Kvadrat tengsizlik

Bu nima va nega kerak

Yuqoriga otilgan jismning balandligi $h(t) \approx 20t - 5t^2$ formula bilan ifodalanadi. "Jism qaysi vaqt oralig'ida kamida 15 metr balandlikda bo'ladi?" degan savol quyidagi tengsizlikka olib keladi:

$-5t^2 + 20t - 15 \ge 0.$

Bu — noma'lumning ikkinchi darajasi qatnashgan kvadrat tengsizlikdir. Chiziqli tengsizliklardan farqli ravishda, bu yerda noma'lumni bir tomonga o'tkazish yetarli emas. Kvadrat tengsizliklarni yechishda kvadrat funksiya grafigi — parabolaning xossalariga tayanamiz.

Asosiy g'oya va ta'riflar

Kvadrat tengsizlik ta'rifi

[!IMPORTANT] Ta'rif: $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \le 0$ ($a \neq 0$) ko'rinishidagi tengsizliklar bir noma'lumli kvadrat tengsizliklar deyiladi.

Parabola usuli

Kvadrat tengsizlikni yechish $y = ax^2 + bx + c$ parabolaning $OX$ o'qiga nisbatan joylashuviga asoslanadi:

• $ax^2 + bx + c > 0$ — parabolaning $OX$ dan yuqoridagi qismi;
• $ax^2 + bx + c < 0$ — parabolaning $OX$ dan pastdagi qismi.

Har doim zarur bo'lsa ikkala tomonni $-1$ ga ko'paytirib, $a > 0$ holga keltirish qulay:

Diskriminant	Parabola va $OX$	$ax^2+bx+c > 0$	$ax^2+bx+c < 0$
$D > 0$	2 ta ildiz ($x_1 < x_2$)	$(-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$	$(x_1; x_2)$
$D = 0$	1 ta urinish nuqtasi ($x_0$)	$x \neq x_0$	$\emptyset$
$D < 0$	Kesishmaydi	$(-\infty; +\infty)$	$\emptyset$

Yechish algoritmi

1. Barcha hadlarni chapga o'tkazib, o'ng tomonda $0$ hosil qiling.
2. Agar $a < 0$ bo'lsa, ikkala tomonni $-1$ ga ko'paytiring (ishora teskarisiga o'zgaradi).
3. $ax^2 + bx + c = 0$ tenglama ildizlarini toping.
4. Ildizlarni sonlar o'qida belgilang (qat'iyda ochiq, noqat'iyda bo'yalgan nuqta).
5. Parabola shoxlariga qarab oraliq ishoralarini aniqlang va javobni yozing.

Yechilgan misollar

1-misol. $D > 0$ holati

$x^2 - x - 6 < 0$

Yechish:

1. Kvadrat uchhad ildizlarini topamiz: $x^2 - x - 6 = 0 \implies (x - 3)(x + 2) = 0 \implies x_1 = -2, \; x_2 = 3.$
2. Bosh koeffitsiyent $a = 1 > 0$, parabola shoxlari yuqoriga qaragan.
3. Parabola $OX$ o'qidan pastda yotadigan qismi ($< 0$) ildizlar orasida joylashadi.
4. Tengsizlik qat'iy bo'lgani uchun chegara nuqtalari kirmaydi.

Javob: $(-2; 3)$.

2-misol. Bosh koeffitsiyent manfiy bo'lgan holat

$-3x^2 + 5x + 2 \ge 0$

Yechish:

1. Ikkala tomonni $-1$ ga ko'paytiramiz: $3x^2 - 5x - 2 \le 0.$
2. Ildizlarni hisoblaymiz: $D = (-5)^2 - 4\cdot 3\cdot (-2) = 25 + 24 = 49.$ $x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2.$
3. $a = 3 > 0$ va tengsizlik $\le 0$ bo'lgani uchun yechim ildizlar orasidagi kesma bo'ladi.

Javob: $\left[-\dfrac{1}{3}; 2\right]$.

3-misol. $D = 0$ holati

Quyidagi tengsizliklarni yeching: a) $x^2 - 6x + 9 > 0$;
b) $x^2 - 6x + 9 \le 0$.

Yechish:

1. To'la kvadrat shakliga keltiramiz: $(x - 3)^2$.
2. Diskriminant: $D = 36 - 36 = 0$, ildiz bitta: $x = 3$. Parabola $OX$ o'qiga $(3; 0)$ nuqtada urinadi.
3. a) $(x - 3)^2 > 0$ tengsizlik: har qanday sonning kvadrati faqat $x = 3$ da $0$ ga teng, boshqa barcha qiymatlarda musbat. Yechim: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
4. b) $(x - 3)^2 \le 0$ tengsizlik: kvadrat manfiy bo'lolmaydi, faqat $0$ ga teng bo'lishi mumkin. Demak, yagona yechim: $x = 3$.

Javob: a) $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$; b) $x = 3$.

4-misol. $D < 0$ holati

$x^2 - 2x + 5 > 0$

Yechish:

1. Diskriminantni hisoblaymiz: $D = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0.$
2. To'la kvadrat ajratsak: $x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4 \ge 4 > 0$.
3. $a = 1 > 0$ va $D < 0$ bo'lgani sababli, parabola butunlay $OX$ o'qidan yuqorida yotadi.
4. Demak, tengsizlik $x$ ning barcha haqiqiy qiymatlarida o'rinli.

Javob: $(-\infty; +\infty)$.

Mashq

Quyidagi tengsizliklarni yeching:

1. $x^2 - 16 > 0$
2. $x^2 - 5x \le 0$
3. $x^2 - 7x + 10 < 0$
4. $x^2 + 3x - 4 \ge 0$
5. $-x^2 + 8x - 15 \ge 0$
6. $2x^2 - 5x + 2 < 0$
7. $x^2 - 8x + 16 > 0$
8. $x^2 + 2x + 6 > 0$
9. $2x^2 - 5x - 3 \le 0$ tengsizlikning butun yechimlari yig'indisini toping.
10. $x^2 - 6x + 8 \le 0$ tengsizlikning eng katta va eng kichik butun yechimlari ko'paytmasini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $(x - 4)(x + 4) > 0$. Ildizlar: $-4$ va $4$. Shoxlari yuqoriga, musbat oraliqlar tashqarida.
   Javob: $(-\infty; -4) \cup (4; +\infty)$.

2. $x(x - 5) \le 0$. Ildizlar: $0$ va $5$. Manfiy oraliq ildizlar orasida.
   Javob: $[0; 5]$.

3. $(x - 2)(x - 5) < 0$. Ildizlar: $2$ va $5$.
   Javob: $(2; 5)$.

4. $(x + 4)(x - 1) \ge 0$. Ildizlar: $-4$ va $1$. Tengsizlik $\ge 0$ bo'lgani uchun tashqi oraliqlar olinadi.
   Javob: $(-\infty; -4] \cup [1; +\infty)$.

5. $-1$ ga ko'paytiramiz: $x^2 - 8x + 15 \le 0 \implies (x - 3)(x - 5) \le 0$.
   Javob: $[3; 5]$.

6. $D = 25 - 16 = 9$. Ildizlar: $x_1 = \frac{5 - 3}{4} = 0{,}5$, $x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$.
   Javob: $(0{,}5; 2)$.

7. $(x - 4)^2 > 0$. Kvadrat faqat $x = 4$ da nolga aylanadi.
   Javob: $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

8. $D = 4 - 24 = -20 < 0$. Bosh koeffitsiyent $a = 1 > 0$, parabola butunlay $OX$ dan yuqorida.
   Javob: $(-\infty; +\infty)$.

9. $D = 25 + 24 = 49$. Ildizlar: $x_1 = -0{,}5$, $x_2 = 3$. Oraliq: $[-0{,}5; 3]$. Undagi butun sonlar: $0, 1, 2, 3$. Ularning yig'indisi: $0 + 1 + 2 + 3 = 6$.
   Javob: $6$.

10. $(x - 2)(x - 4) \le 0 \implies [2; 4]$. Eng kichik butun yechim: $2$, eng katta butun yechim: $4$. Ularning ko'paytmasi: $2 \cdot 4 = 8$.
    Javob: $8$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Manfiy songa ko'paytirganda tengsizlik ishorasini o'zgartirmaslik.

• ✗ $-x^2 + 4x - 3 > 0 \implies x^2 - 4x + 3 > 0$
• ✓ Ikkala tomonni $-1$ ga ko'paytirganda ishora qarama-qarshisiga o'zgaradi: $x^2 - 4x + 3 < 0$.

2. Ildizlar topilgach, tengsizlikni alohida mantiqsiz yozish.

• ✗ $x^2 - 5x + 6 < 0$ bo'lsa, $x < 2$ va $x < 3$ deb yozish.
• ✓ Parabola shoxlari yuqoriga qaraganda $< 0$ sharti ildizlar oralig'ini bildiradi: $2 < x < 3$, ya'ni $(2; 3)$.

3. $D < 0$ bo'lganda shoshilib "yechim yo'q" deb xulosa chiqarish.

• ✗ $x^2 + x + 2 > 0$ da $D = -7 < 0$, demak "yechim yo'q".
• ✓ $D < 0$ bo'lsa, parabola $OX$ o'qini kesmaydi. $a = 1 > 0$ bo'lgani uchun u doim $OX$ dan yuqorida yotadi. Demak, tengsizlik har doim to'g'ri: $(-\infty; +\infty)$.

4. To'la kvadrat noqat'iy tengsizligida yagona ildizni hisobga olmaslik.

• ✗ $(x - 5)^2 \le 0 \implies$ yechim yo'q.
• ✓ Kvadrat manfiy bo'lolmasa ham, $0$ ga teng bo'lishi mumkin: $x - 5 = 0 \implies x = 5$.

DTM uslubidagi test

Ushbu dars bo'yicha interaktiv test savollari yuqoridagi frontmatter qismida joylashtirilgan. Savollarga mustaqil javob berib, o'z bilimingizni tekshiring.

Keyingi qadam

Kvadrat tengsizliklarni grafik usulda yechishni o'rgandik. Agar tengsizlikda 3 ta yoki undan ortiq ko'paytuvchilar, shuningdek kasr-ratsional ifodalar qatnashsa-chi? Keyingi darsda ularni oson va tezkor yechish imkonini beruvchi qudratli oraliqlar usuli bilan tanishamiz.