Progressiya, kombinatorika va ehtimollik

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Progressiyalar, kombinatorika va ehtimollik bo'limi DTM testlarida doimiy ravishda 2–4 ta savol bilan qatnashadi. DTMda eng ko'p uchraydigan savol turlari:

1. Arifmetik va geometrik progressiya xossalari: Hadlar indekslari yig'indisi tengligi ($k+m = p+q \implies a_k + a_m = a_p + a_q$ yoki $b_k \cdot b_m = b_p \cdot b_q$), simmetrik hadlar va o'rta had xossasi.
2. Yig'indi formulalari: $S_n$ yig'indini hisoblash, toq sondagi hadlar yig'indisi bilan o'rta had bog'liqligi ($S_{2k+1} = (2k+1) \cdot a_{k+1}$) hamda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi.
3. Kombinatorika tanlovlari: Raqamlardan turli xonali sonlar tuzish (takrorlanadigan va takrorlanmaydigan), o'rin almashtirish ($P_n$), o'rinlashtirish ($A_n^k$) va guruhlash ($C_n^k$) farqini to'g'ri qo'llash.
4. Klassik ehtimollik va qarama-qarshi hodisa: Sharlar, qalamlar, o'yin suyaklari bilan bog'liq masalalarda "kamida bitta" shartiga qarama-qarshi hodisa ($P = 1 - P(\bar{A})$) qoidasini tatbiq etish.

Asosiy formulalar va usullar

1. Arifmetik progressiya

• $n$-hadi: $a_n = a_1 + (n-1)d$
• Ayirma: $d = \dfrac{a_n - a_k}{n - k}$
• Dastlabki $n$ ta hadi yig'indisi:
  $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
• Asosiy xossa: agar $k + m = p + q$ bo'lsa, $a_k + a_m = a_p + a_q$.
  Xususan, $a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.

2. Geometrik progressiya

• $n$-hadi: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
• Dastlabki $n$ ta hadi yig'indisi:
  $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \quad (q \neq 1)$
• Asosiy xossa: agar $k + m = p + q$ bo'lsa, $b_k \cdot b_m = b_p \cdot b_q$.
  Xususan, $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.
• Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya ($|q| < 1$):
  $S = \frac{b_1}{1 - q}$

3. Kombinatorika va ehtimollik

Formula	Nomi	Qachon ishlatiladi
$P_n = n!$	O'rin almashtirish	Hamma $n$ ta element tartibini o'zgartirishda
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$	O'rinlashtirish	$n$ tadan $k$ tasini tanlash va tartibi muhim bo'lganda
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$	Guruhlash	$n$ tadan $k$ tasini tanlash va tartibi muhim emas bo'lganda

• Klassik ehtimollik: $P(A) = \dfrac{m}{n}$ ($m$ — qulay hollar, $n$ — barcha teng imkoniyatli hollar).
• Qarama-qarshi hodisa: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ ("kamida bitta" shartida).

---

Yechilgan misollar

1-misol

Arifmetik progressiyada $a_3 + a_7 + a_{11} = 36$ bo'lsa, dastlabki $13$ ta hadi yig'indisi $S_{13}$ ni toping.

A) $144$
B) $156$
C) $168$
D) $180$

Yechim:
Arifmetik progressiyaning xossasiga ko'ra: $a_3 + a_{11} = 2a_7$.
U holda: $a_3 + a_7 + a_{11} = (a_3 + a_{11}) + a_7 = 2a_7 + a_7 = 3a_7 = 36 \implies a_7 = 12$ Dastlabki $13$ ta had yig'indisi formulasi: $S_{13} = \frac{a_1 + a_{13}}{2} \cdot 13$ Indekslar yig'indisi $1 + 13 = 14 = 7 + 7 \implies a_1 + a_{13} = 2a_7$.
Demak: $S_{13} = \frac{2a_7}{2} \cdot 13 = a_7 \cdot 13 = 12 \cdot 13 = 156$ To'g'ri javob: B.

Tezroq yo'l: Arifmetik progressiyada toq sondagi hadlar yig'indisi har doim o'rta had ko'paytmasiga teng: $S_{13} = 13 \cdot a_7$. $3a_7 = 36 \implies a_7 = 12$, darhol $13 \cdot 12 = 156$.

---

2-misol

Geometrik progressiyada $b_2 = 6$ va $b_5 = 48$ bo'lsa, dastlabki $6$ ta hadi yig'indisi $S_6$ ni toping.

A) $189$
B) $192$
C) $126$
D) $186$

Yechim:
Hadlar nisbatidan maxrajni topamiz: $\frac{b_5}{b_2} = q^{5-2} = q^3 \implies q^3 = \frac{48}{6} = 8 \implies q = 2$ Birinchi had: $b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{6}{2} = 3$.
Dastlabki $6$ ta hadi yig'indisi: $S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} = 3(64 - 1) = 3 \cdot 63 = 189$ To'g'ri javob: A.

Tezroq yo'l: Hadlarni bevosita yozib qo'shish: $b_1=3, b_2=6, b_3=12, b_4=24, b_5=48, b_6=96$. Yig'indi: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189$.

---

3-misol

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisi $16$ ga, dastlabki ikki hadi yig'indisi esa $12$ ga teng. Uning musbat maxraji $q$ ni toping.

A) $0{,}25$
B) $0{,}5$
C) $0{,}75$
D) $0{,}2$

Yechim:
Berilgan shartlar:

1. $S = \dfrac{b_1}{1 - q} = 16 \implies b_1 = 16(1 - q)$
2. $b_1 + b_2 = b_1(1 + q) = 12$

$b_1$ o'rniga qo'yamiz: $16(1 - q)(1 + q) = 12 \implies 16(1 - q^2) = 12 \implies 1 - q^2 = \frac{3}{4}$ $q^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \implies q = \frac{1}{2} = 0{,}5 \quad (q > 0)$ To'g'ri javob: B.

Tezroq yo'l: Variantlardan $q = 0{,}5$ ni tekshiramiz: $b_1 = 16(1 - 0{,}5) = 8$. U holda $b_2 = 4$, yig'indisi $8 + 4 = 12$. Shart to'liq bajarildi!

---

4-misol

$1, 2, 3, 4, 5, 6$ raqamlaridan raqamlari takrorlanmaydigan nechta 4 xonali juft son tuzish mumkin?

A) $120$
B) $180$
C) $360$
D) $240$

Yechim:
4 xonali son: $\overline{abcd}$.
Son juft bo'lishi uchun oxirgi raqam $d \in \{2, 4, 6\}$ bo'lishi kerak ($3$ ta imkoniyat).
Raqamlar takrorlanmasligi sharti bilan qolgan o'rinlarni to'ldiramiz:

• $d$ uchun: $3$ ta raqamdan biri;
• $a$ uchun: qolgan $5$ ta raqamdan biri;
• $b$ uchun: qolgan $4$ ta raqamdan biri;
• $c$ uchun: qolgan $3$ ta raqamdan biri.

Ko'paytirish qoidasiga ko'ra: $N = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 = 180 \text{ ta}$ To'g'ri javob: B.

Tezroq yo'l: Jami 4 xonali sonlar soni $A_6^4 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ ta. Raqamlar orasida toq va juft raqamlar soni teng (3 tadan), shuning uchun sonlarning aynan yarmi juft bo'ladi: $360 / 2 = 180$.

---

5-misol

Qutida 5 ta oq va 7 ta qora shar bor. Tavakkaliga olingan 3 ta sharning kamida bittasi oq bo'lish ehtimolligini toping.

A) $\dfrac{7}{44}$
B) $\dfrac{35}{44}$
C) $\dfrac{37}{44}$
D) $\dfrac{39}{44}$

Yechim:
Jami sharlar soni: $5 + 7 = 12$ ta.
3 ta shar tanlashning barcha usullari soni: $n = C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$ Hodisaga qarama-qarshi holat: "barcha 3 ta shar qora bo'lishi".
Faqat qora sharlardan 3 ta tanlash usullari soni: $m = C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$ Qarama-qarshi hodisa ehtimolligi: $P(\bar{A}) = \dfrac{35}{220} = \dfrac{7}{44}$.
Izlanayotgan hodisa ehtimolligi: $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$ To'g'ri javob: C.

Tezroq yo'l: Qarama-qarshi hodisani to'g'ridan-to'g'ri ko'paytma bilan topish: birinchi qora shar $\frac{7}{12}$, ikkinchisi $\frac{6}{11}$, uchinchisi $\frac{5}{10}$. Ko'paytmasi: $\frac{7}{12} \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{44}$. Javob: $1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$.

---

Mashq

1. Arifmetik progressiyada $a_1 = 5, d = 3$. Nechanchi hadi $47$ ga teng?

Javob va yechim

Javob: $15$.
Yechim: $a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 47 \implies 3(n-1) = 42 \implies n = 15$.

2. Arifmetik progressiyada $S_{15} = 225$ bo'lsa, sakkizinchi hadi $a_8$ ni toping.

Javob va yechim

Javob: $15$.
Yechim: $S_{15} = 15 \cdot a_8 \implies 15 a_8 = 225 \implies a_8 = 15$.

3. Geometrik progressiyada $b_1 = 2, q = 3$. Dastlabki $5$ ta hadi yig'indisini toping.

Javob va yechim

Javob: $242$.
Yechim: $S_5 = \dfrac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = 3^5 - 1 = 243 - 1 = 242$.

4. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyada $b_1 = 6$ va yig'indisi $S = 9$ bo'lsa, $q$ ni toping.

Javob va yechim

Javob: $\dfrac{1}{3}$.
Yechim: $9 = \dfrac{6}{1 - q} \implies 1 - q = \dfrac{2}{3} \implies q = \dfrac{1}{3}$.

5. $x - 1, x + 1, 2x + 5$ ketma-ketlik $x$ ning qanday musbat qiymatida geometrik progressiyaning dastlabki $3$ ta hadini tashkil etadi?

Javob va yechim

Javob: $2$.
Yechim: $(x+1)^2 = (x-1)(2x+5) \implies x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 3x - 5 \implies x^2 + x - 6 = 0$. Ildizlari: $x = 2$ va $x = -3$. Musbat qiymat: $x = 2$.

6. 7 nafar xodimdan 3 kishilik guruhni necha xil usulda tanlab olish mumkin?

Javob va yechim

Javob: $35$.
Yechim: Tartib muhim emas: $C_7^3 = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

7. "KITOB" so'zidagi barcha harflardan foydalanib nechta turli 5 harfli kombinatsiya tuzish mumkin?

Javob va yechim

Javob: $120$.
Yechim: Barcha harflar har xil: $P_5 = 5! = 120$.

8. Qutida 4 ta ko'k va 6 ta qizil qalam bor. Tavakkaliga 2 ta qalam olinganda ikkalasi ham qizil bo'lish ehtimolligini toping.

Javob va yechim

Javob: $\dfrac{1}{3}$.
Yechim: $P = \dfrac{C_6^2}{C_{10}^2} = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}$.

9. Ikkita soqqa tashlanganda, tushgan ochkolar yig'indisi 8 bo'lish ehtimolligini toping.

Javob va yechim

Javob: $\dfrac{5}{36}$.
Yechim: Jami hollar $36$ ta. Yig'indi $8$ bo'ladigan juftliklar: $(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2)$ — $5$ ta. Ehtimollik: $\dfrac{5}{36}$.

10. Arifmetik progressiyada $a_4 + a_8 + a_{12} + a_{16} = 40$ bo'lsa, $a_{10}$ ni toping.

Javob va yechim

Javob: $10$.
Yechim: $(a_4 + a_{16}) + (a_8 + a_{12}) = 2a_{10} + 2a_{10} = 4a_{10} = 40 \implies a_{10} = 10$.

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

[!WARNING] 1-tuzoq: Arifmetik progressiya yig'indisida $n$ o'rniga oxirgi hadni qo'yish.
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ formulasida ko'paytuvchi $n$ — hadlar soni hisoblanadi. Ko'pchilik $n$ o'rniga oxirgi hadning qiymati $a_n$ ni qo'yib jiddiy xatoga yo'l qo'yadi.

[!WARNING] 2-tuzoq: Kombinatorikada tartib muhim yoki muhim emasligini adashtirish.
Jamoa, komissiya, guruh tuzishda tartib ahamiyatsiz bo'lib, $C_n^k$ ishlatiladi. Rais va yordamchi saylashda, raqamlardan son tuzishda yoki estafetada tartib muhim bo'lib, $A_n^k$ ishlatiladi.

[!WARNING] 3-tuzoq: "Kamida bitta" shartida to'g'ridan-to'g'ri yo'lni tanlash.
"Kamida bitta oq shar" deyilganda 1 ta oq, 2 ta oq, 3 ta oq holatlarini alohida hisoblab qo'shish vaqtni ko'p oladi va xato qilish ehtimolini oshiradi. Har doim qarama-qarshi hodisa ($1 - P(\text{birorta ham oq emas})$) orqali yeching.