Darajali funksiya

Bu nima va nega kerak

Kvadratning yuzi uning tomoniga kvadratik bog'langan ($S = a^2$). Kubning hajmi qirrasining uchinchi darajasiga bog'liq ($V = a^3$). Fizikada esa gravitatsion tortishish kuchi masofaning kvadratiga teskari proportsional ($F \sim \dfrac{1}{R^2}$), mayatnikning tebranish davri esa ip uzunligining kvadrat ildiziga bog'liq ($T \sim \sqrt{l}$).

Bu qonuniyatlarning barchasi darajali funksiyalar oilasiga tegishlidir.

Ular yordamida nafaqat tabiat hodisalari modellashtiriladi, balki sonlarni darajalar yordamida taqqoslash, tenglama va tengsizliklarni grafik usulda yechish amalga oshiriladi.

Asosiy g'oya

Ta'rif. $y = x^p$ ko'rinishidagi funksiya darajali funksiya deyiladi, bu yerda $p$ — berilgan o'zgarmas haqiqiy son.

9-sinf kursida darajali funksiyaning quyidagi asosiy turlari o'rganiladi:

1. Natural ko'rsatkichli funksiya: $y = x^n$ ($n \in \mathbb{N}$)

• $n$ juft ($y = x^2, x^4, \dots$): $D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = [0; +\infty)$. Juft funksiya ($Oy$ o'qiga simmetrik). $(-\infty; 0]$ da kamayadi, $[0; +\infty)$ da o'sadi. $y_{\min} = 0$.
• $n$ toq ($y = x^3, x^5, \dots$): $D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Toq funksiya (koordinata boshiga simmetrik). Butun sonlar o'qida doim o'suvchi.

2. Manfiy butun ko'rsatkichli funksiya: $y = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$ ($n \in \mathbb{N}$)

• $n = 1$ ($y = \dfrac{1}{x}$): $D(y) = E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Toq funksiya (giperbola). $(-\infty; 0)$ va $(0; +\infty)$ da kamayuvchi.
• $n = 2$ ($y = \dfrac{1}{x^2}$): $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (0; +\infty)$. Juft funksiya. $(-\infty; 0)$ da o'suvchi, $(0; +\infty)$ da kamayuvchi.

3. Ildiz funksiyalari: $y = \sqrt{x}$ va $y = \sqrt[3]{x}$

• $y = \sqrt{x}$ ($x^{1/2}$): $D(y) = [0; +\infty)$, $E(y) = [0; +\infty)$. O'z sohasida o'suvchi.
• $y = \sqrt[3]{x}$ ($x^{1/3}$): $D(y) = E(y) = (-\infty; +\infty)$. Toq funksiya, doim o'suvchi.

4. Sonlarni darajalar yordamida taqqoslash

• $x > 1$ da: daraja ko'rsatkichi kattasi katta bo'ladi ($x^4 > x^3 > x^2 > x$).
• $0 < x < 1$ da: daraja ko'rsatkichi kattasi kichik bo'ladi ($x^4 < x^3 < x^2 < x$).
• Grafiklar $(0; 0)$ va $(1; 1)$ nuqtalarda kesishadi.

Yechilgan misollar

1-misol. Juft va toq darajali funksiyalarni taqqoslash

$f(x) = x^4$ va $g(x) = x^5$ funksiyalarining aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi va monotonligini taqqoslang.

• $f(x) = x^4$: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, $E(f) = [0; +\infty)$. Juft funksiya ($Oy$ o'qiga simmetrik). $(-\infty; 0]$ da kamayadi, $[0; +\infty)$ da o'sadi.
• $g(x) = x^5$: $D(g) = (-\infty; +\infty)$, $E(g) = (-\infty; +\infty)$. Toq funksiya ($(0; 0)$ ga simmetrik). Butun $\mathbb{R}$ da o'suvchi.

Javob: $f(x)$ juft, qiymati nomanfiy, ikki xil oraliqda o'zgaradi; $g(x)$ toq, qiymati butun $\mathbb{R}$ va doim o'suvchi.

2-misol. Manfiy darajali funksiyani tekshirish

$y = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$

funksiyaning xossalarini aniqlang va $x_1 = -2$ hamda $x_2 = 2$ dagi qiymatlarini toping.

• Aniqlanish sohasi: maxraj nolga teng bo'la olmaydi, demak $x \neq 0$, ya'ni $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Juft-toqligi: $f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^3} = \dfrac{1}{-x^3} = -\dfrac{1}{x^3} = -f(x)$. Demak, bu toq funksiya.
• Qiymatlar sohasi: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ (nol qiymatini qabul qilmaydi).
• Qiymatlarni hisoblash: $f(-2) = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8} = -0{,}125.$ $f(2) = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125.$

Javob: Toq funksiya; $D(y) = E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; $f(-2) = -0{,}125$, $f(2) = 0{,}125$.

3-misol. Sonlarni taqqoslash

Quyidagi sonlarni hisoblamasdan taqqoslang: a) $1{,}4^5$ va $1{,}4^7$; b) $0{,}6^4$ va $0{,}6^3$; c) $(-3)^5$ va $(-2)^5$.

• a) Asos $1{,}4 > 1$. Funksiya $y = 1{,}4^x$ yoki $x > 1$ da $y = x^n$ o'suvchi bo'lgani sababli, darajasi kattasi katta bo'ladi: $1{,}4^5 < 1{,}4^7$.
• b) Asos $0 < 0{,}6 < 1$. Oraliq $(0; 1)$ da daraja oshgani sari son kichrayadi: $0{,}6^4 < 0{,}6^3$.
• c) $y = x^5$ toq darajali funksiya butun sonlar o'qida o'suvchi. Argumentlarni taqqoslaymiz: $-3 < -2$. Funksiya o'suvchi bo'lgani uchun kichik argumentga kichik qiymat mos keladi: $(-3)^5 < (-2)^5$. (Haqiqatan ham, $-243 < -32$).

Javob: a) $1{,}4^5 < 1{,}4^7$; b) $0{,}6^4 < 0{,}6^3$; c) $(-3)^5 < (-2)^5$.

4-misol. Grafiklar kesishish nuqtalarini topish

$y = x^3$ va $y = 4x$ funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalarini toping.

• Kesishish nuqtalarida funksiyalarning qiymatlari teng bo'ladi: $x^3 = 4x.$
• Barcha hadlarni chapga o'tkazamiz va ko'paytuvchilarga ajratamiz: $x^3 - 4x = 0 \implies x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x - 2)(x + 2) = 0.$
• Tenglamaning ildizlari: $x_1 = -2, \; x_2 = 0, \; x_3 = 2$.
• Har bir $x$ ga mos $y$ qiymatlarini topamiz ($y = 4x$):
  • $x_1 = -2 \implies y_1 = 4(-2) = -8$. Nuqta: $(-2; -8)$.
  • $x_2 = 0 \implies y_2 = 4(0) = 0$. Nuqta: $(0; 0)$.
  • $x_3 = 2 \implies y_3 = 4(2) = 8$. Nuqta: $(2; 8)$.

Javob: Kesishish nuqtalari: $(-2; -8)$, $(0; 0)$ va $(2; 8)$.

Mashq

Quyidagi topshiriqlarni mustaqil bajaring:

1. $y = x^6$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
2. $y = x^7$ funksiya butun sonlar o'qida o'suvchimi yoki kamayuvchimi?
3. $y = \dfrac{1}{x^4}$ funksiyaning aniqlanish sohasini va juft-toqligini aniqlang.
4. $f(x) = \sqrt{x - 4}$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
5. Sonlarni taqqoslang: $2{,}1^3$ va $2{,}3^3$.
6. Sonlarni taqqoslang: $0{,}4^5$ va $0{,}4^2$.
7. Sonlarni taqqoslang: $(-1{,}5)^3$ va $(-1{,}2)^3$.
8. $y = x^4$ va $y = x^2$ grafiklarining umumiy nuqtalarini toping.
9. $y = \sqrt{x}$ funksiya grafigi $A(16; 4)$ va $B(25; -5)$ nuqtalardan o'tadimi?
10. $y = x^3 - 8$ funksiyaning nolini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. Juft daraja har doim nomanfiy: $x^6 \ge 0$. Javob: $E(y) = [0; +\infty)$.

2. Toq darajali $y = x^n$ funksiyalar $(-\infty; +\infty)$ da o'suvchi bo'ladi. Javob: Butun sonlar o'qida o'suvchi.

3. $x^4 \neq 0 \implies x \neq 0$. $f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^4} = \dfrac{1}{x^4} = f(x)$. Javob: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; juft funksiya.

4. Ildiz osti nomanfiy: $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$. Javob: $[4; +\infty)$.

5. $y = x^3$ o'suvchi funksiya. $2{,}1 < 2{,}3$ bo'lgani uchun $2{,}1^3 < 2{,}3^3$. Javob: $2{,}1^3 < 2{,}3^3$.

6. Asos $0 < 0{,}4 < 1$. Oraliq $(0; 1)$ da katta daraja kichikroq bo'ladi: $0{,}4^5 < 0{,}4^2$. Javob: $0{,}4^5 < 0{,}4^2$.

7. $y = x^3$ o'suvchi. Argumentlar: $-1{,}5 < -1{,}2 \implies (-1{,}5)^3 < (-1{,}2)^3$. Javob: $(-1{,}5)^3 < (-1{,}2)^3$.

8. $x^4 = x^2 \implies x^4 - x^2 = 0 \implies x^2(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0, \pm 1$. Nuqtalar: $(-1; 1)$, $(0; 0)$ va $(1; 1)$. Javob: $(-1; 1)$, $(0; 0)$ va $(1; 1)$.

9. $\sqrt{16} = 4$ to'g'ri, $A$ dan o'tadi. $\sqrt{25} = 5 \neq -5$, arifmetik kvadrat ildiz manfiy bo'lmaydi, $B$ dan o'tmaydi. Javob: $A$ nuqtadan o'tadi, $B$ nuqtadan o'tmaydi.

10. $x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x = 2$. Javob: $x = 2$.

Keng tarqalgan xatolar

1. $(0; 1)$ oraliqda darajalarni taqqoslashda adashish. ✗ $0{,}3^4 > 0{,}3^2$ deb o'ylash (chunki $4 > 2$). ✓ $0$ va $1$ orasidagi sonni o'ziga ko'paytirgan sari u kichrayib boradi: $0{,}3^4 = 0{,}0081$, $0{,}3^2 = 0{,}09$, demak $0{,}3^4 < 0{,}3^2$.

2. Toq darajali ildiz bilan juft darajali ildizni adashtirish. ✗ $\sqrt[3]{x}$ funksiyaning aniqlanish sohasini faqat $x \ge 0$ deb olish. ✓ Toq darajali ildiz ostida manfiy son ham bo'lishi mumkin: $\sqrt[3]{-8} = -2$. Shuning uchun $y = \sqrt[3]{x}$ barcha haqiqiy sonlarda aniqlangan: $D = (-\infty; +\infty)$.

3. Manfiy sonlarni toq darajaga ko'targanda modul bilan solishtirib xato qilish. ✗ $-3 < -2$ bo'lsa-da, $(-3)^3 > (-2)^3$ deb xulosa qilish. ✓ $(-3)^3 = -27$, $(-2)^3 = -8$. Sonlar o'qida $-27 < -8$. $y = x^3$ o'suvchi funksiya, tartib saqlanadi.

4. Arifmetik kvadrat ildiz qiymatini manfiy deb olish. ✗ $\sqrt{x} = -3$ tenglama ildizga ega deb hisoblash. ✓ Arifmetik kvadrat ildizning qiymatlar sohasi nomanfiy sonlardan iborat: $E(y) = [0; +\infty)$.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Ushbu dars bilan 9-sinf algebrasi "Funksiyalar" bo'limini to'liq yakunladik. Keyingi bo'limda o'rganilgan barcha grafik va funksional bilimlarga tayangan holda tengsizliklarning yangi, kuchli sinfi — kvadrat tengsizliklar va ularni yechishning eng universal quroli bo'lgan oraliqlar usulini o'rganamiz.