Ratsional va haqiqiy sonlar

Bu nima va nega kerak

Sanoq uchun natural sonlar ($\mathbb{N}$), qarama-qarshi qiymatlar uchun butun sonlar ($\mathbb{Z}$) va bo'laklarni ifodalash uchun kasr sonlar ($\mathbb{Q}$) yetarli tuyulardi.

Biroq tomoni $1$ ga teng kvadratning diagonali $\sqrt{2}$ ga teng bo'lib, uni hech qanday $\dfrac{m}{n}$ ratsional nisbat shaklida yozib bo'lmasligi isbotlangan. Uzluksiz sonlar o'qidagi nuqtalarni to'liq qoplash uchun yangi sonlar — irratsional sonlar kiritildi.

Ratsional va irratsional sonlar birgalikda matematik tahlil asosi bo'lgan haqiqiy sonlar to'plamini tashkil etadi.

Asosiy g'oya

1. Sonlar to'plamlari

Sonlar to'plamlari iyerarxiyasi:

• Natural sonlar: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.
• Butun sonlar: $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$.
• Ratsional sonlar: $\mathbb{Q} = \left\{\dfrac{m}{n} \;\middle|\; m \in \mathbb{Z}, \; n \in \mathbb{N}\right\}$.
• Haqiqiy sonlar: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ (barcha ratsional va irratsional sonlar).

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.$

2. Cheksiz davriy o'nli kasrlar

Har qanday ratsional son chekli yoki cheksiz davriy o'nli kasr ko'rinishida ifodalanadi.

• Sof davriy o'nli kasr: Davr verguldan keyin darhol boshlanadi: $0{,}(a) = \frac{a}{9}, \qquad 0{,}(ab) = \frac{ab}{99}.$ Masalan: $0{,}(45) = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$.

• Aralash davriy o'nli kasr: Vergul bilan davr orasida raqamlar bo'ladi: $0{,}a(b) = \frac{ab - a}{90}, \qquad 0{,}ab(c) = \frac{abc - ab}{900}.$ Masalan: $0{,}2(6) = \dfrac{26 - 2}{90} = \dfrac{24}{90} = \dfrac{4}{15}$.

3. Irratsional sonlar ($\mathbb{I}$)

Cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlar irratsional sonlar deyiladi. Ularni $\dfrac{m}{n}$ ko'rinishida yozib bo'lmaydi.

Misollar:

• Ildizdan butun chiqmaydigan sonlar: $\sqrt{2} \approx 1{,}4142\dots$, $\sqrt{3} \approx 1{,}7320\dots$, $\sqrt{5}$.
• Matematik doimiylar: $\pi \approx 3{,}14159\dots$, $e \approx 2{,}71828\dots$.

4. Haqiqiy sonlar to'g'ri chizig'i

Haqiqiy sonlar to'plami uzluksizdir: sonlar o'qidagi har bir nuqtaga aniq bitta haqiqiy son mos keladi va aksincha. Ratsional sonlar sonlar o'qida zich joylashgan bo'lsa-da, irratsional sonlar ularning orasidagi barcha bo'shliqlarni to'ldiradi.

Yechilgan misollar

1-misol. Davriy kasrlarni oddiy kasrga aylantirish

Quyidagi sonlarni oddiy kasrga aylantiring: a) $0{,}(36)$ b) $1{,}4(18)$

Yechilishi:

a) Sof davriy kasr: $0{,}(36) = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}.$

b) Aralash davriy kasr: $1{,}4(18) = 1 + \frac{418 - 4}{990} = 1 + \frac{414}{990} = 1 + \frac{23}{55} = \frac{78}{55}.$

Javob: a) $\dfrac{4}{11}$; b) $\dfrac{78}{55}$.

2-misol. Davriy kasrlar ustida amallar

Hisoblang: $M = \frac{0{,}(4) + 0{,}1(6)}{0{,}(7) - 0{,}2(2)}$

Yechilishi:

1. Oddiy kasrlarga o'tamiz:

   • $0{,}(4) = \dfrac{4}{9}$;
   • $0{,}1(6) = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$;
   • $0{,}(7) = \dfrac{7}{9}$;
   • $0{,}2(2) = \dfrac{22 - 2}{90} = \dfrac{20}{90} = \dfrac{2}{9}$.

2. Surat: $\dfrac{4}{9} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{8 + 3}{18} = \dfrac{11}{18}$.

3. Maxraj: $\dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{9}$.

4. Nisbat: $M = \dfrac{11}{18} : \dfrac{5}{9} = \dfrac{11}{18} \cdot \dfrac{9}{5} = \dfrac{11}{10} = 1{,}1$.

Javob: $1{,}1$.

3-misol. $\sqrt{2}$ ning irratsionalligi

$\sqrt{2}$ soni ratsional emasligini isbotlang.

Yechilishi: Teskari faraz qilamiz: $\sqrt{2} = \dfrac{m}{n}$ bo'lsin ($m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$, qisqarmas kasr). Kvadratga oshiramiz: $2 = \dfrac{m^2}{n^2} \implies m^2 = 2n^2$. Bundan $m^2$ juft, demak $m$ ham juft: $m = 2k$. O'rniga qo'yamiz: $(2k)^2 = 2n^2 \implies 4k^2 = 2n^2 \implies n^2 = 2k^2$. Bundan $n$ ham juft bo'lib chiqadi. Natijada $m$ va $n$ ikkalasi ham $2$ ga bo'linadi, bu esa kasr qisqarmas degan shartga ziddir. Demak, $\sqrt{2}$ — irratsional son.

4-misol. Sonlarni taqqoslash

Sonlarni o'sish tartibida joylashtiring: $a = \sqrt{7}, \quad b = 2{,}6, \quad c = 2{,}(6), \quad d = \frac{8}{3}.$

Yechilishi:

• $b = 2{,}6000\dots$
• $c = 2{,}6666\dots$ va $d = \dfrac{8}{3} = 2{,}(6)$, demak $c = d$.
• $2{,}6^2 = 6{,}76 < 7 < 7{,}0225 = 2{,}65^2 \implies 2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}65$.
• Demaz, $2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}(6)$.

Javob: $b < a < c = d$.

Mashq

1. $0{,}(54)$ sof davriy kasrni oddiy kasrga aylantiring.
2. $0{,}7(3)$ aralash davriy kasrni oddiy kasrga aylantiring.
3. $3{,}2(45)$ sonini oddiy kasr ko'rinishida ifodalang.
4. Ifodani hisoblang: $0{,}(7) + 1{,}(2) - 0{,}(4)$.
5. Bo'lishni bajaring: $0{,}4(6) : 0{,}(7)$.
6. Berilgan sonlardan irratsional bo'lganlarini ajrating: $\left\{ -5; \; \sqrt{9}; \; \frac{22}{7}; \; \sqrt{12}; \; 0{,}101001\dots; \; 4{,}3(5); \; \pi \right\}.$
7. $\sqrt{31}$ soni qaysi ikkita ketma-ket butun son orasida joylashgan?
8. Yig'indini hisoblang: $S = 0{,}(1) + 0{,}(2) + 0{,}(3) + \dots + 0{,}(8)$.
9. $\sqrt{2}$ va $\sqrt{3}$ orasida yotuvchi bitta ratsional son toping.
10. Soddalashtiring: $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2}$.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $0{,}(54) = \dfrac{54}{99} = \dfrac{6}{11}$. Javob: $\dfrac{6}{11}$.

2. $0{,}7(3) = \dfrac{73 - 7}{90} = \dfrac{66}{90} = \dfrac{11}{15}$. Javob: $\dfrac{11}{15}$.

3. $3{,}2(45) = 3 + \dfrac{245 - 2}{990} = 3 + \dfrac{243}{990} = 3 + \dfrac{27}{110} = \dfrac{357}{110}$. Javob: $\dfrac{357}{110}$.

4. $\dfrac{7}{9} + \dfrac{11}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{14}{9} = 1\dfrac{5}{9}$. Javob: $\dfrac{14}{9}$.

5. $0{,}4(6) = \dfrac{42}{90} = \dfrac{7}{15}$, $0{,}(7) = \dfrac{7}{9}$. $\dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{9}{7} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$. Javob: $0{,}6$.

6. Irratsional sonlar: $\sqrt{12}$, $0{,}101001\dots$ (davriy bo'lmagan), $\pi$. Qolganlari ratsional. Javob: $\sqrt{12}$, $0{,}101001\dots$, $\pi$.

7. $25 < 31 < 36 \implies 5 < \sqrt{31} < 6$. Javob: $5$ va $6$.

8. $S = \dfrac{1 + 2 + \dots + 8}{9} = \dfrac{36}{9} = 4$. Javob: $4$.

9. $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ va $\sqrt{3} \approx 1{,}732$. Masalan, $1{,}5 = \dfrac{3}{2}$. Javob: $1{,}5$.

10. $\sqrt{a^2} = |a|$. $|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$, $|3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}$. $(\sqrt{5} - 2) + (3 - \sqrt{5}) = 1$. Javob: $1$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Aralash davriy kasr maxrajida 9 va 0 lar sonini adashtirish. ✗ $0{,}2(5) = \dfrac{25 - 2}{99}$ deb yozish. ✓ Davrda bitta raqam, davrgacha bitta raqam bor, shuning uchun maxrajga $90$ yoziladi: $0{,}2(5) = \dfrac{23}{90}$.

2. $\pi$ sonini $\dfrac{22}{7}$ ga teng deb ratsional hisoblash. ✗ $\pi = \dfrac{22}{7} \in \mathbb{Q}$. ✓ $\dfrac{22}{7}$ taqribiy qiymat xolos. $\pi$ soni cheksiz nodavriy o'nli kasr, ya'ni qat'iy irratsional sondir.

3. Ildizdan chiqarishda modulni unutish. ✗ $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = 2 - \sqrt{5}$. ✓ Har doim $\sqrt{a^2} = |a|$. Chunki $2 - \sqrt{5} < 0$, natija $|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2 > 0$ bo'ladi.

4. Cheksiz o'nli kasrning barchasini irratsional deb o'ylash. ✗ Barcha cheksiz o'nli kasrlar irratsional. ✓ Cheksiz davriy kasrlar doimo ratsionaldir (masalan $0{,}(3) = \dfrac{1}{3}$). Faqat nodavriy kasrlar irratsional bo'ladi.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Ratsional va haqiqiy sonlar to'plamini tizimlashtirdik. Keyingi darsda sonlar o'qida masofani ifodalovchi eng muhim tushuncha — sonning moduli, modulli tenglama va tengsizliklarni ko'rib chiqamiz.