Vatar va urinma

Bu nima va nega kerak

Velosiped g'ildiragi tekis yo'lda harakatlanganda, har bir lahzada yer yuzasi bilan bitta umumiy nuqtada tegib turadi. Bu to'g'ri chiziq aylanaga nisbatan urinma bo'ladi. G'ildirak markazidan tayanch nuqtasiga o'tkazilgan radius doimo yo'l sathiga perpendikulyar ($90^\circ$) bo'ladi.

Aylana bilan to'g'ri chiziq uch xil holatda bo'lishi mumkin:

1. Kesishmaydi (masofa radiusdan katta: $d > R$);
2. Bitta umumiy nuqtaga ega — urinma ($d = R$);
3. Ikkita umumiy nuqtada kesishadi — kesuvchi ($d < R$). Kesuvchining aylana ichidagi qismi vatar deyiladi.

Ushbu darsda vatar va urinmaning asosiy xossalari hamda ular hosil qiladigan metrik munosabatlarni ko'rib chiqamiz.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

       T (urinish nuqtasi)
        \
         \    O (markaz)
          \  /|
           \/ | d (masofa)
           /\ |
          /  \|
         P    A---M---B (vatar)

1. Vatar va markazdan masofa

[!IMPORTANT] Teorema. Aylana markazidan vatarga tushirilgan perpendikulyar vatarni va unga tiralgan yoyni teng ikkiga bo'ladi: $OM \perp AB \implies AM = MB = \frac{AB}{2}$

$\triangle OMA$ to'g'ri burchakli uchburchagidan Pifagor teoremasi bo'yicha: $R^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2$ bu yerda $R$ — radius, $d = OM$ — markazdan vatargacha masofa.

• Teng vatarlar markazdan bir xil masofada yotadi.
• Vatar uzunroq bo'lsa, u markazga yaqinroq bo'ladi. Eng katta vatar — diametrdir.

2. Urinmaning xossalari

[!IMPORTANT] Urinma xossasi. Aylananing urinmasi urinish nuqtasiga o'tkazilgan radiusga perpendikulyardir: $OT \perp l$.

[!IMPORTANT] Bitta nuqtadan o'tkazilgan urinmalar. Aylana tashqarisidagi bitta nuqtadan o'tkazilgan ikki urinma kesmalari o'zaro tengdir: $PA = PB$ $PO$ kesma esa urinmalar orasidagi burchak bissektrisasi bo'ladi.

3. Vatar va urinma orasidagi burchak

Urinma va urinish nuqtasidan o'tkazilgan vatar orasidagi burchak shu vatar tortib turgan yoyning yarmiga teng: $\angle PTB = \frac{1}{2} \cup TB$

4. Metrik munosabatlar

1. Kesishuvchi vatarlar teoremasi: $AB$ va $CD$ vatarlar aylana ichidagi $M$ nuqtada kesishsa: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$

2. Urinma va kesuvchi teoremasi: $P$ nuqtadan $PT$ urinma va $PAB$ kesuvchi o'tkazilsa: $PT^2 = PA \cdot PB$ (bu yerda $PA$ — tashqi kesma, $PB$ — to'liq kesuvchi).

3. Ikki kesuvchi teoremasi: $P$ nuqtadan $PAB$ va $PCD$ kesuvchilar o'tkazilsa: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$

---

Yechilgan misollar

1-misol. Markazdan vatargacha masofa

Radiusi $10\text{ sm}$ bo'lgan aylanada uzunligi $16\text{ sm}$ li vatar o'tkazilgan. Markazdan bu vatargacha masofani toping.

• Markazdan tushirilgan perpendikulyar vatarni teng ikkiga bo'ladi: $AM = 16 : 2 = 8\text{ sm}$
• Pifagor teoremasiga ko'ra: $d = \sqrt{R^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\text{ sm}$

Javob: $6\text{ sm}$.

2-misol. Tashqi nuqtadan urinma

Aylana tashqarisidagi $P$ nuqtadan markazgacha masofa $25\text{ sm}$, radius esa $7\text{ sm}$. $P$ nuqtadan o'tkazilgan urinma kesmasini toping.

• Urinma radiusga perpendikulyar bo'lgani uchun: $PT = \sqrt{PO^2 - OT^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24\text{ sm}$

Javob: $24\text{ sm}$.

3-misol. Kesishuvchi vatarlar

$AB$ va $CD$ vatarlar $M$ nuqtada kesishadi. $AM = 6\text{ sm}$, $MB = 4\text{ sm}$, $CM = 8\text{ sm}$. $MD$ kesma va $CD$ vatar uzunligini toping.

• Teoremaga ko'ra: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.
• $6 \cdot 4 = 8 \cdot MD \implies 24 = 8 \cdot MD \implies MD = 3\text{ sm}$.
• Butun vatar: $CD = CM + MD = 8 + 3 = 11\text{ sm}$.

Javob: $MD = 3\text{ sm}$, $CD = 11\text{ sm}$.

4-misol. Urinma va kesuvchi

$P$ nuqtadan $PT$ urinma va $PAB$ kesuvchi o'tkazilgan. $PT = 10\text{ sm}$, tashqi kesma $PA = 5\text{ sm}$. Ichki kesma $AB$ uzunligini toping.

• Teoremaga ko'ra: $PT^2 = PA \cdot PB$.
• $10^2 = 5 \cdot PB \implies 100 = 5 \cdot PB \implies PB = 20\text{ sm}$.
• $AB = PB - PA = 20 - 5 = 15\text{ sm}$.

Javob: $15\text{ sm}$.

---

Mashq

1. Aylananing radiusi $10\text{ sm}$. Markazdan $8\text{ sm}$ uzoqlikdagi vatar uzunligini toping.
2. Radiusi $15\text{ sm}$ bo'lgan aylanada uzunligi $24\text{ sm}$ li vatar o'tkazilgan. Markazdan vatargacha masofani hisoblang.
3. Aylana tashqarisidagi nuqtadan markazgacha masofa $26\text{ sm}$, radiusi $10\text{ sm}$. O'tkazilgan urinma kesmasini toping.
4. $P$ nuqtadan aylanaga o'tkazilgan ikki urinma orasidagi burchak $60^\circ$, urinma kesmasi $6\sqrt{3}\text{ sm}$. Radiusni va markazgacha masofani toping.
5. $AB$ va $CD$ vatarlar $M$ nuqtada kesishadi. $AM = 9\text{ sm}$, $MB = 4\text{ sm}$ va $CM = MD$ bo'lsa, $CD$ vatar uzunligini toping.
6. Aylanaga $PT$ urinma va $PAB$ kesuvchi o'tkazilgan. $PT = 12\text{ sm}$, $PA = 8\text{ sm}$. $AB$ kesma uzunligini toping.
7. $P$ nuqtadan ikkita $PAB$ va $PCD$ kesuvchi o'tkazilgan. $PA = 3\text{ sm}$, $AB = 9\text{ sm}$, $PC = 4\text{ sm}$. $CD$ kesmani toping.
8. Urinma va urinish nuqtasidan o'tkazilgan vatar orasidagi burchak $35^\circ$. Shu vatar tortib turgan kichik yoyni toping.
9. Aylanada ikkita teng vatar o'tkazilgan: $AB = CD = 16\text{ sm}$. Biri markazdan $6\text{ sm}$ uzoqlikda bo'lsa, ikkinchisi markazdan qanday masofada joylashgan?
10. Diametrga perpendikulyar vatar diametrni $4\text{ sm}$ va $9\text{ sm}$ li kesmalarga ajratadi. Shu vatar uzunligini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. Yarim vatar: $\sqrt{10^2 - 8^2} = 6\text{ sm}$. Vatar: $2 \cdot 6 = 12\text{ sm}$. Javob: $12\text{ sm}$.
2. Yarim vatar: $12\text{ sm}$. Masofa: $d = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9\text{ sm}$. Javob: $9\text{ sm}$.
3. $PT = \sqrt{26^2 - 10^2} = 24\text{ sm}$. Javob: $24\text{ sm}$.
4. Bissektrisa burchagi $30^\circ$. $r = 6\sqrt{3} \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 6\text{ sm}$. Masofa: $PO = \frac{6}{\sin 30^\circ} = 12\text{ sm}$. Javob: $r = 6\text{ sm}$, masofa $12\text{ sm}$.
5. $CM^2 = 9 \cdot 4 = 36 \implies CM = 6\text{ sm}$. $CD = 12\text{ sm}$. Javob: $12\text{ sm}$.
6. $PB = \frac{144}{8} = 18\text{ sm}$. $AB = 18 - 8 = 10\text{ sm}$. Javob: $10\text{ sm}$.
7. $PB = 3 + 9 = 12\text{ sm}$. $4 \cdot PD = 3 \cdot 12 = 36 \implies PD = 9\text{ sm}$. $CD = 9 - 4 = 5\text{ sm}$. Javob: $5\text{ sm}$.
8. Yoy: $2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$. Javob: $70^\circ$.
9. Teng vatarlar markazdan teng masofada yotadi: $6\text{ sm}$. Javob: $6\text{ sm}$.
10. Yarim vatar: $\sqrt{4 \cdot 9} = 6\text{ sm}$. To'liq vatar: $12\text{ sm}$. Javob: $12\text{ sm}$.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Urinma va kesuvchi formulasida ichki kesmani ko'paytirish. ✗ $PT^2 = PA \cdot AB$ deb yozish. ✓ Formula to'liq kesuvchi bilan yoziladi: $PT^2 = PA \cdot PB$, bu yerda $PB = PA + AB$.

2. Vatargacha masofani hisoblashda vatar yarmini olmaslik. ✗ Pifagorga to'g'ridan-to'g'ri butun vatarni qo'yish: $R^2 = d^2 + AB^2$. ✓ Markazdan tushirilgan perpendikulyar vatarni teng ikkiga bo'ladi: $R^2 = d^2 + (\frac{AB}{2})^2$.

3. Bir nuqtadan o'tkazilgan urinmalar tengligini unutish. ✗ Bitta nuqtadan aylanaga o'tkazilgan ikki urinmani har xil deb o'ylash. ✓ Tashqi nuqtadan aylanaga o'tkazilgan ikkala urinma kesmasi doimo teng: $PA = PB$.

4. Vatar va urinma burchagini butun yoyga teng deb olish. ✗ Urinma va vatar orasidagi burchakni yoy o'lchoviga teng deb bilish. ✓ Bu burchak ichki burchak kabi yoyning yarmiga teng: $\frac{1}{2} \cup AB$.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Aylana bilan to'g'ri chiziqlarning o'zaro joylashuvini o'rgandik. Keyingi darsda ko'pburchaklar bilan aylanalarning birgalikdagi holati — ichki va tashqi chizilgan aylanalar xossalarini tahlil qilamiz.