Modulli va irratsional tenglamalar

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Modulli va irratsional ifodalar DTM imtihonlarida keng uchraydi:

1. $|f(x)| = g(x)$ tenglamalari: O'ng tomon nomanfiyligi ($g(x) \ge 0$) orqali chet ildizlarni saralash.
2. Modullar yig'indisi: Kritik nuqtalar oraliqlari yoki geometrik masofa ma'nosi.
3. $\sqrt{f(x)} = g(x)$ irratsional tenglamalari: Kvadratga ko'tarishda $g(x) \ge 0$ sharti.
4. Yangi o'zgaruvchi kiritish: $t = \sqrt{f(x)}$ almashtirish usuli.
5. Irratsional tengsizliklar: $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ va $\sqrt{f(x)} > g(x)$ tizimlari.

---

Asosiy formulalar va usullar

1. Modul xossalari

• Asosiy ekvivalentlik: $|f(x)| = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{array} \right. \end{cases}$
• Ikkita modul tengligi: $|f(x)| = |g(x)| \iff (f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) = 0$.
• Geometrik ma'no: Agar $|x - a| + |x - b| = |a - b|$ bo'lsa, yechim butun $[a; b]$ kesmadir.

2. Irratsional tenglama va tengsizliklar

• Tenglama: $\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = g^2(x) \end{cases}$
• $\le$ tengsizligi: $\sqrt{f(x)} \le g(x) \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le g^2(x) \end{cases}$
• $>$ tengsizligi: $\sqrt{f(x)} > g(x) \iff \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > g^2(x) \end{cases} \end{array} \right.$

---

Yechilgan misollar

1-misol: $|f(x)| = g(x)$ tenglamasi

$|x^2 - 3x - 4| = 2x + 2$ tenglamaning barcha haqiqiy ildizlari yig'indisini toping.

A) $5$ B) $7$ C) $8$ D) $9$

Yechimi:

1. Shart: $2x + 2 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. $x^2 - 3x - 4 = 2x + 2 \implies x^2 - 5x - 6 = 0 \implies x = 6, -1$.
3. $x^2 - 3x - 4 = -(2x + 2) \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x = 2, -1$.
4. Haqiqiy ildizlar: $\{-1, 2, 6\}$. Yig'indi: $(-1) + 2 + 6 = 7$.

Tezroq yo'l: $x = -1$ da har ikkala tomon 0 ga teng. Variantlarni qo'yib tekshirish ham tez samara beradi.

Javob: B

---

2-misol: Modullar yig'indisi

$|x - 2| + |x + 3| = 7$ tenglamaning ildizlari ko'paytmasini toping.

A) $-12$ B) $-7$ C) $6$ D) $12$

Yechimi:

1. Kritik nuqtalar: $-3$ va $2$.
2. $x \ge 2$ bo'lsa: $2x + 1 = 7 \implies x = 3$ (to'g'ri).
3. $-3 \le x < 2$ bo'lsa: $5 = 7$ (yechim yo'q).
4. $x < -3$ bo'lsa: $-2x - 1 = 7 \implies x = -4$ (to'g'ri).
5. Ildizlar: $-4$ va $3$. Ko'paytma: $(-4) \cdot 3 = -12$.

Tezroq yo'l: Masofa $2 - (-3) = 5$. Jami 7 bo'lishi uchun chetga $\dfrac{7 - 5}{2} = 1$ birlik chiqiladi: $2 + 1 = 3$ va $-3 - 1 = -4$. Ko'paytma: $-12$.

Javob: A

---

3-misol: Irratsional tenglama

$\sqrt{2x^2 - 3x + 1} = x + 1$ tenglamaning ildizlari ko'paytmasini toping.

A) $0$ B) $5$ C) $-5$ D) $6$

Yechimi:

1. Shart: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Kvadratga ko'taramiz: $2x^2 - 3x + 1 = x^2 + 2x + 1 \implies x^2 - 5x = 0 \implies x = 0, 5$
3. Ikkala ildiz ham $x \ge -1$ shartini qanoatlantiradi. Ko'paytma: $0 \cdot 5 = 0$.

Tezroq yo'l: $x = 0$ qo'yilganda $\sqrt{1} = 1$ to'g'ri. Variantlarda 0 bor, tekshirish oson.

Javob: A

---

4-misol: Yangi o'zgaruvchi kiritish

$x^2 - 3x + \sqrt{x^2 - 3x + 5} = 7$ tenglamaning haqiqiy ildizlari yig'indisini toping.

A) $-3$ B) $1$ C) $3$ D) $4$

Yechimi:

1. $t = \sqrt{x^2 - 3x + 5} \ge 0 \implies t^2 - 5 + t = 7 \implies t^2 + t - 12 = 0 \implies t = 3$.
2. $\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3 \implies x^2 - 3x - 4 = 0$.
3. $D = 25 > 0$. Viyet teoremasiga ko'ra $x_1 + x_2 = 3$.

Javob: C

---

5-misol: Irratsional tengsizlik

$\sqrt{x + 7} \le x + 1$ tengsizlikning eng kichik butun yechimini toping.

A) $-1$ B) $0$ C) $2$ D) $3$

Yechimi:

1. Sistema: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$ va $x + 7 \le (x + 1)^2$.
2. $x^2 + x - 6 \ge 0 \implies (x + 3)(x - 2) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -3] \cup [2; \infty)$.
3. $x \ge -1$ bilan kesishmasi: $[2; \infty)$. Eng kichik butun yechim $2$.

Tezroq yo'l: Variantlardan tekshirish: $x = 2 \implies \sqrt{9} \le 3$ (to'g'ri).

Javob: C

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

[!WARNING] 1. Irratsional tenglamada o'ng tomon ishorasi $\sqrt{f(x)} = g(x)$ tenglamasida $g(x) \ge 0$ shartini yozmaslik chet ildizlarga olib keladi.

2. $\sqrt{A^2} = |A|$ qoidasini unutish $\sqrt{A^2} = A$ deb yozish xato, albatta modul qo'yilishi lozim.

3. Tengsizlikda manfiy holatni tashlab ketish $\sqrt{f(x)} > g(x)$ tengsizligida $g(x) < 0$ bo'lgan oraliq ham $f(x) \ge 0$ sharti bilan yechimga kiradi.

---

Mashq

1. $|2x - 5| = 3$ tenglamaning ildizlari ko'paytmasini toping.

Yechimi

$2x - 5 = 3 \implies x = 4$. $2x - 5 = -3 \implies x = 1$. Ko'paytma: $4 \cdot 1 = 4$. Javob: 4

2. $\sqrt{x + 6} = x$ tenglamani yeching.

Yechimi

$x \ge 0$. $x + 6 = x^2 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies x = 3, -2$. $x \ge 0$ sababli faqat $x = 3$. Javob: 3

3. $|x - 1| = |2x + 4|$ tenglamaning ildizlari yig'indisini toping.

Yechimi

$x - 1 = 2x + 4 \implies x = -5$. $x - 1 = -2x - 4 \implies x = -1$. Yig'indi: $(-5) + (-1) = -6$. Javob: -6

4. $\sqrt{3x + 1} = \sqrt{2x + 6}$ tenglamaning ildizini toping.

Yechimi

$3x + 1 = 2x + 6 \implies x = 5$. $3(5) + 1 = 16 \ge 0$. Ildiz: 5. Javob: 5

5. $|x^2 - 4| + |x - 2| = 0$ tenglamaning haqiqiy ildizlari sonini toping.

Yechimi

$x^2 - 4 = 0$ va $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Yagona ildiz mavjud: 1 ta. Javob: 1

6. $\sqrt{x + 2} > x$ tengsizlikning butun yechimlari sonini toping.

Yechimi

$x < 0$ da $x \in [-2; 0)$. $x \ge 0$ da $x + 2 > x^2 \implies x \in [0; 2)$. Birlashma: $[-2; 2)$. Butun yechimlar: $-2, -1, 0, 1$, jami 4 ta. Javob: 4

7. $x + \sqrt{x - 1} = 3$ tenglamani yeching.

Yechimi

$\sqrt{x - 1} = 3 - x \implies 1 \le x \le 3$. $x - 1 = 9 - 6x + x^2 \implies x^2 - 7x + 10 = 0 \implies x = 2, 5$. $x \le 3$ dan faqat $x = 2$. Javob: 2

8. $\sqrt{x - 3} \le 2$ tengsizlikning butun yechimlari yig'indisini toping.

Yechimi

$0 \le x - 3 \le 4 \implies 3 \le x \le 7$. Yig'indi: $3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25$. Javob: 25

9. $|x + 1| + |x - 3| \le 6$ tengsizlikning butun yechimlari nechta?

Yechimi

Oraliqlar usulidan $[-2; 4]$. Butun yechimlar: $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$, jami 7 ta. Javob: 7

10. $\sqrt{x^2 - 6x + 9} = 5 - x$ tenglamani yeching.

Yechimi

$|x - 3| = 5 - x$. Shart $x \le 5$. $x - 3 = 5 - x \implies 2x = 8 \implies x = 4$. $x - 3 = x - 5$ yechimga ega emas. Ildiz: 4. Javob: 4