Ikki o'zgaruvchili tengsizlik

Bu nima va nega kerak

Bitta o'zgaruvchili tengsizlikning yechimi sonlar o'qidagi oraliq bo'ladi. Agar masalada ikkita noma'lum qatnashsa-chi?

Masalan, sex $x$ ta stol va $y$ ta stul ishlab chiqaradi. Vaqt cheklovi:

$2x + 3y \le 12.$

Bu yerda yechim bitta son emas, balki shartni qanoatlantiruvchi $(x; y)$ sonlar juftliklaridir: masalan, $(1; 2)$ mos keladi ($2\cdot 1 + 3\cdot 2 = 8 \le 12$), lekin $(4; 3)$ mos kelmaydi ($2\cdot 4 + 3\cdot 3 = 17 > 12$).

Bunday juftliklarni koordinatalar tekisligida nuqtalar sifatida tasvirlasak, butun bir tekislik sohasi (yarim tekislik, doira, ko'pburchak) hosil bo'ladi.

Asosiy g'oya va ta'riflar

Ikki o'zgaruvchili tengsizlik tushunchasi

[!IMPORTANT] Ta'rif: $f(x, y) > 0$, $f(x, y) \ge 0$, $f(x, y) < 0$, $f(x, y) \le 0$ ko'rinishidagi munosabatlar ikki o'zgaruvchili tengsizliklar deyiladi. Tengsizlikni to'g'ri sonli tengsizlikka aylantiruvchi $(x; y)$ juftlik uning yechimi deyiladi.

Chegara chizig'i va tasvirlash qoidasi

$f(x, y) = 0$ tenglama tekislikda chegara chizig'ini (to'g'ri chiziq, parabola, aylana) aniqlaydi:

• Noqat'iy tengsizlikda ($\ge, \le$): Chegara tutash chiziq bilan chiziladi (nuqtalar yechimga kiradi).
• Qat'iy tengsizlikda ($>, <$): Chegara uziq-uziq chiziq bilan chiziladi (nuqtalar yechimga kirmaydi).

Sinov nuqtasi usuli

1. Chegarada yotmaydigan qulay nuqta (odatda $(0; 0)$) tanlanadi.
2. Nuqtaning koordinatalari tengsizlikka qo'yiladi.
3. Agar to'g'ri tengsizlik hosil bo'lsa, shu nuqta yotgan soha shtrixlanadi; noto'g'ri bo'lsa, narigi tomon shtrixlanadi.

Tengsizliklar sistemasi

Bir nechta tengsizlikdan iborat sistemaning yechimi ularning sohalari umumiy kesishmasi (bir vaqtda barchasiga tegishli qism) bo'ladi.

Yechilgan misollar

1-misol. Chiziqli tengsizlik

$2x - y - 4 \le 0$

tengsizlikning yechimlar sohasini aniqlang.

Yechish:

1. Tengsizlikni $y$ ga nisbatan yozamiz: $-y \le -2x + 4 \implies y \ge 2x - 4$.
2. Chegara chizig'i: $y = 2x - 4$ to'g'ri chizig'i. U $(0; -4)$ va $(2; 0)$ nuqtalardan o'tadi.
3. Tengsizlik noqat'iy ($\le$) bo'lgani uchun chiziq tutash chiziladi.
4. Sinov nuqtasi $(0; 0)$ ni tekshiramiz: $2(0) - 0 - 4 = -4 \le 0$ (to'g'ri).
5. Demak, $(0; 0)$ nuqta joylashgan yuqori yarim tekislik yechimdir.

Javob: $y = 2x - 4$ to'g'ri chizig'i va undan yuqoridagi yarim tekislik.

2-misol. Parabolali tengsizlik

$y < -x^2 + 4$

Yechish:

1. Chegara: $y = -x^2 + 4$ parabolasi (uchi $(0; 4)$, shoxlari pastga qaragan).
2. Qat'iy tengsizlik ($<$) bo'lgani sababli parabola uziq-uziq chiziq bilan chiziladi.
3. $(0; 0)$ nuqtani tekshiramiz: $0 < -0^2 + 4 \implies 0 < 4$ (to'g'ri).
4. Demak, parabolaning ostidagi (ichki) soha yechim bo'ladi.

Javob: $y = -x^2 + 4$ parabolasi ostidagi soha (chegara kirmaydi).

3-misol. Doira sohasi

$x^2 + y^2 \le 9$

Yechish:

1. Chegara: $x^2 + y^2 = 9 = 3^2$ — markazi $(0; 0)$ da, radiusi $R = 3$ bo'lgan aylana.
2. Tengsizlik noqat'iy bo'lgani uchun aylana tutash chiziladi.
3. $(0; 0)$ nuqtada: $0^2 + 0^2 = 0 \le 9$ (to'g'ri). Yechim aylananing ichki sohasi va chegarasidir.
4. Doira yuzi: $S = \pi R^2 = 9\pi$.

Javob: Markazi $(0; 0)$, radiusi $3$ bo'lgan doira; yuzi $9\pi$.

4-misol. Tengsizliklar sistemasi

$\begin{cases} y \ge x \\ y \le 3 \\ x \ge 0 \end{cases}$

sistemaning sohasini va yuzini toping.

Yechish:

1. $x \ge 0$ — $OY$ o'qidan o'ng tomon; $y \le 3$ — $y = 3$ to'g'ri chizig'idan past tomon; $y \ge x$ — $y = x$ chizig'idan yuqori tomon.
2. Kesishish nuqtalari: $(0; 0)$, $(0; 3)$ va $(3; 3)$.
3. Hosil bo'lgan shakl katetlari $3$ ga teng to'g'ri burchakli uchburchakdir.
4. Yuzi: $S = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 = 4{,}5$.

Javob: Katetlari $3$ bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak; yuzi $4{,}5$.

Mashq

1. $(1; 2)$ nuqta $3x - 2y + 4 \ge 0$ tengsizlikni qanoatlantiradimi?
2. $x - y > 3$ tengsizlik chegarasini va chiziq turini aniqlang.
3. $(0; 0)$ nuqta $y \ge x^2 - 1$ sohasiga tegishlimi?
4. $x^2 + y^2 < 25$ qanday sohani ifodalaydi?
5. $y \le 3$ va $y \ge -1$ tekislikda nimani ifodalaydi?
6. $\begin{cases} 0 \le x \le 5 \\ 0 \le y \le 3 \end{cases}$ sohasining yuzi va perimetrini toping.
7. $x + y \le 2$ tengsizlikni qanoatlantiruvchi butun nomanfiy $(x; y)$ juftliklar sonini toping.
8. $y \ge x^2$ va $y \le 4$ chegaralagan sohaning eng quyi va eng yuqori nuqtalarini toping.
9. $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}$ sohasining yuzini hisoblang.
10. $A(2; k)$ nuqta $3x - 4y + 2 \ge 0$ sohaga tegishli bo'lishi uchun $k$ qanday bo'lishi kerak?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $3(1) - 2(2) + 4 = 3 \ge 0$ (to'g'ri).
   Javob: Ha.

2. Chegara: $y = x - 3$, qat'iy tengsizlik bo'lgani uchun uziq-uziq chiziq.
   Javob: $y = x - 3$, uziq-uziq chiziq.

3. $0 \ge 0^2 - 1 = -1$ (to'g'ri).
   Javob: Ha, tegishli.

4. Markazi $(0; 0)$ da, radiusi $5$ bo'lgan ochiq doira (chegara kirmaydi).
   Javob: Radiusi $5$ bo'lgan ochiq doira.

5. $y = -1$ va $y = 3$ to'g'ri chiziqlari orasidagi cheksiz polosa.
   Javob: $y = -1$ va $y = 3$ orasidagi polosa.

6. To'g'ri to'rtburchak: $S = 5 \cdot 3 = 15$, $P = 2(5 + 3) = 16$.
   Javob: $S = 15$, $P = 16$.

7. Nomanfiy butun juftliklar: $(0; 0), (0; 1), (0; 2), (1; 0), (1; 1), (2; 0)$. Jami 6 ta.
   Javob: 6 ta.

8. Quyi nuqta: $(0; 0)$; yuqori nuqtalar: $(-2; 4)$ va $(2; 4)$.
   Javob: $(0; 0)$, $(-2; 4)$, $(2; 4)$.

9. Katetlari $3$ va $6$ bo'lgan uchburchak: $S = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6 = 9$.
   Javob: $9$.

10. $3(2) - 4k + 2 \ge 0 \implies 8 \ge 4k \implies k \le 2$.
    Javob: $k \le 2$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Qat'iy tengsizlikda chegarani tutash chizish.

• ✗ $x + y > 3$ da tutash chiziq chizish.
• ✓ Qat'iy tengsizliklarda chegara kirmaydi, uziq-uziq chiziq bilan chiziladi.

2. $y$ oldidagi minus ishorasini hisobga olmaslik.

• ✗ $-y \le 2x \implies y \le -2x$
• ✓ Manfiy songa bo'lganda ishora teskarisiga o'zgaradi: $y \ge -2x$.

3. Sinov nuqtasi chegaraning o'zida yotganda adashish.

• ✗ $y \ge 2x$ uchun $(0; 0)$ nuqtani tekshirish.
• ✓ $(0; 0)$ chegara ustida yotadi. Chiziqda yotmaydigan $(1; 0)$ yoki $(0; 1)$ nuqtani tanlash kerak.

4. Sistemada sohalarni birlashtirish (kesishtirish o'rniga).

• ✗ Har bir tengsizlik sohasini alohida-alohida olib birlashtirish.
• ✓ Sistemaning yechimi barcha tengsizlik sohalarining umumiy kesishmasi (ustma-ust tushgan qismi) bo'ladi.

DTM uslubidagi test

Ushbu dars bo'yicha interaktiv test savollari yuqoridagi frontmatter qismida joylashtirilgan. Savollarga mustaqil javob berib, o'z bilimingizni tekshiring.

Keyingi qadam

Biz 9-sinf algebra kursining "Kvadrat tengsizliklar" bo'limini muvaffaqiyatli yakunladik. Keyingi bobda yangi va qiziqarli mavzu — sonli ketma-ketliklar hamda arifmetik progressiya bilan tanishamiz.