Shar va sfera

Bu nima va nega kerak

Shar va sfera tabiatda mukammal simmetriyaga ega shakllardir: sayyoralar, yulduzlar, sovun pufakchalari va podshipnik shariklari shar shaklida bo'ladi. Suyuqlik tomchisi ham aynan shar shaklini oladi, chunki berilgan hajmda eng kichik sirt yuziga ega bo'lgan jism shardir.

Geometriyada:

• Sfera — sirt (futbol to'pi terisi).
• Shar — sfera bilan chegaralangan fazoviy jism (ichidagi fazosi bilan birga).

Shar yarim doirani diametri atrofida $360^\circ$ aylantirishdan hosil bo'ladi. Ushbu darsda sfera sirti, shar hajmi, shar kesimlari hamda uning qismlari formulalarini o'rganamiz.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

1. Sfera va shar ta'rifi

• Sfera — fazoda $O$ nuqtadan $R$ masofadagi nuqtalar sirti.
• Shar — markazdan masofasi $R$ dan oshmaydigan nuqtalar to'plami.
• Radius ($R$) — markazni sferaning ixtiyoriy nuqtasi bilan tutashtiruvchi kesma.
• Diametr ($D = 2R$) — markazdan o'tuvchi vatar.

          . · ' ' · .
        '      |      '
       '       |R      '
      (--------O--------)  (katta doira)
       '       |       '
        '      |      '
          . · . . · .

2. Sharning tekislik bilan kesimi

[!IMPORTANT] Sharning ixtiyoriy tekislik bilan kesimi har doim doiradir (sferaning kesimi esa aylanadir).

Shar markazidan kesuvchi tekislikkacha bo'lgan masofa $d$ bo'lsin:

1. Agar $d < R$ bo'lsa, kesim radiusi $r$ bo'lgan doiradir. Markaz, tekislikdagi proyeksiya va kesim aylanasi nuqtasi to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi: $r = \sqrt{R^2 - d^2} \iff R^2 = d^2 + r^2$
2. Agar $d = 0$ bo'lsa, tekislik shar markazidan o'tadi. Bunday kesim katta doira deb ataladi ($r = R$). Katta doira yuzi: $S = \pi R^2$.
3. Agar $d = R$ bo'lsa, tekislik sharga urinma tekislik bo'lib, unga faqat bitta nuqtada tegadi.
4. Agar $d > R$ bo'lsa, tekislik shar bilan kesishmaydi.

3. Sferaning sirt yuzi

Sfera sirtining yuzi uning katta doirasi yuzidan 4 marta kattadir:

[!IMPORTANT] $S = 4\pi R^2 = \pi D^2$

4. Shar hajmi

Shar hajmi radiusi $R$ bo'lgan doirani asos qilib olgan integrallash yoki Arximed qoidasi orqali topiladi:

[!IMPORTANT] $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{1}{6}\pi D^3$

5. Sharning qismlari

• Shar segmenti — sharning tekislik bilan kesilgan qismi. Balandligi $h$:
  • Sferik sirti yuzi: $S = 2\pi R h$
  • Segment hajmi: $V = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right)$
• Shar sektori — shar segmenti va uchi shar markazida bo'lgan konusdan tashkil topgan jism:
  • Hajmi: $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h$ (bu yerda $h$ — mos segment balandligi).

---

Yechilgan misollar

1-misol. Sirt yuzi va hajm

Radiusi $R = 3\text{ sm}$ bo'lgan sharning sirt yuzi va hajmini toping.

• Sfera sirtining yuzi: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi\text{ sm}^2$
• Shar hajmi: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = 36\pi\text{ sm}^3$

Eslatma: $R = 3$ bo'lganda sirt yuzining son qiymati bilan hajm son qiymati teng chiqadi ($36\pi$).

Javob: $S = 36\pi\text{ sm}^2$, $V = 36\pi\text{ sm}^3$.

2-misol. Shar tekislik bilan kesilganda kesim yuzi

Radiusi $R = 25\text{ sm}$ bo'lgan shar markazidan $15\text{ sm}$ masofada tekislik bilan kesilgan. Kesim doirasining yuzini toping.

• Kesim doirasi radiusini Pifagor teoremasidan topamiz: $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\text{ sm}$
• Kesim doirasi yuzi: $S_{kesim} = \pi r^2 = \pi \cdot 20^2 = 400\pi\text{ sm}^2$

Javob: $400\pi\text{ sm}^2$.

3-misol. Ko'pburchakka urinuvchi shar

Tomonlari $13\text{ sm}, 14\text{ sm}, 15\text{ sm}$ bo'lgan uchburchakning barcha tomonlariga radiusi $R = 5\text{ sm}$ bo'lgan sfera urinadi. Sfera markazidan uchburchak tekisligigacha masofani toping.

• Sfera tomonlarga uringanligi sababli, uning tekislikdagi proyeksiyasi uchburchakka ichki chizilgan aylana markaziga tushadi.
• Uchburchak yarim perimetri: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\text{ sm}$.
• Geron formulasi bo'yicha yuza: $S = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84\text{ sm}^2$
• Ichki aylana radiusi: $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4\text{ sm}$
• Markazdan tekislikkacha masofa $d$: $d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\text{ sm}$

Javob: $3\text{ sm}$.

4-misol. Shar segmenti va sektori

Radiusi $R = 6\text{ sm}$ bo'lgan sharda balandligi $h = 3\text{ sm}$ bo'lgan shar segmentining sferik sirti yuzi va hajmini hisoblang.

• Sferik sirt yuzi: $S = 2\pi R h = 2\pi \cdot 6 \cdot 3 = 36\pi\text{ sm}^2$
• Segment hajmi: $V = \pi h^2 \left(R - \frac{h}{3}\right) = \pi \cdot 3^2 \cdot \left(6 - \frac{3}{3}\right) = 9\pi \cdot 5 = 45\pi\text{ sm}^3$

Javob: $S = 36\pi\text{ sm}^2$, $V = 45\pi\text{ sm}^3$.

---

Mashq

1. Radiusi $R = 5\text{ sm}$ bo'lgan sharning sirt yuzi va hajmini hisoblang.
2. Sfera sirti yuzi $64\pi\text{ sm}^2$. Shar hajmini toping.
3. Shar markazidan $12\text{ sm}$ masofada o'tkazilgan kesim aylanasi uzunligi $10\pi\text{ sm}$. Shar radiusini toping.
4. Shar radiusi $10\text{ sm}$. Markazdan $6\text{ sm}$ masofada o'tkazilgan kesim doirasining yuzini toping.
5. Radiusi $R = 9\text{ sm}$ bo'lgan sharda balandligi $h = 3\text{ sm}$ bo'lgan segmentning sferik sirti yuzini hisoblang.
6. Radiusi $R = 10\text{ sm}$ bo'lgan shardan balandligi $h = 3\text{ sm}$ bo'lgan segment kesilgan. Mos shar sektori hajmini toping.
7. Tomoni $8\text{ sm}$ bo'lgan kvadratning barcha tomonlariga radiusi $5\text{ sm}$ bo'lgan sfera urinadi. Sfera markazidan kvadrat tekisligigacha masofani toping.
8. Bitta katta qo'rg'oshin shar eritilib, radiusi 2 marta kichik bo'lgan bir nechta kichik shar quyildi. Nechta shar hosil bo'lgan?
9. Shar markazining qarama-qarshi tomonlarida o'tkazilgan ikkita parallel kesim radiuslari $9\text{ sm}$ va $12\text{ sm}$, shar radiusi esa $15\text{ sm}$. Kesimlar tekisliklari orasidagi masofani toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $S = 4\pi \cdot 5^2 = 100\pi\text{ sm}^2$. $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3}\text{ sm}^3$. Javob: $100\pi\text{ sm}^2$, $\frac{500\pi}{3}\text{ sm}^3$.
2. $4\pi R^2 = 64\pi \implies R = 4\text{ sm}$. $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 64 = \frac{256\pi}{3}\text{ sm}^3$. Javob: $\frac{256\pi}{3}\text{ sm}^3$.
3. $2\pi r = 10\pi \implies r = 5\text{ sm}$. $R = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ sm}$. Javob: $13\text{ sm}$.
4. $r = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ sm}$. $S = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\text{ sm}^2$. Javob: $64\pi\text{ sm}^2$.
5. $S = 2\pi R h = 2\pi \cdot 9 \cdot 3 = 54\pi\text{ sm}^2$. Javob: $54\pi\text{ sm}^2$.
6. $V = \frac{2}{3}\pi R^2 h = \frac{2}{3}\pi \cdot 100 \cdot 3 = 200\pi\text{ sm}^3$. Javob: $200\pi\text{ sm}^3$.
7. Kvadratga ichki chizilgan aylana radiusi $r = 8 / 2 = 4\text{ sm}$. Masofa: $d = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\text{ sm}$. Javob: $3\text{ sm}$.
8. Radiusi $R_2 = R_1 / 2$. Hajmlar nisbati $(R_1 / R_2)^3 = 2^3 = 8$. Javob: $8\text{ ta}$.
9. $d_1 = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12\text{ sm}$, $d_2 = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9\text{ sm}$. Ular markazning ikki tomonida bo'lgani uchun: $d = 12 + 9 = 21\text{ sm}$. Javob: $21\text{ sm}$.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Sfera sirti formulasida koeffitsiyentni adashtirish. ✗ $S = 2\pi R^2$ yoki $S = \pi R^2$ deb yozish. ✓ Sfera sirti yuzi 4 ta katta doira yuziga teng: $S = 4\pi R^2$.

2. Shar kesimida radiusni to'g'ri chiziqli ayirma deb hisoblash. ✗ $r = R - d$ deb o'ylash. ✓ Markaz, tekislikdagi proyeksiya va nuqta to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi, shuning uchun Pifagor teoremasi qo'llanadi: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

3. Shar hajmida darajani adashtirish. ✗ $V = \frac{4}{3}\pi R^2$ deb yozish. ✓ Hajm uch o'lchamli kattalik bo'lgani uchun radius kub darajada bo'ladi: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

4. Kesimlar orasidagi masofani hisoblashda ularning joylashuviga e'tibor bermaslik. ✗ Har doim $d_1 - d_2$ deb ayirib qo'yish. ✓ Agar kesimlar markazning qarama-qarshi tomonlarida bo'lsa, masofalar qo'shiladi ($d_1 + d_2$). Bir tomonida bo'lsa, ayiriladi ($|d_1 - d_2|$).

---

DTM uslubidagi test

Yuqoridagi frontmatter bo'limida keltirilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Keyingi darsda barcha ko'pyoqlar va aylanish jismlarini umumlashtiruvchi Jismlarning hajmi va sirt yuzi mavzusini o'rganamiz: prizma, piramida, silindr, konus va shar yuzalari va hajmlarini o'zaro solishtirish hamda kombinatsiyalangan masalalarni yechamiz.