Markaziy va ichki burchak

Bu nima va nega kerak

Dengizdagi kemalar qirg'oqdagi ikkita mayoqqa qarab joylashuvini aniqlashda geometrik qonuniyatdan foydalanadi: agar kema aylanma chiziq bo'ylab harakatlansa, ikki mayoq orasidagi ko'rinish burchagi o'zgarmasdan saqlanadi.

Xuddi shuningdek, soat siferblatida millar markazdan buriladi, aylananing chetidagi nuqtadan qaralganda esa burchak ikki barobar kichikroq tuyuladi. Aylanada burchak qanday o'lchanadi?

Bu savolga javob berish uchun aylananing ikki asosiy burchagi — markaziy va ichki chizilgan burchaklar o'rganiladi. Ular astronomiya, navigatsiya va ko'pburchaklar geometriyasining asosi hisoblanadi.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

Aylananing ixtiyoriy ikki nuqtasi orasidagi qismi yoy deb ataladi. To'liq aylana $360^\circ$ ga teng.

          C (ichki burchak)
         / \
        /   \
       /  O  \ (markaziy burchak)
      /  / \  \
     /  /   \  \
    A --------- B
       AB yoyi

1. Markaziy burchak

[!IMPORTANT] Ta'rif. Uchi aylana markazida, tomonlari esa radiuslar bo'lgan burchak markaziy burchak deyiladi.

Markaziy burchak o'zi tiralgan yoyning gradus o'lchoviga teng: $\angle AOB = \cup AB$

Masalan, aylananing to'rtdan bir qismi bo'lgan yoy $90^\circ$ bo'lib, unga mos markaziy burchak ham $90^\circ$ bo'ladi.

2. Ichki chizilgan burchak

[!IMPORTANT] Ta'rif. Uchi aylanada yotuvchi, tomonlari esa vatarlardan iborat bo'lgan burchak ichki chizilgan burchak deyiladi.

[!IMPORTANT] Teorema. Ichki chizilgan burchak o'zi tiralgan yoyning yarmiga (yoki mos markaziy burchakning yarmiga) teng: $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \angle AOB$

Isbot g'oyasi: Markaz $O$ burchak tomonida ($BC$ da) yotsa, $\triangle AOC$ teng yonli ($OA = OC = R$). Uchburchakning tashqi burchagi xossasiga ko'ra: $\angle AOB = \angle OCA + \angle OAC = 2 \angle OCA$. Bundan $\angle OCA = \frac{1}{2} \angle AOB$ kelib chiqadi.

3. Muhim xossalar

1. Bir xil yoyga tiralgan ichki burchaklar o'zaro tengdir: Agar $\angle ACB$ va $\angle ADB$ bitta $AB$ yoyga tiralsa: $\angle ACB = \angle ADB$.
2. Diametrga tiralgan ichki burchak to'g'ri burchakdir: Diametr $180^\circ$ li yoy ajratadi, shuning uchun $\angle C = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
3. Aylanaga ichki chizilgan to'rtburchak: Qarama-qarshi burchaklar yig'indisi doimo $180^\circ$ bo'ladi: $\angle A + \angle C = 180^\circ, \quad \angle B + \angle D = 180^\circ$

4. Vatarlar va kesuvchilar hosil qilgan burchaklar

• Kesishuvchi vatarlar orasidagi burchak: $\alpha = \frac{\cup AC + \cup BD}{2}$
• Aylana tashqarisidagi nuqtadan o'tkazilgan kesuvchilar burchagi: $\beta = \frac{\cup AB - \cup CD}{2}$

---

Yechilgan misollar

1-misol. Markaziy va ichki burchak

Aylanada $AB$ yoy $112^\circ$ ga teng. Shu yoyga tiralgan markaziy burchak $\angle AOB$ va ichki burchak $\angle ACB$ ni toping.

• Markaziy burchak: $\angle AOB = \cup AB = 112^\circ$.
• Ichki chizilgan burchak: $\angle ACB = \frac{112^\circ}{2} = 56^\circ$.

Javob: $112^\circ$ va $56^\circ$.

2-misol. Diametrga tiralgan burchak

$AB$ kesma — aylananing diametri. Aylanadagi $C$ nuqta uchun $\angle ABC = 34^\circ$. $\angle BAC$ burchak va $BC$ yoy o'lchovini toping.

• Diametrga tiralgan burchak to'g'ri bo'ladi: $\angle ACB = 90^\circ$.
• $\triangle ABC$ da: $\angle BAC = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$.
• $BC$ yoy: $\cup BC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 56^\circ = 112^\circ$.

Javob: $\angle BAC = 56^\circ$, $\cup BC = 112^\circ$.

3-misol. Kesishuvchi vatarlar burchagi

$AB$ va $CD$ vatarlar $M$ nuqtada kesishadi. $\cup AC = 48^\circ$ va $\cup BD = 84^\circ$ bo'lsa, $\angle AMC$ burchakni toping.

• Vatarlar burchagi: $\angle AMC = \frac{\cup AC + \cup BD}{2} = \frac{48^\circ + 84^\circ}{2} = \frac{132^\circ}{2} = 66^\circ$.

Javob: $66^\circ$.

4-misol. Ichki chizilgan to'rtburchak

Aylanaga ichki chizilgan $ABCD$ to'rtburchakda $\angle A = 2x + 15^\circ$ va $\angle C = 3x - 10^\circ$. Shu burchaklarni toping.

• Qarama-qarshi burchaklar yig'indisi: $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
• $(2x + 15^\circ) + (3x - 10^\circ) = 180^\circ \implies 5x + 5^\circ = 180^\circ \implies x = 35^\circ$.
• $\angle A = 2 \cdot 35^\circ + 15^\circ = 85^\circ$.
• $\angle C = 3 \cdot 35^\circ - 10^\circ = 95^\circ$.

Javob: $\angle A = 85^\circ$, $\angle C = 95^\circ$.

---

Mashq

1. Aylananing $64^\circ$ li yoyiga tiralgan markaziy va ichki burchaklarni toping.
2. Ichki chizilgan burchak $47^\circ$. U tiralgan yoyning gradus o'lchovini toping.
3. Markaziy burchak o'zi tiralgan ichki burchakdan $35^\circ$ ga katta. Shu markaziy burchakni toping.
4. $AB$ — diametr. Aylanadagi $K$ nuqta uchun $\angle BAK = 28^\circ$. $\angle ABK$ burchakni hisoblang.
5. Aylana uchta nuqta bilan $3 : 4 : 5$ nisbatdagi yoylarga bo'lingan. Ichki chizilgan uchburchak burchaklarini toping.
6. Aylanaga ichki chizilgan $ABCD$ to'rtburchakda $\angle B = 73^\circ$ va $\angle C = 104^\circ$. $\angle A$ va $\angle D$ ni toping.
7. Aylana ichida kesishuvchi vatarlar qarama-qarshi $52^\circ$ va $68^\circ$ li yoylarni ajratadi. Ular orasidagi o'tkir burchakni toping.
8. Aylana tashqarisidagi nuqtadan o'tkazilgan kesuvchilar $140^\circ$ va $50^\circ$ li yoylarni ajratadi. Kesuvchilar burchagini toping.
9. Teng yonli $\triangle ABC$ da $AB = BC$. Aylanaga ichki chizilgan bu uchburchakda $AC$ yoy $80^\circ$ bo'lsa, uchburchak burchaklarini toping.
10. Aylanada ketma-ket $A, B, C, D$ nuqtalar berilgan. $\angle ABD = 42^\circ$ va $\angle DBC = 36^\circ$ bo'lsa, $\angle ADC$ burchakni toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. Markaziy: $64^\circ$; ichki: $64^\circ : 2 = 32^\circ$. Javob: $64^\circ$ va $32^\circ$.
2. Yoy: $2 \cdot 47^\circ = 94^\circ$. Javob: $94^\circ$.
3. $2x - x = 35^\circ \implies x = 35^\circ$. Markaziy burchak: $2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$. Javob: $70^\circ$.
4. $\angle AKB = 90^\circ \implies \angle ABK = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$. Javob: $62^\circ$.
5. $3x + 4x + 5x = 360^\circ \implies x = 30^\circ$. Yoylar: $90^\circ, 120^\circ, 150^\circ$. Burchaklar: $45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$. Javob: $45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$.
6. $\angle A = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$; $\angle D = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$. Javob: $\angle A = 76^\circ$, $\angle D = 107^\circ$.
7. $\alpha = \frac{52^\circ + 68^\circ}{2} = 60^\circ$. Javob: $60^\circ$.
8. $\beta = \frac{140^\circ - 50^\circ}{2} = 45^\circ$. Javob: $45^\circ$.
9. $\angle B = 80^\circ : 2 = 40^\circ$. $\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$. Javob: $70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$.
10. $\angle ABC = 42^\circ + 36^\circ = 78^\circ \implies \angle ADC = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$. Javob: $102^\circ$.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Ichki chizilgan burchakni yoyning o'ziga teng deb olish. ✗ Yoy $80^\circ$ bo'lsa, ichki burchakni ham $80^\circ$ deb yozish. ✓ Ichki burchak doimo yoyning yarmiga teng: $80^\circ : 2 = 40^\circ$.

2. Diametrga tiralgan burchakni $180^\circ$ deb adashtirish. ✗ Diametr yoyi $180^\circ$ bo'lgani uchun burchakni $180^\circ$ deb o'ylash. ✓ Diametrga tiralgan ichki burchak to'g'ri burchakdir: $180^\circ : 2 = 90^\circ$.

3. Bir vatarning ikki tomonidagi burchaklarni teng deb bilish. ✗ Vatar ajratgan har ikkala yoyga tiralgan burchaklarni teng deb olish. ✓ Ular teng emas, yig'indisi $180^\circ$ bo'ladi.

4. Kesishuvchi vatarlar formulasida ayirish amalini qo'llash. ✗ Vatarlar aylana ichida kesishganda yoylarni ayirib yuborish. ✓ Aylana ichidagi burchak uchun yoylar qo'shiladi: $\frac{\cup_1 + \cup_2}{2}$.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Ichki va markaziy burchaklar yordamida yoylarni hisoblashni o'rgandik. Keyingi darsda aylananing chiziqli elementlari — vatar va urinma xossalarini hamda ularning metrik munosabatlarini o'rganamiz.