Koordinatalar metodi

Bu nima va nega kerak

Qadimda geometrik masalalar faqat chizg'ich va sirkul yordamida yechilgan. XVII asrda Rene Dekart geometriyaga koordinatalar sistemasini kiritdi. Natijada geometrik shakllar algebraik tenglamalar tiliga o'girildi.

Ushbu yondashuv koordinatalar metodi deb ataladi. Nuqtalar sonlar juftligi $(x; y)$ bilan, chiziqlar esa tenglamalar bilan ifodalanadi. Geometrik xossalarni isbotlash va masalalarni yechish oddiy algebraik hisob-kitoblarga keltiriladi. Bu metod zamonaviy GPS navigatsiya va kompyuter grafikasining asosi hisoblanadi.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

1. Ikki nuqta orasidagi masofa

Tekislikda $A(x_1; y_1)$ va $B(x_2; y_2)$ nuqtalar berilgan bo'lsin. Ushbu nuqtalar orasidagi masofa $d = AB$ Pifagor teoremasi orqali keltirib chiqariladi:

[!IMPORTANT] Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi: $d = AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Xususan, $A(x; y)$ nuqtadan koordinatalar boshi $O(0; 0)$ gacha bo'lgan masofa: $OA = \sqrt{x^2 + y^2}.$

2. Kesma o'rtasining koordinatalari

$AB$ kesmaning uchlari $A(x_1; y_1)$ va $B(x_2; y_2)$ bo'lsin. Shu kesmaning o'rtasi bo'lgan $M(x_0; y_0)$ nuqtaning koordinatalari uchlarining o'rta arifmetigiga teng:

[!IMPORTANT] Kesma o'rtasi formulasi: $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Agar kesmani berilgan $\lambda = \frac{AM}{MB}$ nisbatda bo'luvchi $M(x; y)$ nuqta kerak bo'lsa: $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}.$

3. Aylana tenglamasi

Markazi $C(x_0; y_0)$ va radiusi $R$ bo'lgan aylanadagi har qanday $M(x; y)$ nuqta uchun $CM = R$. Masofa formulasidan:

[!IMPORTANT] Aylana tenglamasi: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Markazi koordinatalar boshida bo'lsa: $x^2 + y^2 = R^2$. Umumiy ko'rinishda $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ berilsa, to'la kvadrat ajratish orqali markaz va radius topiladi.

---

Yechilgan misollar

1-misol. Ikki nuqta orasidagi masofa

$A(-3; 2)$ va $B(5; -4)$ nuqtalar orasidagi masofani hisoblang.

• Formuladan foydalanamiz: $d = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10.$

Javob: $10$.

2-misol. Kesma uchining koordinatasini topish

$AB$ kesma o'rtasi $M(3; 2)$ nuqtada joylashgan. Agar kesmaning bitta uchi $A(-2; 7)$ bo'lsa, ikkinchi uchi $B$ ning koordinatalarini toping.

• Kesma o'rtasi formulasini yozamiz: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}.$
• Ma'lum qiymatlarni qo'yib, tenglamalarni yechamiz: $3 = \frac{-2 + x_B}{2} \implies -2 + x_B = 6 \implies x_B = 8,$ $2 = \frac{7 + y_B}{2} \implies 7 + y_B = 4 \implies y_B = -3.$

Javob: $B(8; -3)$.

3-misol. To'la kvadrat ajratish orqali aylana parametrlarini topish

$x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ tenglama qanday geometrik shaklni ifodalaydi? Uning asosiy parametrlarini toping.

• $x$ va $y$ bo'yicha hadlarni guruhlab, to'la kvadratga to'ldiramiz: $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) - 9 - 16 = 0.$
• Qisqa ko'paytirish formulasini qo'llaymiz: $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25.$
• Tenglamani $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ ko'rinish bilan taqqoslaymiz: $x_0 = 3, \quad y_0 = -4, \quad R = \sqrt{25} = 5.$

Javob: Markazi $C(3; -4)$ va radiusi $R = 5$ bo'lgan aylana.

4-misol. To'rtburchak turini aniqlash

Uchlari $A(1; 1)$, $B(4; 5)$, $C(1; 9)$ va $D(-2; 5)$ bo'lgan to'rtburchak turini aniqlang.

• Tomonlar uzunligini hisoblaymiz: $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \quad BC = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5,$ $CD = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5, \quad DA = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5.$ Barcha to'rtta tomoni teng ($5$), demak bu romb yoki kvadrat.
• Diagonallarini tekshiramiz: $AC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (9 - 1)^2} = 8, \quad BD = \sqrt{(-2 - 4)^2 + 0} = 6.$
• Diagonallari teng emas ($8 \neq 6$). Demak, shakl kvadrat emas, balki rombdir.

Javob: Romb.

---

Mashq

1. $A(2; 3)$ va $B(6; 6)$ nuqtalar orasidagi masofani hisoblang.
2. $C(-1; 4)$ va $D(7; -2)$ nuqtalarni tutashtiruvchi kesma o'rtasining koordinatalarini toping.
3. Markazi $C(-1; 5)$ va radiusi $R = 3$ bo'lgan aylana tenglamasini yozing.
4. $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 49$ aylananing markazi koordinatalari va radiusini aniqlang.
5. Uchlari $A(0; 0)$, $B(6; 0)$ va $C(6; 8)$ nuqtalarda bo'lgan uchburchakning perimetrini hisoblang.
6. $M(2; -1)$ nuqta $AB$ kesmaning o'rtasi. Agar $A(6; 3)$ bo'lsa, $B$ nuqtaning koordinatalarini toping.
7. $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$ tenglama bilan berilgan aylananing radiusini toping.
8. $A(1; 2)$ nuqta $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$ aylanada yotadimi?
9. Koordinatalar boshidan $K(-5; 12)$ nuqtagacha bo'lgan masofani hisoblang.
10. Uchlari $A(1; 2)$, $B(4; 6)$ va $C(9; 6)$ bo'lgan uchburchakning $AC$ tomoniga tushirilgan $BD$ medianasi uzunligini hisoblang.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$. Javob: $5$.
2. $x = \frac{-1 + 7}{2} = 3$, $y = \frac{4 + (-2)}{2} = 1$. Javob: $(3; 1)$.
3. $(x - (-1))^2 + (y - 5)^2 = 3^2 \implies (x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 9$. Javob: $(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 9$.
4. Markazi $C(5; -2)$, radiusi $R = \sqrt{49} = 7$. Javob: $C(5; -2), R = 7$.
5. $AB = 6$, $BC = 8$. $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Perimetr: $P = 6 + 8 + 10 = 24$. Javob: $24$.
6. $x_B = 2 \cdot 2 - 6 = -2$, $y_B = 2 \cdot (-1) - 3 = -5$. Javob: $B(-2; -5)$.
7. $(x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 - 12 = 0 \implies (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$. Radiusi $R = 5$. Javob: $5$.
8. Nuqta koordinatalarini qo'yamiz: $(1 - 4)^2 + (2 - 6)^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$. Tenglik bajariladi, demak yotadi. Javob: Ha, yotadi.
9. $d = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. Javob: $13$.
10. $AC$ kesma o'rtasi $D$: $x_D = \frac{1 + 9}{2} = 5$, $y_D = \frac{2 + 6}{2} = 4$. $BD = \sqrt{(5 - 4)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$. Javob: $\sqrt{5}$.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Kesma o'rtasi koordinatasini topishda ayirish amalini ishlatish. ✗ $x_0 = \frac{x_2 - x_1}{2}$ deb hisoblash. ✓ Kesma o'rtasi nuqtalar koordinatalarining o'rta arifmetigi bo'ladi: $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

2. Aylana markazi koordinatalarining ishorasini adashtirish. ✗ $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 16$ aylananing markazini $C(-3; 5)$ deb olish. ✓ Formulada minus ishorasi bor: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, shuning uchun markaz $C(3; -5)$ bo'ladi.

3. Aylana tenglamasining o'ng tomonidagi sonni radius deb hisoblash. ✗ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 36$ aylananing radiusi $R = 36$ deb o'ylash. ✓ Tenglamaning o'ng tomonida radiusning kvadrati turadi: $R^2 = 36 \implies R = 6$.

4. Ikki nuqta orasidagi masofada koordinatalar ayirmasi o'rniga yig'indisini olish. ✗ $d = \sqrt{(x_2 + x_1)^2 + (y_2 + y_1)^2}$ deb hisoblash. ✓ Har doim koordinatalar ayirmasining kvadrati olinadi: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Biz tekislikda ikki nuqta orasidagi masofani, kesma o'rtasini va aylana tenglamasini tahlil qilishni o'rgandik. Keyingi darsda tekislikdagi eng muhim chiziq — to'g'ri chiziq tenglamasi, uning burchak koeffitsiyenti hamda to'g'ri chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlarini batafsil ko'rib chiqamiz.