7}{4}.$

b) Kasrdan qutulamiz: $y(x + 4) = 3x - 2 \implies xy + 4y = 3x - 2.$ $xy - 3x = -4y - 2 \implies x(y - 3) = -(4y + 2) \implies x = \frac{4y + 2}{3 - y}.$ O'zgaruvchilarni almashtiramiz: $y = \frac{4x + 2}{3 - x} \quad (x \neq 3).$

Javob: a) $y = \dfrac{x + 7}{4}$; b) $y = \dfrac{4x + 2}{3 - x}$ ($x \neq 3$).

2-misol. Oraliqda berilgan kvadrat funksiyaning teskarisi

$f(x) = x^2 - 6x + 5$ funksiyaning $[3; +\infty)$ oraliqdagi teskari funksiyasini toping.

Yechish: Parabola uchi $x_0 = 3$. $[3; +\infty)$ oraliqda funksiya qat'iy o'suvchi. To'la kvadrat ajratamiz: $y = (x - 3)^2 - 4.$ $x \ge 3$ bo'lgani uchun $y \ge -4$, ya'ni $E(f) = [-4; +\infty)$. Endi $x$ ni topamiz: $(x - 3)^2 = y + 4 \implies x - 3 = \sqrt{y + 4} \implies x = 3 + \sqrt{y + 4}.$ O'zgaruvchilarni almashtirsak: $y = 3 + \sqrt{x + 4}, \quad x \ge -4.$

Javob: $y = 3 + \sqrt{x + 4}$ ($x \ge -4$).

3-misol. Formulani ochmasdan qiymat topish

$f(x) = x^5 + 2x^3 + 4x - 1$ bo'lsa, $f^{-1}(6)$ ning qiymatini toping.

Yechish: Ta'rifga ko'ra $f^{-1}(6) = x_0 \iff f(x_0) = 6$. $x^5 + 2x^3 + 4x - 1 = 6 \implies x^5 + 2x^3 + 4x - 7 = 0.$ $x = 1$ qo'ysak: $1 + 2 + 4 - 7 = 0.$ Funksiya qat'iy o'suvchi bo'lgani uchun yagona ildizga ega. Demak, $x_0 = 1$.

Javob: $1$.

4-misol. Funksiya va uning teskarisi kesishish nuqtasi

$f(x) = 3x - 6$ funksiya o'zining teskari funksiyasi bilan qaysi nuqtada kesishadi?

Yechish: O'zaro teskari funksiyalar grafiklari $y = x$ to'g'ri chizig'ida kesishadi: $3x - 6 = x \implies 2x = 6 \implies x = 3.$ $x = 3$ da $y = 3$. Kesishish nuqtasi: $(3; 3)$.

Javob: $(3; 3)$.

Mashq

1. $y = 5x + 15$ funksiyaga teskari funksiyani toping.
2. $y = 2 - 3x$ funksiyaga teskari funksiyani toping.
3. $y = \dfrac{x + 3}{x - 2}$ ($x \neq 2$) funksiyaga teskari funksiyani toping.
4. $y = x^3 - 8$ funksiyaga teskari funksiyani toping.
5. $y = \sqrt{x - 5}$ funksiyaga teskari funksiyani va uning aniqlanish sohasini toping.
6. $y = x^2 + 4x + 7$ funksiyaning $[-2; +\infty)$ oraliqda teskari funksiyasini toping.
7. $f(x) = 4x - 9$ bo'lsa, $f^{-1}(11)$ ni hisoblang.
8. $f(x) = x^3 + 3x + 2$ bo'lsa, $f^{-1}(16)$ ni hisoblang.
9. $M(4; -3)$ nuqta $y = f(x)$ grafigida yotsa, $y = f^{-1}(x)$ grafigidagi nuqtaning koordinatalarini yozing.
10. $y = 2x - 4$ funksiya o'zining teskari funksiyasi bilan qaysi nuqtada kesishadi?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $5x = y - 15 \implies x = \dfrac{y - 15}{5}$. Javob: $y = \dfrac{x - 15}{5}$.

2. $3x = 2 - y \implies x = \dfrac{2 - y}{3}$. Javob: $y = \dfrac{2 - x}{3}$.

3. $y(x - 2) = x + 3 \implies xy - x = 2y + 3 \implies x = \dfrac{2y + 3}{y - 1}$. Javob: $y = \dfrac{2x + 3}{x - 1}$ ($x \neq 1$).

4. $x^3 = y + 8 \implies x = \sqrt[3]{y + 8}$. Javob: $y = \sqrt[3]{x + 8}$.

5. $y \ge 0$. $y^2 = x - 5 \implies x = y^2 + 5$. Javob: $y = x^2 + 5$ ($x \ge 0$).

6. $y = (x + 2)^2 + 3$. $x \ge -2$ da $x + 2 = \sqrt{y - 3} \implies x = -2 + \sqrt{y - 3}$. Javob: $y = -2 + \sqrt{x - 3}$ ($x \ge 3$).

7. $4x - 9 = 11 \implies 4x = 20 \implies x = 5$. Javob: $5$.

8. $x^3 + 3x + 2 = 16 \implies x^3 + 3x - 14 = 0 \implies x = 2$. Javob: $2$.

9. Koordinatalar o'rin almashadi: $(a; b) \to (b; a)$. Javob: $(-3; 4)$.

10. $2x - 4 = x \implies x = 4, \; y = 4$. Javob: $(4; 4)$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Teskari funksiyani teskari son bilan adashtirish. ✗ $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ deb tushunish. ✓ $f^{-1}$ bu teskari amal funksiyasining belgisidir. Masalan, $y = 2x$ ning teskarisi $y = \dfrac{x}{2}$ dir ($\dfrac{1}{2x}$ emas).

2. Monoton bo'lmagan oraliqda teskari funksiya izlash. ✗ $y = x^2$ ning barcha sonlar uchun teskarisi $y = \pm\sqrt{x}$ deyish. ✓ Funksiya bitta argumentga yagona qiymat berishi shart. Monotonlik buzilsa, teskari funksiya mavjud bo'lmaydi.

3. Aniqlanish sohasini ko'rsatmaslik. ✗ $y = \sqrt{x}$ ning teskarisini butun sonlar o'qida $y = x^2$ deb yozish. ✓ $\sqrt{x} \ge 0$ bo'lgani uchun, uning teskarisi $y = x^2$ faqat $x \ge 0$ sohada aniqlanadi.

4. O'zgaruvchilarni almashtirishni unutish. ✗ Javobni $x = \dfrac{y + 7}{4}$ ko'rinishida qoldirish. ✓ Matematik qoidaga binoan, erkli o'zgaruvchi $x$, natija esa $y$ bilan yozilishi kerak: $y = \dfrac{x + 7}{4}$.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Funksiyalarning juft-toqligi, davriyligi va teskari funksiya xossalarini to'liq o'zlashtirdik. Ushbu fundamental tushunchalar 11-sinfda ko'rsatkichli, logarifmik hamda trigonometrik tenglamalarni o'rganishda asosiy tayanch bo'ladi.