Funksiyaning xossalari

Bu nima va nega kerak

7-sinfda funksiya bilan tanishganda, unga bir qoida sifatida qaragan edik: erkli o'zgaruvchi $x$ (argument) beriladi va unga mos $y$ qiymat topiladi.

Ammo amaliyotda alohida nuqtalarni hisoblash yetarli emas. Masalan:

• Jarayon qachon kuchayadi, qachon susayadi?
• Ko'rsatkich qachon noldan yuqori (foyda), qachon noldan past (zarar) bo'ladi?
• Qaysi qiymatlarni hisoblash umuman mumkin emas?

Buning uchun funksiyaning yaxlit xususiyatlarini — aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi, nollari, ishora oraliqlari, monotonligi (o'sish va kamayishi) hamda juft-toqligini bilish shart.

Asosiy g'oya

1. Aniqlanish sohasi va qiymatlar sohasi

• Aniqlanish sohasi $D(f)$ — argument $x$ qabul qilishi mumkin bo'lgan barcha sonlar to'plami. Asosiy cheklovlar:
  1. Kasr maxraji nolga teng bo'lmasligi: $\dfrac{A}{B} \implies B \neq 0$.
  2. Kvadrat ildiz osti nomanfiy bo'lishi: $\sqrt{A} \implies A \ge 0$.
• Qiymatlar sohasi $E(f)$ — funksiya $y$ qabul qilishi mumkin bo'lgan barcha qiymatlar to'plami. Masalan, $y = x^2$ uchun $E(y) = [0; +\infty)$.

2. Funksiyaning nollari va ishora oraliqlari

• Nollari: $f(x) = 0$ tenglamaning ildizlari. Grafikda bu — funksiyaning $Ox$ o'qi bilan kesishish nuqtalarining abssissalari.
• Musbatlik oralig'i: $f(x) > 0$ bo'lgan oraliqlar (grafik $Ox$ o'qidan yuqorida).
• Manfiylik oralig'i: $f(x) < 0$ bo'lgan oraliqlar (grafik $Ox$ o'qidan pastda).

3. O'sish va kamayish (monotonlik)

Oraliqdan olingan ixtiyoriy $x_1 < x_2$ uchun:

• agar $f(x_1) < f(x_2)$ bo'lsa — funksiya bu oraliqda o'suvchi;
• agar $f(x_1) > f(x_2)$ bo'lsa — funksiya bu oraliqda kamayuvchi.

4. Juft va toq funksiyalar

Aniqlanish sohasi koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo'lishi shart (ya'ni $x \in D(f) \implies -x \in D(f)$).

• Juft funksiya: $f(-x) = f(x)$. Grafigi $Oy$ o'qiga nisbatan simmetrik. Misol: $y = x^2$, $y = x^4 - 1$.
• Toq funksiya: $f(-x) = -f(x)$. Grafigi koordinatalar boshiga $(0; 0)$ nisbatan simmetrik. Misol: $y = x^3$, $y = \dfrac{1}{x}$.
• Agar ikkala shart ham bajarilmasa — na juft, na toq funksiya deyiladi.

Yechilgan misollar

1-misol. Kasr-ratsional funksiyaning aniqlanish sohasi

$f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 - 5x + 6}$

funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

• Kasr maxraji nolga teng bo'la olmaydi: $x^2 - 5x + 6 \neq 0$.
• Kvadrat tenglamani yechamiz: $(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x_1 = 2, \; x_2 = 3$.
• Demak, argument $x \neq 2$ va $x \neq 3$ bo'lishi kerak.

Javob: $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2-misol. Ildiz va maxraj qatnashgan funksiya

$g(x) = \sqrt{3x + 12} + \frac{1}{x - 1}$

funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

• Ildiz osti nomanfiy: $3x + 12 \ge 0 \implies 3x \ge -12 \implies x \ge -4$.
• Maxraj noldan farqli: $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
• Ikkala shartni birlashtiramiz: $x \ge -4$ va $x \neq 1$.

Javob: $D(g) = [-4; 1) \cup (1; +\infty)$.

3-misol. Funksiyaning nollari va ishora oraliqlari

$f(x) = 2x - 8$

funksiyaning nollarini hamda $f(x) > 0$ va $f(x) < 0$ oraliqlarini toping.

• Noli: $2x - 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4$. Kesishish nuqtasi: $(4; 0)$.
• Musbat oraliq ($f(x) > 0$): $2x - 8 > 0 \implies 2x > 8 \implies x > 4$.
• Manfiy oraliq ($f(x) < 0$): $2x - 8 < 0 \implies 2x < 8 \implies x < 4$.

Javob: Noli: $x = 4$; musbat: $(4; +\infty)$; manfiy: $(-\infty; 4)$.

4-misol. Juft-toqlikka tekshirish

Funksiyalarni juft yoki toqlikka tekshiring: a) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$; b) $g(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$; c) $h(x) = x^3 + x^2$.

• a) $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 5 = x^4 - 2x^2 + 5 = f(x)$. Juft funksiya.
• b) $g(-x) = \dfrac{(-x)^3}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{-x^3}{x^2 + 1} = -g(x)$. Toq funksiya.
• c) $h(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 = -x^3 + x^2$. Bu ifoda $h(x)$ ga ham, $-h(x)$ ga ham teng emas. Na juft, na toq.

Javob: a) juft; b) toq; c) na juft, na toq.

Mashq

Quyidagi topshiriqlarni mustaqil bajaring:

1. $f(x) = \dfrac{7}{2x - 10}$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
2. $g(x) = \sqrt{5x - 15}$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
3. $h(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
4. $f(x) = 3x - 12$ funksiyaning nolini va koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini toping.
5. $f(x) = x^2 - 9$ funksiyaning nollarini toping.
6. $y = -2x + 6$ funksiya $x$ ning qanday qiymatlarida musbat ($y > 0$) bo'ladi?
7. $f(x) = 3x^4 - x^2 + 8$ funksiyaning juft yoki toqligini aniqlang.
8. $g(x) = 2x^3 - 5x$ funksiyaning juft yoki toqligini aniqlang.
9. $y = x^2 + 7$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
10. $f(x) = 5x - 3$ funksiyaning butun sonlar to'g'ri chizig'ida o'suvchi ekanini $x_1 < x_2$ shart orqali isbotlang.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $2x - 10 \neq 0 \implies 2x \neq 10 \implies x \neq 5$. Javob: $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

2. $5x - 15 \ge 0 \implies 5x \ge 15 \implies x \ge 3$. Javob: $[3; +\infty)$.

3. Ildiz osti: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$. Maxraj: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$. Javob: $[-2; 3) \cup (3; +\infty)$.

4. Noli: $3x - 12 = 0 \implies x = 4$. $Ox$ bilan kesishish nuqtasi: $(4; 0)$. $Oy$ bilan: $x = 0$ da $y = -12$, ya'ni $(0; -12)$. Javob: Noli $x = 4$; nuqtalar: $(4; 0)$ va $(0; -12)$.

5. $x^2 - 9 = 0 \implies x_1 = -3, \; x_2 = 3$. Javob: $x_1 = -3, \; x_2 = 3$.

6. $-2x + 6 > 0 \implies -2x > -6 \implies x < 3$. Javob: $(-\infty; 3)$.

7. $f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 + 8 = 3x^4 - x^2 + 8 = f(x)$. Javob: Juft funksiya.

8. $g(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) = -2x^3 + 5x = -(2x^3 - 5x) = -g(x)$. Javob: Toq funksiya.

9. $x^2 \ge 0 \implies x^2 + 7 \ge 7$. Demak, $y \ge 7$. Javob: $E(y) = [7; +\infty)$.

10. $x_1 < x_2 \implies x_2 - x_1 > 0$. $f(x_2) - f(x_1) = (5x_2 - 3) - (5x_1 - 3) = 5(x_2 - x_1) > 0$. Demak, $f(x_2) > f(x_1)$, funksiya o'suvchi. Javob: Isbotlandi.

Keng tarqalgan xatolar

1. Juft darajali ildizning aniqlanish sohasida qat'iy tengsizlik yozish. ✗ $\sqrt{x - 3}$ ifodaning aniqlanish sohasini $x - 3 > 0 \implies x > 3$ deb olish. ✓ Ildiz ostidagi son nolga teng bo'lishi ham mumkin: $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$, ya'ni $[3; +\infty)$.

2. Tengsizlikni manfiy songa bo'lganda ishorani o'zgartirishni unutish. ✗ $-2x > 6 \implies x > -3$. ✓ Manfiy songa bo'linganda tengsizlik ishorasi teskarisiga o'zgaradi: $-2x > 6 \implies x < -3$.

3. Juft/toqlikni faqat bitta nuqtada tekshirish bilan cheklanish. ✗ Masalan, $f(x) = x^2 + x$ uchun faqat bitta son qo'yib qoida chiqarish. ✓ Qoida ixtiyoriy $x$ uchun umumiy ko'rinishda $f(-x)$ ni hisoblash orqali tekshirilishi shart.

4. Aniqlanish sohasi simmetrik bo'lmagan holda juft-toqlik haqida xulosa qilish. ✗ $f(x) = x^2$ funksiya $[0; 5]$ oraliqda berilgan bo'lsa, uni to'g'ridan-to'g'ri juft deb e'lon qilish. ✓ Agar soha koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo'lmasa, funksiya juft ham, toq ham bo'la olmaydi.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Funksiyaning asosiy xossalari bilan tanishdik. Endi ushbu xossalarni maktab matematikasining eng muhim va markaziy modellaridan biri bo'lgan kvadrat funksiya ($y = ax^2 + bx + c$) misolida chuqur o'rganamiz: uning grafigi — parabola qanday yasaladi, uchi qanday topiladi va qiymatlar sohasi qanday aniqlanadi?