Kvadrat funksiya va uning grafigi

Bu nima va nega kerak

Futbol to'pining havodagi parvozi, favvoralarning suv oqimi, osma ko'prik zanjirlari yoki projektor reflektorlari — bularning barchasi parabola deb ataluvchi egri chiziq shaklida bo'ladi.

Bunday jarayonlar kvadrat funksiya yordamida ifodalanadi. U orqali quyidagi amaliy masalalar hal qilinadi:

• Otilgan jism maksimal qanday balandlikka ko'tariladi?
• Mahsulot qanday narxda sotilsa, eng katta foyda olinadi?
• Berilgan perimetrda eng katta yuzali maydonni qanday o'rash mumkin?

Bu masalalarning barchasi parabola uchining koordinatalarini va funksiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini topishga tayanadi.

Asosiy g'oya

1. Kvadrat funksiya ta'rifi

Ta'rif. $y = ax^2 + bx + c$ ko'rinishidagi funksiya kvadrat funksiya deyiladi ($a, b, c \in \mathbb{R}$ va $a \neq 0$). Uning grafigi parabola deyiladi.

• Agar $a > 0$ bo'lsa, parabola shoxlari yuqoriga yo'nalgan.
• Agar $a < 0$ bo'lsa, parabola shoxlari pastga yo'nalgan.

2. Parabola uchining koordinatalari

Kvadrat uchhadni to'la kvadrat ajratish orqali kanonik ko'rinishga keltiramiz: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$

Bu yerda $(x_0; y_0)$ — parabola uchining koordinatalari: $x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = f(x_0) = \frac{4ac - b^2}{4a} = -\frac{D}{4a}.$

3. Simmetriya o'qi

Parabola o'zining uchidan o'tuvchi vertikal to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir: $x = -\frac{b}{2a}.$

4. Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari

• $Oy$ o'qi bilan: $x = 0$ da $y = c$, ya'ni $(0; c)$ nuqtada.
• $Ox$ o'qi bilan: $ax^2 + bx + c = 0$ tenglamaning ildizlarida:
  • $D > 0$: 2 ta nuqtada kesadi ($(x_1; 0)$ va $(x_2; 0)$);
  • $D = 0$: 1 ta nuqtada urinadi ($(x_0; 0)$);
  • $D < 0$: $Ox$ o'qi bilan kesishmaydi.

5. Qiymatlar sohasi va monotonlik

• $a > 0$ da: $E(y) = [y_0; +\infty)$; eng kichik qiymat $y_{\min} = y_0$; $(-\infty; x_0]$ da kamayadi, $[x_0; +\infty)$ da o'sadi.
• $a < 0$ da: $E(y) = (-\infty; y_0]$; eng katta qiymat $y_{\max} = y_0$; $(-\infty; x_0]$ da o'sadi, $[x_0; +\infty)$ da kamayadi.

Yechilgan misollar

1-misol. Parabolaning asosiy parametrlarini topish

$y = x^2 - 4x - 5$

parabolaning uchi, simmetriya o'qi va o'qlar bilan kesishish nuqtalarini toping.

• Koeffitsiyentlar: $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$.
• Uchi: $x_0 = -\dfrac{-4}{2} = 2$, $y_0 = f(2) = 4 - 8 - 5 = -9$. Koordinatasi: $(2; -9)$.
• Simmetriya o'qi: $x = 2$.
• $Oy$ bilan kesishish nuqtasi: $x = 0 \implies y = -5$, ya'ni $(0; -5)$.
• $Ox$ bilan kesishish nuqtalari: $x^2 - 4x - 5 = 0 \implies x_1 = -1, \; x_2 = 5$. Nuqtalar: $(-1; 0)$ va $(5; 0)$.

Javob: Uchi $(2; -9)$; simmetriya o'qi $x = 2$; kesishish nuqtalari: $(0; -5)$, $(-1; 0)$ va $(5; 0)$.

2-misol. Eng katta qiymat va monotonlik oraliqlari

$y = -2x^2 + 8x - 3$

funksiyaning eng katta qiymatini hamda o'sish va kamayish oraliqlarini toping.

• $a = -2 < 0$, shoxlari pastga qaragan. Funksiya eng katta qiymatga ega: $x_0 = -\dfrac{8}{2\cdot (-2)} = 2$, $y_{\max} = f(2) = -2\cdot 4 + 16 - 3 = 5$.
• Shoxlari pastga qaragani uchun:
  • $(-\infty; 2]$ oraliqda o'suvchi;
  • $[2; +\infty)$ oraliqda kamayuvchi.

Javob: $y_{\max} = 5$; o'sish oralig'i: $(-\infty; 2]$; kamayish oralig'i: $[2; +\infty)$.

3-misol. Parabola formulasini tuzish

Uchi $M(1; -4)$ nuqtada bo'lgan va $A(3; 8)$ nuqtadan o'tuvchi parabolaning formulasini toping.

• Kanonik ko'rinish: $y = a(x - x_0)^2 + y_0 \implies y = a(x - 1)^2 - 4$.
• $A(3; 8)$ nuqtani qo'yamiz: $8 = a(3 - 1)^2 - 4 \implies 4a = 12 \implies a = 3$.
• Qavsni ochamiz: $y = 3(x - 1)^2 - 4 = 3x^2 - 6x - 1$.

Javob: $y = 3x^2 - 6x - 1$.

4-misol. Kesmada eng katta va eng kichik qiymat

$y = x^2 - 2x + 4$

funksiyaning $[0; 3]$ kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

• Parabola uchi: $x_0 = -\dfrac{-2}{2} = 1 \in [0; 3]$.
• Qiymatlar: $f(1) = 1 - 2 + 4 = 3$, $f(0) = 4$, $f(3) = 9 - 6 + 4 = 7$.
• Eng kichigi $3$, eng kattasi $7$.

Javob: $y_{\min} = 3$ ($x = 1$ da), $y_{\max} = 7$ ($x = 3$ da).

Mashq

Quyidagi topshiriqlarni mustaqil bajaring:

1. $y = x^2 - 8x + 12$ parabolaning uchini toping.
2. $y = -x^2 + 6x - 5$ parabolaning simmetriya o'qi tenglamasini yozing.
3. $y = 2x^2 - 12x + 10$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
4. $y = -3x^2 + 6x + 2$ funksiyaning eng katta qiymatini toping.
5. $y = x^2 - 6x + 8$ parabolaning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini aniqlang.
6. $y = x^2 + 4x + 7$ parabolasi $Ox$ o'qini kesib o'tadimi?
7. $y = -x^2 + 4x + 1$ funksiyaning o'sish oralig'ini toping.
8. $y = (x - 2)^2 - 9$ funksiyaning nollarini toping.
9. Parabola uchi $K(-2; 1)$ nuqtada bo'lib, $Oy$ o'qini $(0; 5)$ nuqtada kesadi. Uning bosh koeffitsiyenti $a$ ni toping.
10. $y = x^2 - 4x + 5$ funksiyaning $[-1; 4]$ kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $x_0 = -\dfrac{-8}{2} = 4$. $y_0 = 4^2 - 8\cdot 4 + 12 = -4$. Javob: $(4; -4)$.

2. $x_0 = -\dfrac{6}{2\cdot (-1)} = 3$. Simmetriya o'qi: $x = 3$. Javob: $x = 3$.

3. $a = 2 > 0$. $x_0 = -\dfrac{-12}{4} = 3$. $y_0 = 2\cdot 9 - 12\cdot 3 + 10 = -8$. Javob: $[-8; +\infty)$.

4. $a = -3 < 0$. $x_0 = -\dfrac{6}{2\cdot (-3)} = 1$. $y_{\max} = -3(1)^2 + 6(1) + 2 = 5$. Javob: $5$.

5. $Ox$ bilan: $x^2 - 6x + 8 = 0 \implies x_1 = 2, x_2 = 4 \implies (2; 0)$ va $(4; 0)$. $Oy$ bilan: $x = 0 \implies y = 8 \implies (0; 8)$. Javob: $(2; 0)$, $(4; 0)$ va $(0; 8)$.

6. $D = 16 - 28 = -12 < 0$. $D < 0$ bo'lgani uchun $Ox$ o'qini kesib o'tmaydi. Javob: Kesib o'tmaydi.

7. $a = -1 < 0$. $x_0 = -\dfrac{4}{-2} = 2$. Parabola shoxlari pastga qaragan, demak $(-\infty; 2]$ oraliqda o'sadi. Javob: $(-\infty; 2]$.

8. $(x - 2)^2 - 9 = 0 \implies (x - 2)^2 = 9 \implies x - 2 = \pm 3 \implies x_1 = -1, \; x_2 = 5$. Javob: $x_1 = -1, \; x_2 = 5$.

9. $y = a(x + 2)^2 + 1$. $(0; 5)$ nuqtani qo'yamiz: $5 = a(0 + 2)^2 + 1 \implies 4a = 4 \implies a = 1$. Javob: $a = 1$.

10. $x_0 = 2 \in [-1; 4]$. $f(2) = 1$, $f(-1) = 10$, $f(4) = 5$. Javob: $y_{\min} = 1$, $y_{\max} = 10$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Parabola uchi abssissasi formulasida ishorani unutish. ✗ $x_0 = \dfrac{b}{2a}$ deb manfiy ishorani qoldirib ketish. ✓ Formulada manfiy ishora bor: $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$. Masalan, $y = x^2 - 6x + 5$ da $b = -6$, shunda $x_0 = -\dfrac{-6}{2} = 3$.

2. Shoxlar yo'nalishini hisobga olmasdan eng katta/kichik qiymatni adashtirish. ✗ $a < 0$ bo'lganda funksiya eng kichik qiymatga ega deb o'ylash. ✓ Agar $a < 0$ bo'lsa, parabola shoxlari pastga qaragan va u o'zining eng katta qiymatiga uchida erishadi; eng kichik qiymati yo'q ($-\infty$ ga ketadi).

3. Kesmada qiymatni topishda uchini tekshirishni unutish. ✗ $y = x^2 - 2x + 4$ ning $[0; 3]$ dagi minimal qiymatini faqat $f(0)$ va $f(3)$ orqali izlash. ✓ Parabola uchi $x_0 = 1$ kesma ichida bo'lsa, eng kichik qiymat uchida bo'ladi: $f(1) = 3$.

4. Kanonik ko'rinishda $x_0$ ning ishorasida adashish. ✗ $y = (x + 3)^2 + 5$ parabola uchini $(3; 5)$ deb olish. ✓ Formulada $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ bo'lgani uchun, $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$, demak uchi $(-3; 5)$.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Kvadrat funksiyani va uning grafigini mukammal o'zlashtirdik. Endi argument turli darajalarda ($x^3, x^4, \dfrac{1}{x}, \sqrt{x}$) qatnashadigan umumiyroq funksiyalar sinfi — darajali funksiya va uning xossalarini ko'rib chiqamiz.