Vektor va uning amallari

Bu nima va nega kerak

Massasi $5\text{ kg}$ yoki uzunligi $10\text{ m}$ bo'lgan jismni ifodalash uchun faqat bitta son kifoya — bu skalyar miqdordir. Ammo samolyot parvozi, shamol tezligi yoki jismga ta'sir qiluvchi kuchni faqat bitta son bilan ifodalab bo'lmaydi. Harakat qayerga yo'nalganini ham bilish shart.

Son qiymati (uzunligi) va yo'nalishi bilan aniqlanadigan miqdor vektor deb ataladi. Vektorlar mexanika, aeronavtika, 3D kompyuter grafikasi va geometrik teoremalarni isbotlashda eng qulay vositadir.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

1. Vektor, nol vektor va uzunlik

Boshlang'ich va oxirgi nuqtasi ko'rsatilgan yo'naltirilgan kesmaga vektor deyiladi ($\vec{AB}$ yoki $\vec{a}$).

• Kesma uzunligi vektorning uzunligi (moduli) deyiladi va $|\vec{AB}|$ yoki $|\vec{a}|$ deb belgilanadi.
• Boshi va oxiri ustma-ust tushgan vektor nol vektor deyiladi: $\vec{0}$. Uning uzunligi $0$ ga teng.

2. Vektorlarning turlari

• Kolliniar vektorlar: Bitta to'g'ri chiziqda yoki parallel to'g'ri chiziqlarda yotuvchi vektorlar. Ular yo'nalishdosh ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$) yoki qarama-qarshi yo'nalgan ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$) bo'ladi.
• Teng vektorlar: Yo'nalishi bir xil va uzunliklari teng vektorlar: $\vec{a} = \vec{b}$.
• Qarama-qarshi vektorlar: Uzunliklari teng, yo'nalishlari qarama-qarshi vektorlar: $-\vec{a}$.

3. Vektorlar ustida geometrik amallar

1. Uchburchak qoidasi: $\vec{a}$ ning oxiriga $\vec{b}$ ning boshi qo'yilganda: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
2. Parallelogramm qoidasi: Umumiy $A$ nuqtadan chiquvchi $\vec{AB}$ va $\vec{AD}$ vektorlar uchun diagonal $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
3. Vektorlarni ayirish: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
4. Songa ko'paytirish: $k\vec{a}$ vektorning moduli $|k| \cdot |\vec{a}|$ bo'lib, $k > 0$ da $\vec{a}$ bilan bir xil, $k < 0$ da qarama-qarshi yo'naladi.

4. Vektor koordinatalari va amallar

Tekislikda $A(x_1; y_1)$ va $B(x_2; y_2)$ nuqtalar berilgan bo'lsin.

[!IMPORTANT] Vektor koordinatasi: Oxirgi nuqtaning koordinatalaridan boshlang'ich nuqtanikini ayirish orqali topiladi: $\vec{AB} = (x_2 - x_1;\, y_2 - y_1).$

Agar $\vec{a} = (x_1; y_1)$ va $\vec{b} = (x_2; y_2)$ bo'lsa:

• Yig'indi va ayirma: $\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2;\, y_1 \pm y_2)$;
• Songa ko'paytirish: $k\vec{a} = (kx_1;\, ky_1)$;
• Vektor uzunligi (moduli): $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$;
• Kolliniarlik sharti: $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} = k$.

5. Skalyar ko'paytma

[!IMPORTANT] Ta'rif. Vektorlarning modullari va ular orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasi skalyar ko'paytma deyiladi: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \varphi = x_1 x_2 + y_1 y_2.$

• Burchak kosinusi: $\cos \varphi = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}.$
• Perpendikulyarlik sharti: $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0.$

---

Yechilgan misollar

1-misol. Vektor koordinatalari va uzunligi

$A(-2; 5)$ va $B(2; 2)$ nuqtalar berilgan. $\vec{AB}$ vektor koordinatalarini va uning uzunligini toping.

• Koordinatalarni hisoblaymiz: $x = 2 - (-2) = 4, \quad y = 2 - 5 = -3.$ Demak, $\vec{AB} = (4; -3)$.
• Uzunligini hisoblaymiz: $|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.$

Javob: $\vec{AB} = (4; -3)$, $|\vec{AB}| = 5$.

2-misol. Vektorlar ustida chiziqli amallar

$\vec{a} = (3; -1)$ va $\vec{b} = (-2; 4)$ berilgan. $\vec{c} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ vektorning koordinatalarini toping.

• Vektorlarni songa ko'paytiramiz: $2\vec{a} = (2 \cdot 3;\, 2 \cdot (-1)) = (6; -2),$ $3\vec{b} = (3 \cdot (-2);\, 3 \cdot 4) = (-6; 12).$
• Qo'shamiz: $\vec{c} = (6 + (-6);\, -2 + 12) = (0; 10).$

Javob: $(0; 10)$.

3-misol. Kolliniarlik sharti

$\vec{u} = (k; -8)$ va $\vec{v} = (3; 12)$ vektorlar kolliniar bo'lsa, $k$ ni toping.

• Koordinatalar proporsionalligidan foydalanamiz: $\frac{k}{3} = \frac{-8}{12}.$
• Kasrni qisqartirib, $k$ ni topamiz: $\frac{k}{3} = -\frac{2}{3} \implies k = -2.$

Javob: $k = -2$.

4-misol. Skalyar ko'paytma va burchak

$\vec{a} = (1; 2)$ va $\vec{b} = (3; 1)$ vektorlar orasidagi burchak $\varphi$ ni hisoblang.

• Skalyar ko'paytmani hisoblaymiz: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 5.$
• Modullarni topamiz: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$
• Kosinusni hisoblaymiz: $\cos \varphi = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
• $\cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}$ bo'lgani sababli $\varphi = 45^\circ$.

Javob: $45^\circ$.

---

Mashq

1. $A(1; 2)$ va $B(4; 6)$ nuqtalar berilgan. $\vec{AB}$ vektorning koordinatalari va modulini toping.
2. $\vec{a} = (-6; 8)$ vektorning modulini hisoblang.
3. $\vec{a} = (4; -3)$ va $\vec{b} = (2; 5)$ berilgan. $\vec{a} + \vec{b}$ va $\vec{a} - \vec{b}$ ni hisoblang.
4. $\vec{p} = (2; -1)$ va $\vec{q} = (1; 3)$ bo'lsa, $3\vec{p} - 2\vec{q}$ koordinatalarini toping.
5. $\vec{a} = (3; x)$ va $\vec{b} = (6; 10)$ kolliniar bo'lsa, $x$ ni toping.
6. $\vec{a} = (3; 4)$ va $\vec{b} = (4; -3)$ vektorlarning skalyar ko'paytmasini toping.
7. $\vec{u} = (2; 3)$ va $\vec{v} = (4; 1)$ vektorlarning skalyar ko'paytmasini hisoblang.
8. $x$ ning qanday qiymatida $\vec{a} = (x; 6)$ va $\vec{b} = (4; -2)$ vektorlar o'zaro perpendikulyar bo'ladi?
9. Modullari $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 5$ va burchagi $60^\circ$ bo'lgan vektorlarning skalyar ko'paytmasini toping.
10. $A(2; 1)$, $B(5; 5)$ va $C(9; 8)$ nuqtalar uchun $\vec{AB} + \vec{BC}$ yig'indini $\vec{AC}$ bilan solishtiring.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $\vec{AB} = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$. Moduli: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Javob: $(3; 4)$, moduli $5$.
2. $|\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$. Javob: $10$.
3. $\vec{a} + \vec{b} = (4 + 2; -3 + 5) = (6; 2)$. $\vec{a} - \vec{b} = (4 - 2; -3 - 5) = (2; -8)$. Javob: $(6; 2)$ va $(2; -8)$.
4. $3\vec{p} = (6; -3)$, $2\vec{q} = (2; 6)$. Ayirma: $(6 - 2; -3 - 6) = (4; -9)$. Javob: $(4; -9)$.
5. Proporsiya: $\frac{3}{6} = \frac{x}{10} \implies \frac{1}{2} = \frac{x}{10} \implies x = 5$. Javob: $5$.
6. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0$. Javob: $0$.
7. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 8 + 3 = 11$. Javob: $11$.
8. Perpendikulyarlik sharti: $4x + 6 \cdot (-2) = 0 \implies 4x = 12 \implies x = 3$. Javob: $3$.
9. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 30 \cdot 0{,}5 = 15$. Javob: $15$.
10. $\vec{AB} = (3; 4)$, $\vec{BC} = (4; 3)$. Yig'indi: $(3 + 4; 4 + 3) = (7; 7)$. $\vec{AC} = (9 - 2; 8 - 1) = (7; 7)$. Ular teng: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Javob: $(7; 7)$, teng.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Vektor koordinatalarini topishda boshidan oxirini ayirib yuborish. ✗ $\vec{AB} = (x_A - x_B; y_A - y_B)$ deb yozish. ✓ Vektor koordinatasi oxirgi nuqtadan boshlang'ich nuqtani ayirish bilan topiladi: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

2. Skalyar ko'paytmani vektor ko'rinishida yozish. ✗ $\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_1 x_2; y_1 y_2)$ deb hisoblash. ✓ Skalyar ko'paytma vektor emas, balki haqiqiy son bo'ladi: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

3. Manfiy koordinataning kvadratini manfiy hisoblash. ✗ $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 - 9}$ deb yanglishish. ✓ Manfiy sonning kvadrati doim musbat: $(-3)^2 = 9$, shu sababli $\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

4. Kolliniarlik va perpendikulyarlik shartlarini adashtirish. ✗ Perpendikulyar bo'lishi uchun koordinatalar nisbati teng deb olish. ✓ Koordinatalar proporsionalligi — kolliniarlik sharti; skalyar ko'paytmaning nolga tengligi — perpendikulyarlik shartidir.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Biz vektorlar va ular ustida amallarni o'rgandik. Keyingi darsda ushbu analitik yondashuvni geometrik shakllarga qo'llaymiz — koordinatalar metodi orqali kesma o'rtasi, ikki nuqta orasidagi masofa va aylana tenglamasini o'rganamiz.