Silindr

Bu nima va nega kerak

Suv quvurlari, konserva bankalari, sisternalar hamda porshen kameralari silindr shakliga ega.

Ko'pyoqlardan farqli ravishda, silindr aylanish jismi hisoblanadi. Quvurning o'tkazuvchanlik hajmini yoki sisternaning sig'imini aniqlashda silindr formulalari qo'llanadi. Ushbu darsda silindrning tuzilishi, kesimlari, sirt yuzi va hajmini hisoblashni o'rganamiz.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

1. Silindr ta'rifi va elementlari

To'g'ri to'rtburchakni uning bir tomoni atrofida to'liq aylantirishdan hosil bo'lgan jismga to'g'ri doiraviy silindr deyiladi.

         .---.       <- yuqori asos (doira)
        /     \
       |   O'  |
       |---|---|
       |   |   |
       |   |   |     H (balandlik) = l (yasovchi)
       |   |   |
       |---|---|
       |   O   |
        \     /
         '---'       <- pastki asos (doira)
           R

• Asoslari: Parallel tekisliklardagi teng doiralar ($R$ radiusli).
• O'qi ($OO'$): Asos markazlarini tutashtiruvchi to'g'ri chiziq.
• Yasovchisi ($l$): Asos aylanalarining mos nuqtalarini tutashtiruvchi kesmalar. To'g'ri silindrda yasovchi balandlikka teng ($l = H$).

2. Silindrning kesimlari

1. O'q kesimi: Silindr o'qi orqali o'tuvchi tekislik kesimi. Bu tomonlari $2R$ va $H$ bo'lgan to'g'ri to'rtburchakdir: $S_{oq} = 2R \cdot H$ Agar $H = 2R$ bo'lsa, kesim kvadrat bo'ladi va bunday silindr teng tomonli silindr deyiladi.
2. O'qqa parallel kesim: O'qdan $d$ masofada parallel o'tgan tekislik kesimi. Uning bir tomoni vatar ($2\sqrt{R^2 - d^2}$), ikkinchi tomoni balandlik ($H$) bo'ladi: $S_{kesim} = 2\sqrt{R^2 - d^2} \cdot H$
3. Asosga parallel kesim: Asosga teng doiradir ($R$ radiusli).

3. Sirt yuzi va hajm formulalari

Silindr yon sirti yoyilmasi asosi $2\pi R$ va balandligi $H$ bo'lgan to'g'ri to'rtburchakdir.

• Yon sirti: $S_{yon} = 2\pi R H$
• Asos yuzi: $S_{asos} = \pi R^2$
• To'la sirti: $S_{tola} = 2\pi R H + 2\pi R^2 = 2\pi R(H + R)$
• Hajmi: $V = S_{asos} \cdot H = \pi R^2 H$

---

Yechilgan misollar

1-misol. Asosiy parametrlar va sirt/hajm

Silindr asosining radiusi $3\text{ sm}$, balandligi $7\text{ sm}$. Uning yon sirti, to'la sirti va hajmini toping.

• Yon sirti: $S_{yon} = 2\pi R H = 2\pi \cdot 3 \cdot 7 = 42\pi\text{ sm}^2$
• Asos yuzi: $S_{asos} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\text{ sm}^2$
• To'la sirti: $S_{tola} = 42\pi + 2 \cdot 9\pi = 60\pi\text{ sm}^2$
• Hajmi: $V = 9\pi \cdot 7 = 63\pi\text{ sm}^3$

Javob: $S_{yon} = 42\pi\text{ sm}^2$, $S_{tola} = 60\pi\text{ sm}^2$, $V = 63\pi\text{ sm}^3$.

2-misol. Teng tomonli silindr

Teng tomonli silindrning to'la sirti $96\pi\text{ sm}^2$. Ushbu silindrning hajmini toping.

• Teng tomonli silindrda $H = 2R$.
• To'la sirt formulasi bo'yicha: $S_{tola} = 2\pi R(2R + R) = 6\pi R^2$
• Radiusni topamiz: $6\pi R^2 = 96\pi \implies R^2 = 16 \implies R = 4\text{ sm}$
• Balandlik: $H = 2R = 8\text{ sm}$.
• Hajmi: $V = \pi R^2 H = \pi \cdot 16 \cdot 8 = 128\pi\text{ sm}^3$

Javob: $128\pi\text{ sm}^3$.

3-misol. O'qqa parallel kesim

Silindr asosining radiusi $10\text{ sm}$, balandligi $12\text{ sm}$. O'qdan $6\text{ sm}$ masofada parallel tekislik o'tkazilgan. Kesim yuzini toping.

• Kesim tomonlari balandlik $H = 12\text{ sm}$ va asosdagi vatar $AB$ dir.
• Markazdan vatargacha masofa $d = 6\text{ sm}$, radius $R = 10\text{ sm}$. $\frac{AB}{2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ sm} \implies AB = 16\text{ sm}$
• Kesim yuzi: $S_{kesim} = 16 \cdot 12 = 192\text{ sm}^2$

Javob: $192\text{ sm}^2$.

4-misol. To'g'ri to'rtburchakni aylantirish

Tomonlari $5\text{ sm}$ va $8\text{ sm}$ bo'lgan to'g'ri to'rtburchak katta tomoni atrofida aylantirildi. Yon sirti va hajmini toping. Kichik tomoni atrofida aylantirilsa hajm qanday o'zgaradi?

• Katta tomoni ($8\text{ sm}$) atrofida: $H_1 = 8\text{ sm}$, $R_1 = 5\text{ sm}$. $S_{yon} = 2\pi \cdot 5 \cdot 8 = 80\pi\text{ sm}^2, \quad V_1 = \pi \cdot 5^2 \cdot 8 = 200\pi\text{ sm}^3$
• Kichik tomoni ($5\text{ sm}$) atrofida: $H_2 = 5\text{ sm}$, $R_2 = 8\text{ sm}$. $V_2 = \pi \cdot 8^2 \cdot 5 = 320\pi\text{ sm}^3$
• Hajmlar nisbati: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{320\pi}{200\pi} = 1{,}6$
• Kichik tomoni atrofida aylantirilganda hajm $1{,}6$ marta ortadi.

Javob: $S_{yon} = 80\pi\text{ sm}^2$, $V_1 = 200\pi\text{ sm}^3$; hajm $1{,}6$ marta ortadi.

---

Mashq

1. Silindr asosining radiusi $2\text{ sm}$, balandligi $10\text{ sm}$. Yon sirti va to'la sirtini toping.
2. Silindrning hajmi $180\pi\text{ sm}^3$, balandligi $5\text{ sm}$. Asosining radiusini toping.
3. O'q kesimi kvadrat bo'lgan silindrning hajmi $54\pi\text{ sm}^3$. Silindr balandligini toping.
4. Silindrning to'la sirti $112\pi\text{ sm}^2$, yon sirti $80\pi\text{ sm}^2$. Asos radiusi va balandligini toping.
5. Silindr asosining radiusi $13\text{ sm}$, balandligi $8\text{ sm}$. O'qdan $5\text{ sm}$ masofada parallel kesim o'tkazilgan. Kesim yuzini toping.
6. O'lchamlari $20\text{ sm} \times 10\pi\text{ sm}$ bo'lgan metall list bukilganda balandligi $20\text{ sm}$ bo'lgan silindr yon sirti hosil bo'ldi. Asos radiusi va hajmini toping.
7. Teng tomonli silindrning o'q kesimi diagonali $8\sqrt{2}\text{ sm}$. Silindr hajmini toping.
8. Silindr balandligi asos radiusidan $3\text{ sm}$ katta, to'la sirti $130\pi\text{ sm}^2$. Asos radiusi va hajmini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $S_{yon} = 2\pi \cdot 2 \cdot 10 = 40\pi\text{ sm}^2$. $S_{tola} = 40\pi + 2 \cdot 4\pi = 48\pi\text{ sm}^2$. Javob: $S_{yon} = 40\pi\text{ sm}^2$, $S_{tola} = 48\pi\text{ sm}^2$.
2. $V = \pi R^2 H \implies 180\pi = 5\pi R^2 \implies R = 6\text{ sm}$. Javob: $6\text{ sm}$.
3. $H = 2R$. $V = 2\pi R^3 = 54\pi \implies R = 3\text{ sm} \implies H = 6\text{ sm}$. Javob: $6\text{ sm}$.
4. $2S_{asos} = 112\pi - 80\pi = 32\pi \implies R = 4\text{ sm}$. $S_{yon} = 2\pi \cdot 4 \cdot H = 80\pi \implies H = 10\text{ sm}$. Javob: $R = 4\text{ sm}$, $H = 10\text{ sm}$.
5. Vatar yarmi $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12\text{ sm}$, butun vatar $24\text{ sm}$. Kesim yuzi $S = 24 \cdot 8 = 192\text{ sm}^2$. Javob: $192\text{ sm}^2$.
6. $2\pi R = 10\pi \implies R = 5\text{ sm}$. $V = \pi \cdot 25 \cdot 20 = 500\pi\text{ sm}^3$. Javob: $R = 5\text{ sm}$, $V = 500\pi\text{ sm}^3$.
7. $2R = H = 8\text{ sm} \implies R = 4\text{ sm}$. $V = \pi \cdot 16 \cdot 8 = 128\pi\text{ sm}^3$. Javob: $128\pi\text{ sm}^3$.
8. $S_{tola} = 2\pi R(2R + 3) = 130\pi \implies 2R^2 + 3R - 65 = 0 \implies R = 5\text{ sm}, H = 8\text{ sm}$. $V = 200\pi\text{ sm}^3$. Javob: $R = 5\text{ sm}$, $V = 200\pi\text{ sm}^3$.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. To'la sirtda bitta asos yuzini hisobga olish. ✗ $S_{tola} = S_{yon} + \pi R^2$ deb yozish. ✓ Silindrning ikkita asosi bor: $S_{tola} = S_{yon} + 2S_{asos} = 2\pi R(H + R)$.

2. O'q kesimi yuziga $\pi$ sonini qo'shib yozish. ✗ $S_{oq} = 2\pi R H$ deb yozish. ✓ O'q kesimi to'g'ri to'rtburchakdir: $S_{oq} = 2R \cdot H$ bo'lib, $\pi$ qatnashmaydi.

3. Aylantirish o'qini adashtirish natijasida xato hajm olish. ✗ To'rtburchakni aylantirganda qaysi tomon radius ekaniga e'tibor bermaslik. ✓ Aylanish o'qi bo'lgan tomon silindr balandligi ($H$), ikkinchi tomon esa asos radiusi ($R$) bo'ladi.

4. Kesimning asosdagi tomonini radius deb olish. ✗ O'qdan $d$ masofadagi kesim enini $R$ ga teng deb hisoblash. ✓ Kesim eni aylana vatari bo'lib, $2\sqrt{R^2 - d^2}$ orqali topiladi.

---

DTM uslubidagi test

Yuqoridagi frontmatter bo'limida keltirilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Silindr mavzusini o'rgangach, keyingi darsda to'g'ri burchakli uchburchakni aylantirishdan hosil bo'ladigan navbatdagi aylanish jismi — Konus mavzusini o'rganamiz.