Juft va toq funksiyalar

Bu nima va nega kerak

Tabiatda va texnikada simmetriya muhim o'rin tutadi: ko'prik arkalari yoki samolyot qanotlari simmetrik tuzilishga ega.

Matematikada funksiyalar simmetriyasi hisoblashlarni ancha osonlashtiradi:

• Grafik simmetrik bo'lsa, uni butun sonlar o'qida emas, faqat musbat sohada ($x \ge 0$) o'rganish yetarli; qolgan qismi oyna kabi akslantiriladi.
• DTM testlarida murakkab tenglamalarni simmetriya orqali tez yechish mumkin.

Ushbu darsda juft va toq funksiyalar hamda ularning xossalarini to'liq ko'rib chiqamiz.

Asosiy g'oya

1. Aniqlanish sohasining simmetrikligi

Funksiyani juft yoki toqlikka tekshirishdan oldin uning aniqlanish sohasi $D(f)$ tekshiriladi.

Zaruriy shart: Har qanday $x \in D(f)$ uchun $-x \in D(f)$ bo'lishi shart. Ya'ni $D(f)$ to'plam koordinata boshi $0$ ga nisbatan simmetrik bo'lishi lozim.

• $D(f) = (-\infty; +\infty)$, $[-4; 4]$ — simmetrik sohalar.
• $D(f) = [0; +\infty)$ yoki $[-2; 5]$ — simmetrik emas. Soha simmetrik bo'lmasa, funksiya darhol na juft, na toq deb ataladi.

2. Juft funksiya

Ta'rif: Agar simmetrik sohada aniqlangan $y = f(x)$ uchun barcha $x$ larda $f(-x) = f(x)$ tenglik bajarilsa, u juft funksiya deyiladi.

Geometrik ma'nosi: Juft funksiyaning grafigi ordinata o'qi ($Oy$) ga nisbatan simmetrikdir.

Asosiy misollar: $y = x^2, \; y = x^4, \; y = |x|, \; y = \cos x$.

3. Toq funksiya

Ta'rif: Agar simmetrik sohada aniqlangan $y = f(x)$ uchun barcha $x$ larda $f(-x) = -f(x)$ tenglik bajarilsa, u toq funksiya deyiladi.

Geometrik ma'nosi: Toq funksiyaning grafigi koordinatalar boshi $O(0; 0)$ ga nisbatan markaziy simmetrikdir.

Muhim xossa: Agar toq funksiya $x = 0$ da aniqlangan bo'lsa, doimo $f(0) = 0$ bo'ladi.

Asosiy misollar: $y = x, \; y = x^3, \; y = \dfrac{1}{x}, \; y = \sin x, \; y = \text{tg}\,x$.

4. Na juft, na toq funksiyalar

Ko'p funksiyalar ikkala shartni ham bajarmaydi: $f(-x) \neq f(x)$ va $f(-x) \neq -f(x)$. Ular umumiy ko'rinishdagi funksiyalar deyiladi (masalan, $y = 2x + 3$).

5. Amallar qoidalari

• Juft $\pm$ Juft = Juft; Toq $\pm$ Toq = Toq.
• Juft $\cdot$ Juft = Juft; Toq $\cdot$ Toq = Juft; Juft $\cdot$ Toq = Toq.
• Har qanday funksiyani juft va toq qismlarga ajratish mumkin: $f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}.$

Yechilgan misollar

1-misol. Juft-toqlikka tekshirish

Quyidagi funksiyalarning turini aniqlang: a) $f(x) = \dfrac{x^4 + 3}{x^2 + 1}$ b) $g(x) = \dfrac{x^3 - 5x}{x^2 - 4}$ c) $h(x) = x^2 + 3x$

Yechish: a) $D(f) = \mathbb{R}$. $f(-x) = \dfrac{(-x)^4 + 3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{x^4 + 3}{x^2 + 1} = f(x)$. Javob: $f(x)$ — juft funksiya.

b) $D(g) = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$ — simmetrik. $g(-x) = \frac{(-x)^3 - 5(-x)}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3 + 5x}{x^2 - 4} = -\frac{x^3 - 5x}{x^2 - 4} = -g(x).$ Javob: $g(x)$ — toq funksiya.

c) $D(h) = \mathbb{R}$. $h(-x) = (-x)^2 + 3(-x) = x^2 - 3x$. Bu ifoda $h(x)$ ga ham, $-h(x) = -x^2 - 3x$ ga ham teng emas. Javob: $h(x)$ — na juft, na toq.

2-misol. Aniqlanish sohasining roli

$f(x) = \sqrt{16 - x^2} + \dfrac{1}{x - 2}$ funksiyaning turini aniqlang.

Yechish:

1. $16 - x^2 \ge 0 \implies x \in [-4; 4]$.
2. $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Demak, $D(f) = [-4; 2) \cup (2; 4]$. $x = -2$ nuqta sohada bor, ammo uning qarama-qarshisi $x = 2$ sohada yo'q. Soha simmetrik emas.

Javob: Na juft, na toq.

3-misol. Toq funksiya qiymatlarini hisoblash

$f(x)$ butun sonlar o'qida aniqlangan toq funksiya. $x > 0$ da $f(x) = x(x - 3)$ bo'lsa: a) $f(0)$ ni; b) $f(-4)$ ni toping.

Yechish: a) Toq funksiya $x = 0$ da aniqlangan bo'lsa, $f(0) = 0$. b) Toqlik qoidasiga ko'ra $f(-4) = -f(4)$. $f(4) = 4 \cdot (4 - 3) = 4 \cdot 1 = 4$. Demak, $f(-4) = -4$.

Javob: a) $0$; b) $-4$.

4-misol. Parametrli masala

$f(x) = \dfrac{(a - 1)x^3 + 3x^2 + (b + 4)x}{x^2 + 9}$ funksiya $a$ va $b$ ning qanday qiymatlarida juft bo'ladi?

Yechish: Maxraj $x^2 + 9$ juft funksiya. Kasr juft bo'lishi uchun surat ham juft bo'lishi shart. Ko'phad juft bo'lishi uchun undagi toq darajali hadlar koeffitsiyentlari $0$ bo'lishi kerak: $a - 1 = 0 \implies a = 1$, $b + 4 = 0 \implies b = -4$.

Javob: $a = 1, \; b = -4$.

Mashq

1. $f(x) = 2x^4 - 7x^2 + 5$ funksiyaning juft yoki toqligini aniqlang.
2. $f(x) = x^3 - 6x$ funksiyaning juft yoki toqligini aniqlang.
3. $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^3 - x}$ funksiyaning juft yoki toqligini aniqlang.
4. $f(x) = \sqrt{9 + x} + \sqrt{9 - x}$ funksiyaning turini aniqlang.
5. $f(x)$ juft funksiya bo'lib, $f(3) = 8$ va $f(-1) = -4$ bo'lsa, $2f(-3) - 3f(1)$ ni hisoblang.
6. $g(x)$ toq funksiya bo'lib, $x > 0$ da $g(x) = x^2 - 2x$ bo'lsa, $g(-4)$ ni toping.
7. $y = x^3 + (m - 3)x^2 - 4x$ funksiya toq bo'lishi uchun $m$ nechaga teng bo'lishi kerak?
8. $f(x) = 6x + 8$ funksiyaning juft va toq qismlarini toping.
9. Nega aniqlanish sohasi $[-3; 5]$ bo'lgan funksiya toq bo'la olmaydi?
10. Agar $f(x)$ juft funksiya bo'lsa, $y = (f(x))^2 \cdot x$ qanday funksiya bo'ladi?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $f(-x) = 2(-x)^4 - 7(-x)^2 + 5 = 2x^4 - 7x^2 + 5 = f(x)$. Javob: Juft funksiya.

2. $f(-x) = (-x)^3 - 6(-x) = -x^3 + 6x = -(x^3 - 6x) = -f(x)$. Javob: Toq funksiya.

3. $f(-x) = \dfrac{(-x)^2 + 1}{(-x)^3 - (-x)} = \dfrac{x^2 + 1}{-x^3 + x} = -\dfrac{x^2 + 1}{x^3 - x} = -f(x)$. Javob: Toq funksiya.

4. $D(f) = [-9; 9]$. $f(-x) = \sqrt{9 - x} + \sqrt{9 + x} = f(x)$. Javob: Juft funksiya.

5. Juft bo'lgani uchun $f(-3) = f(3) = 8$ va $f(1) = f(-1) = -4$. $2 \cdot 8 - 3 \cdot (-4) = 16 + 12 = 28$. Javob: $28$.

6. $g(-4) = -g(4)$. $g(4) = 4^2 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8$. Demak, $g(-4) = -8$. Javob: $-8$.

7. Toq bo'lishi uchun juft darajali had nol bo'lishi lozim: $m - 3 = 0 \implies m = 3$. Javob: $m = 3$.

8. $f_{\text{juft}}(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2} = \dfrac{(6x+8) + (-6x+8)}{2} = 8$. $f_{\text{toq}}(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2} = \dfrac{(6x+8) - (-6x+8)}{2} = 6x$. Javob: Juft qismi: $8$; toq qismi: $6x$.

9. $x = 5$ nuqta sohada bor, ammo $-5$ kirmaydi. Aniqlanish sohasi simmetrik emas. Javob: Aniqlanish sohasi koordinata boshiga nisbatan simmetrik emas.

10. $(f(-x))^2 = (f(x))^2$ (juft), $x$ esa toq. Juft va toqning ko'paytmasi toq bo'ladi. Javob: Toq funksiya.

Keng tarqalgan xatolar

1. Aniqlanish sohasining simmetrikligini tekshirmaslik. ✗ $f(x) = x^2$ ning aniqlanish sohasi $[0; 5]$ bo'lsa ham uni juft deb atash. ✓ Agar soha simmetrik bo'lmasa, $f(-x)$ mavjud emas. Bu holda funksiya umumiy ko'rinishda bo'ladi.

2. Ozod had qatnashgan ko'phadlarni toq deb o'ylash. ✗ $f(x) = x^3 + 2$ toq daraja borligi uchun toq deyish. ✓ Erkin son $2 = 2x^0$ juft darajadir: $f(-x) = -x^3 + 2 \neq -(x^3 + 2)$. Demak, na juft, na toq.

3. "Juft emas" deganini "toq" deb xulosa qilish. ✗ Funksiya juft bo'lmasa, uni albatta toq deb hisoblash. ✓ Funksiyalarning ko'p qismi na juft va na toq (umumiy ko'rinishda) bo'ladi.

4. Toq funksiya xossasini $0$ da aniqlanmagan funksiyalarga qo'llash. ✗ $f(x) = \dfrac{1}{x}$ toq bo'lgani uchun $f(0) = 0$ deyish. ✓ $f(0) = 0$ xossasi faqat $0 \in D(f)$ bo'lgandagina to'g'ri. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ da $0$ nuqta sohada yo'q.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Juft va toq funksiyalarni o'zlashtirdik. Keyingi darsda qiymatlari ma'lum bir qadam bilan takrorlanuvchi funksiyalar — funksiyaning davriyligi bilan tanishamiz.