To'g'ri chiziq tenglamasi

Bu nima va nega kerak

7-sinfda chiziqli funksiya grafigi to'g'ri chiziq ekanini ko'rgan edik. Ammo vertikal to'g'ri chiziqlar ($x = c$) funksiya hosil qilmaydi, chunki bitta argumentga cheksiz ko'p qiymat mos keladi.

Shu sababli geometriyada har qanday to'g'ri chiziqni (gorizontal, qiya va vertikal) ifodalovchi universal algebraik shakl — to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi qo'llaniladi. Uning yordamida chiziqlarning parallelligi, perpendikulyarligi va ular orasidagi masofalar oson hisoblanadi.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

1. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi

Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi darajali umumiy tenglama bilan ifodalanadi:

[!IMPORTANT] Umumiy tenglama: $Ax + By + C = 0 \quad (A^2 + B^2 \neq 0)$

• $B \neq 0$ bo'lsa: $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$, ya'ni $y = kx + b$;
• $B = 0$ bo'lsa: $x = -\frac{C}{A}$ — $Oy$ o'qiga parallel vertikal to'g'ri chiziq;
• $A = 0$ bo'lsa: $y = -\frac{C}{B}$ — $Ox$ o'qiga parallel gorizontal to'g'ri chiziq.

2. Burchak koeffitsiyentli tenglama

Vertikal bo'lmagan to'g'ri chiziq tenglamasi: $y = kx + b$

• $k = \operatorname{tg} \alpha$ — burchak koeffitsiyenti ($Ox$ o'qining musbat yo'nalishi bilan hosil qilgan burchak tangensi).
• $b$ — to'g'ri chiziqning $Oy$ o'qini kesib o'tish nuqtasi ordinatasi: $(0; b)$.
• $A(x_1; y_1)$ va $B(x_2; y_2)$ nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq uchun: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$

3. Berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq

• Burchak koeffitsiyenti $k$ va nuqtasi $M(x_0; y_0)$ berilganda: $y - y_0 = k(x - x_0).$
• Berilgan ikki $A(x_1; y_1)$ va $B(x_2; y_2)$ nuqtadan o'tganda: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}.$

4. Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro joylashuvi

$y = k_1 x + b_1$ va $y = k_2 x + b_2$ to'g'ri chiziqlar uchun:

[!IMPORTANT] Parallellik va perpendikulyarlik shartlari:

1. Parallellik: $k_1 = k_2$ va $b_1 \neq b_2$;
2. Perpendikulyarlik: $k_1 \cdot k_2 = -1 \iff k_2 = -\frac{1}{k_1}$.

Umumiy ko'rinishdagi $A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$ va $A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$ uchun:

• Parallellik: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$;
• Perpendikulyarlik: $A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$.

5. Nuqtadan to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofa

[!IMPORTANT] $M(x_0; y_0)$ nuqtadan $Ax + By + C = 0$ to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofa: $d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

---

Yechilgan misollar

1-misol. Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq

$A(-1; 3)$ va $B(2; -3)$ nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.

• Burchak koeffitsiyenti: $k = \frac{-3 - 3}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2.$
• Nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq formulasidan: $y - 3 = -2(x - (-1)) \implies y - 3 = -2x - 2 \implies 2x + y - 1 = 0.$

Javob: $2x + y - 1 = 0$.

2-misol. Parallel to'g'ri chiziq

$4x - 2y + 7 = 0$ to'g'ri chiziqqa parallel bo'lib, $P(1; -2)$ nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini toping.

• Burchak koeffitsiyenti: $2y = 4x + 7 \implies y = 2x + 3{,}5 \implies k = 2$.
• Parallel bo'lgani sababli izlanayotgan chiziq uchun ham $k = 2$.
• $P(1; -2)$ nuqta orqali tenglamani yozamiz: $y - (-2) = 2(x - 1) \implies y + 2 = 2x - 2 \implies 2x - y - 4 = 0.$

Javob: $2x - y - 4 = 0$.

3-misol. Perpendikulyar to'g'ri chiziq

$A(3; 1)$ nuqtadan $y = 3x - 4$ to'g'ri chiziqqa perpendikulyar to'g'ri chiziq tenglamasini toping.

• $k_1 = 3$. Perpendikulyarlik shartidan: $k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{3}$.
• $A(3; 1)$ nuqta orqali yozamiz: $y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 3) \implies 3(y - 1) = -x + 3 \implies x + 3y - 6 = 0.$

Javob: $x + 3y - 6 = 0$.

4-misol. Nuqtadan to'g'ri chiziqqacha masofa

$A(2; 5)$ nuqtadan $3x - 4y + 4 = 0$ to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofani hisoblang.

• Masofa formulasidan foydalanamiz: $d = \frac{|3 \cdot 2 + (-4) \cdot 5 + 4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2.$

Javob: $2$.

---

Mashq

1. $M(2; 1)$ va $N(4; 5)$ nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqning burchak koeffitsiyentini toping.
2. $A(0; 4)$ va $B(3; 1)$ nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.
3. $y = 5x - 2$ to'g'ri chiziqqa parallel bo'lib, $C(2; 3)$ nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing.
4. $y = 4x + 1$ to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziqning burchak koeffitsiyentini toping.
5. $3x + 2y - 6 = 0$ to'g'ri chiziqning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini aniqlang.
6. $x - 2y + 4 = 0$ va $2x + y - 7 = 0$ to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasi koordinatalarini toping.
7. $A(2; -1)$ nuqtadan $6x + 8y - 14 = 0$ to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofani hisoblang.
8. $a$ ning qanday qiymatida $ax + 2y - 5 = 0$ va $4x - y + 1 = 0$ to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi?
9. $m$ ning qanday qiymatida $3x + my - 7 = 0$ va $2x - 6y + 1 = 0$ to'g'ri chiziqlar o'zaro perpendikulyar bo'ladi?
10. Uchlari $A(1; 1)$, $B(4; 5)$ va $C(4; 1)$ bo'lgan uchburchakning $AB$ tomoni tenglamasini tuzing.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $k = \frac{5 - 1}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$. Javob: $2$.
2. $k = \frac{1 - 4}{3 - 0} = -1$. $y - 4 = -1(x - 0) \implies x + y - 4 = 0$. Javob: $x + y - 4 = 0$.
3. $k = 5$. $y - 3 = 5(x - 2) \implies y = 5x - 7$. Javob: $y = 5x - 7$.
4. $k_1 \cdot k_2 = -1 \implies 4 \cdot k_2 = -1 \implies k_2 = -\frac{1}{4} = -0{,}25$. Javob: $-\frac{1}{4}$.
5. $x = 0 \implies 2y = 6 \implies y = 3$, ya'ni $(0; 3)$. $y = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2$, ya'ni $(2; 0)$. Javob: $(0; 3)$ va $(2; 0)$.
6. Birinchi tenglamadan $x = 2y - 4$. Ikkinchisiga qo'ysak: $2(2y - 4) + y - 7 = 0 \implies 5y = 15 \implies y = 3, x = 2$. Javob: $(2; 3)$.
7. $d = \frac{|6(2) + 8(-1) - 14|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|12 - 8 - 14|}{10} = \frac{|-10|}{10} = 1$. Javob: $1$.
8. Parallellik sharti: $\frac{a}{4} = \frac{2}{-1} \implies a = -8$. Javob: $-8$.
9. Perpendikulyarlik sharti: $A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0 \implies 3 \cdot 2 + m \cdot (-6) = 0 \implies 6 - 6m = 0 \implies m = 1$. Javob: $1$.
10. $k = \frac{5 - 1}{4 - 1} = \frac{4}{3}$. $y - 1 = \frac{4}{3}(x - 1) \implies 4x - 3y - 1 = 0$. Javob: $4x - 3y - 1 = 0$.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Burchak koeffitsiyentida koordinatalar o'rnini adashtirish. ✗ $k = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ deb hisoblash. ✓ Burchak koeffitsiyenti $y$ ning o'zgarishini $x$ ning o'zgarishiga nisbati: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

2. Perpendikulyarlik shartida minus ishorasini unutish. ✗ $k_1 \cdot k_2 = 1$ deb hisoblab, xato xulosa chiqarish. ✓ Ikki to'g'ri chiziq perpendikulyar bo'lishi uchun ularning koeffitsiyentlari ko'paytmasi $-1$ ga teng bo'lishi shart: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

3. Umumiy ko'rinishdan burchak koeffitsiyentini noto'g'ri topish. ✗ $Ax + By + C = 0$ da $k = A$ deb olish. ✓ $By = -Ax - C \implies y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$, demak $k = -\frac{A}{B}$.

4. Masofa formulasida maxrajda ildizni unutish. ✗ $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{A^2 + B^2}$ deb hisoblash. ✓ Maxrajda kvadrat ildiz bo'lishi shart: $\sqrt{A^2 + B^2}$.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Biz 9-sinf geometriyasining "Vektorlar va koordinatalar" bo'limini to'liq yakunladik. Bu bilimlar 10-sinfda fazoviy geometriya (stereometriya) va fazodagi koordinatalarni o'rganishda mustahkam poydevor bo'ladi.