Oraliqlar usuli

Bu nima va nega kerak

Agar tengsizlikda uchtadan ortiq ko'paytuvchi yoki kasr ifoda qatnashsa, uni parabola bilan yechib bo'lmaydi:

$(x - 1)(x + 2)(x - 5) > 0, \qquad \frac{x - 3}{x + 4} \le 0.$

Biroq umumiy qonuniyat mavjud: har qanday uzluksiz ifoda faqat o'zining nollari orqali o'tgandagina ishorasini o'zgartirishi mumkin. Ushbu xossaga asoslangan universal usul oraliqlar usuli (intervallar metodi) deyiladi. U yuqori darajali ko'phadlar va kasr-ratsional tengsizliklarni yechishning eng qulay vositasidir.

Asosiy g'oya va ta'riflar

Oraliqlar usulining mohiyati

$f(x) = (x - x_1)(x - x_2)\dots(x - x_n)$ ko'phad berilgan bo'lsin.

1. Sonlar o'qida $x_1, x_2, \dots, x_n$ nollarni belgilasak, ular sonlar o'qini oraliqlarga ajratadi.
2. Har bir oraliq ichida $f(x)$ ifoda o'z ishorasini o'zgartirmay saqlaydi.
3. Barcha qavslarda $x$ oldidagi ishora musbat bo'lsa, eng o'ng oraliqda ifoda doim musbat ($+$) bo'ladi.

Ildizlarning karraligi qoidasi

Ko'paytuvchilar darajaga ega bo'lganda: $(x - x_0)^k$:

• Toq karrali ildiz ($k = 1, 3, 5, \dots$): Funksiya $x_0$ nuqtadan o'tganda ishorasini qarama-qarshisiga almashtiradi ($+$ dan $-$ ga yoki $-$ dan $+$ ga).
• Juft karrali ildiz ($k = 2, 4, 6, \dots$): Funksiya $x_0$ nuqtadan o'tganda ishorasini saqlab qoladi ($+$ dan $+$ ga yoki $-$ dan $-$ ga).

[!IMPORTANT] Eslatma: Juft karrali nuqta tengsizlik yechimiga kirishi yoki kirmasligini alohida tekshirish shart. Masalan, $(x - 3)^2 \le 0$ tengsizlikda yagona yechim $x = 3$ bo'ladi.

Kasr-ratsional tengsizliklar: $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0$

Kasrning ishorasi ko'paytmaning ishorasi bilan bir xil qoidaga bo'ysunadi. Asosiy talab:

• Maxraj nolga teng bo'lolmaydi: $Q(x) \neq 0$.
• Noqat'iy ($\ge, \le$) tengsizliklarda ham maxraj nollari har doim ochiq (yumaloq qavs) qilib chiqariladi.

Yechish algoritmi

1. O'ng tomonda $0$ hosil qiling, barcha hadlarni chapga o'tkazing.
2. Chap tomonni chiziqli ko'paytuvchilarga ajrating: har bir qavsda $x$ oldidagi koeffitsiyentni musbat qiling.
3. Surat va maxraj nollarini toping va sonlar o'qiga joylashtiring:
   • Surat nollari: qat'iyda ochiq, noqat'iyda bo'yalgan;
   • Maxraj nollari: doimo ochiq.
4. Eng o'ng oraliqqa $+$ qo'yib, ildizlar karraligiga qarab chapga tomon ishoralarni yozing.
5. Kerakli oraliqlarni tanlab, javobni yozing.

Yechilgan misollar

1-misol. Ko'phadli tengsizlik

$(x - 1)(x + 3)(x - 5) \le 0$

Yechish:

1. Nollar: $x = -3, \; x = 1, \; x = 5$ (barchasi toq karrali: $k = 1$).
2. Sonlar o'qida $-3, 1, 5$ bo'yalgan nuqtalarni belgilaymiz.
3. Ishoralar o'ngdan chapga:
   • $(5; +\infty)$ oraliqda: $+$;
   • $(1; 5)$ oraliqda: $-$;
   • $(-3; 1)$ oraliqda: $+$;
   • $(-\infty; -3)$ oraliqda: $-$.
4. Bizga $\le 0$ kerak bo'lgani sababli manfiy oraliqlar olinadi.

Javob: $(-\infty; -3] \cup [1; 5]$.

2-misol. Kasr-ratsional tengsizlik

$\frac{x - 2}{x + 4} > 0$

Yechish:

1. Surat noli: $x = 2$; maxraj noli: $x = -4$.
2. Qat'iy tengsizlik bo'lgani sababli ikkala nuqta ham ochiq.
3. Ishoralar: $(2; +\infty)$ da $+$, $(-4; 2)$ da $-$, $(-\infty; -4)$ da $+$.
4. Musbat sohalar tanlanadi.

Javob: $(-\infty; -4) \cup (2; +\infty)$.

3-misol. Juft karrali ildizli tengsizlik

$(x + 1)^2(x - 3)(x - 6) \le 0$

Yechish:

1. Nollar: $x = -1$ (juft karrali, $k = 2$), $x = 3$ ($k = 1$), $x = 6$ ($k = 1$).
2. Nuqtalar sonlar o'qida belgilanadi (barchasi bo'yalgan).
3. Ishoralar:
   • $(6; +\infty)$ da: $+$;
   • $(3; 6)$ da: $-$;
   • $(-1; 3)$ da: $+$;
   • $x = -1$ juft karrali bo'lgani uchun ishora saqlanadi: $(-\infty; -1)$ da $+$.
4. Tengsizlik $\le 0$ bo'lgani sababli: $[3; 6]$ oralig'i va ifodani nolga aylantiruvchi $x = -1$ nuqtasi kiradi.

Javob: $\{-1\} \cup [3; 6]$.

4-misol. O'ng tomoni noldan farqli kasr

$\frac{2x - 5}{x - 3} \ge 1$

Yechish:

1. Tengsizlikni $x - 3$ ga ko'paytirish mumkin emas. $1$ sonini chapga o'tkazamiz: $\frac{2x - 5}{x - 3} - 1 \ge 0 \implies \frac{2x - 5 - (x - 3)}{x - 3} \ge 0 \implies \frac{x - 2}{x - 3} \ge 0.$
2. Surat noli: $x = 2$ (bo'yalgan); maxraj noli: $x = 3$ (ochiq, chunki $x \neq 3$).
3. Ishoralar: $(3; +\infty)$ da $+$, $(2; 3)$ da $-$, $(-\infty; 2)$ da $+$.

Javob: $(-\infty; 2] \cup (3; +\infty)$.

Mashq

Quyidagi tengsizliklarni oraliqlar usulida yeching:

1. $(x - 4)(x + 1) > 0$
2. $(x + 3)(x - 2)(x - 5) < 0$
3. $\dfrac{x + 5}{x - 1} > 0$
4. $\dfrac{x - 4}{x + 2} \le 0$
5. $(x - 3)^2(x + 1) \ge 0$
6. $(x + 2)(x - 1)^2(x - 4) < 0$
7. $\dfrac{(x - 1)(x - 3)}{x + 2} \ge 0$
8. $\dfrac{2x + 1}{x - 2} \le 1$
9. $\dfrac{x^2 - 9}{x - 1} \le 0$
10. $\dfrac{x - 2}{x + 3} \le 0$ tengsizlikning butun yechimlari yig'indisini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. Nollar: $-1$ va $4$. Musbat oraliqlar: $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.
   Javob: $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2. Nollar: $-3, 2, 5$. O'ngdan: $+ , -, +, -$. Manfiy oraliqlar: $(-\infty; -3) \cup (2; 5)$.
   Javob: $(-\infty; -3) \cup (2; 5)$.

3. Nollar: $-5$ va $1$. Ikkala nuqta ham ochiq.
   Javob: $(-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$.

4. Surat $x = 4$ kiradi, maxraj $x = -2$ kirmaydi.
   Javob: $(-2; 4]$.

5. $x = 3$ juft karrali, $x = -1$ toq karrali. $[-1; +\infty)$ da ifoda $\ge 0$.
   Javob: $[-1; +\infty)$.

6. Nollar: $-2, 1, 4$. $x = 1$ juft karrali va u kirmaydi.
   Javob: $(-2; 1) \cup (1; 4)$.

7. Surat: $1$ va $3$ (kiradi). Maxraj: $-2$ (kirmaydi).
   Javob: $(-2; 1] \cup [3; +\infty)$.

8. $\dfrac{2x + 1 - (x - 2)}{x - 2} \le 0 \implies \dfrac{x + 3}{x - 2} \le 0$.
   Javob: $[-3; 2)$.

9. $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 1} \le 0$. Nollar: $-3, 1, 3$ ($1$ kirmaydi).
   Javob: $(-\infty; -3] \cup (1; 3]$.

10. Yechim: $(-3; 2]$. Butun sonlar: $-2, -1, 0, 1, 2$. Yig'indi: $0$.
    Javob: $0$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Tengsizlikni noma'lumli maxrajga ko'paytirish.

• ✗ $\dfrac{x}{x - 2} > 1 \implies x > x - 2$
• ✓ Maxraj ishorasi noma'lum bo'lgani sababli, $1$ ni chapga o'tkazib umumiy maxraj beriladi: $\dfrac{x - (x - 2)}{x - 2} > 0 \implies \dfrac{2}{x - 2} > 0$.

2. Noqat'iy tengsizlikda maxraj noliga to'rtburchak qavs qo'yish.

• ✗ $\dfrac{x - 1}{x - 4} \le 0 \implies [1; 4]$
• ✓ Nolga bo'lish mumkin emas, maxraj noli doim ochiq bo'ladi: $[1; 4)$.

3. Juft karrali ildizda ishorani almashtirish.

• ✗ $(x - 1)^2(x - 3) > 0$ da $1$ dan o'tganda ishorani almashtirish.
• ✓ Juft darajali ko'paytuvchi nolidan o'tganda ishora saqlanadi.

4. Juft karrali yakkalangan nuqtani unutish.

• ✗ $(x - 2)^2(x - 5) \le 0 \implies (-\infty; 5]$ o'rniga faqat $(-\infty; 2) \cup (2; 5]$ deb yozish.
• ✓ Noqat'iy tengsizlikda $x = 2$ da ifoda nolga aylanadi ($0 \le 0$), u to'liq yechimga kiradi.

DTM uslubidagi test

Ushbu dars bo'yicha interaktiv test savollari yuqoridagi frontmatter qismida joylashtirilgan. Savollarga mustaqil javob berib, o'z bilimingizni tekshiring.

Keyingi qadam

Biz bir noma'lumli tengsizliklarni to'liq o'rgandik. Keyingi darsda ikki o'zgaruvchi qatnashgan tengsizliklar va ularning tekislikdagi sohalarini o'rganamiz: ikki o'zgaruvchili tengsizlik.