Parametrli masalalar

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Parametrli masalalar — abituriyentlarni saralovchi eng muhim mavzulardan biridir. DTM testlarida asosan quyidagi 4 toifa savol uchraydi:

1. Chiziqli tenglama va sistemalar: $ax = b$ yoki ikki noma'lumli sistemada yagona yechim, cheksiz ko'p yechim yoki yechim yo'qligi shartlari.
2. Kvadrat tenglama ildizlari soni va ishorasi: Diskriminant ($D > 0, D = 0, D < 0$) va Viyet munosabatlari orqali ildizlarning musbat, manfiy yoki turli ishorali bo'lishi.
3. Parametrli tengsizliklar: Kvadrat uchhad barcha $x \in \mathbb{R}$ larda musbat yoki manfiy bo'lish shartlari ($a > 0, D < 0$).
4. Bosh koeffitsiyent xususiyati: $ax^2 + bx + c = 0$ tenglamada $a = 0$ bo'lganda darajaning pasayishi.

Asosiy formulalar va usullar

Tip	Shart	Yechim
$ax = b$	$a \neq 0$	Yagona ildiz: $x = \frac{b}{a}$
$ax = b$	$a = 0, b = 0$	Cheksiz ko'p yechim ($0 \cdot x = 0$)
$ax = b$	$a = 0, b \neq 0$	Yechim yo'q ($0 \cdot x = b$)
$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$	$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$	Yagona yechim
$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$	Cheksiz ko'p yechim
$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$	Yechimga ega emas

Kvadrat tenglama ildizlari ishorasi ($ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$):

• $x_1 > 0, x_2 > 0 \iff D \ge 0,\ x_1+x_2 > 0,\ x_1 x_2 > 0$
• $x_1 < 0, x_2 < 0 \iff D \ge 0,\ x_1+x_2 < 0,\ x_1 x_2 > 0$
• Turli ishorali: $x_1 x_2 < 0$ (bunda $D > 0$ avtomatik bajariladi)

Doimiy ishora: $ax^2 + bx + c > 0$ barcha $x \in \mathbb{R}$ da $\iff a > 0, D < 0$.

Yechilgan misollar

1-misol

$a$ ning qanday qiymatida $(a^2 - 4)x = a + 2$ tenglama cheksiz ko'p ildizga ega?

A) $-2$
B) $2$
C) $\pm 2$
D) $\varnothing$

Yechim:
Cheksiz ko'p yechim uchun $0 \cdot x = 0$ bo'lishi shart: $a^2 - 4 = 0 \implies a = \pm 2$ va $a + 2 = 0 \implies a = -2$.
Umumiy yechim: $a = -2$. $a = 2$ da $0 \cdot x = 4$ (yechimsiz).
To'g'ri javob: A.

Tezroq yo'l: Variantdan $a = -2$ ni qo'ysak: $(4 - 4)x = -2 + 2 \implies 0 \cdot x = 0$.

---

2-misol

$k$ ning qanday qiymatlarida $x^2 - 2(k-1)x + k^2 - 2k - 3 = 0$ tenglama ikkita turli musbat ildizga ega?

A) $k > 1$
B) $k > 3$
C) $k < -1$
D) $-1 < k < 3$

Yechim:

1. $D' = (k-1)^2 - (k^2 - 2k - 3) = 4 > 0$ (doim 2 ta turli ildiz bor).
2. Viyet bo'yicha:
   • $x_1 + x_2 = 2(k-1) > 0 \implies k > 1$
   • $x_1 x_2 = (k-3)(k+1) > 0 \implies k \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty)$
     Kesishtirsak: $k > 3$.
     To'g'ri javob: B.

Tezroq yo'l: $x = (k-1) \pm 2$, ya'ni $x_1 = k+1, x_2 = k-3$. Kichigi musbat bo'lsa kifoya: $k - 3 > 0 \implies k > 3$.

---

3-misol

$a$ ning qanday qiymatlarida $(a-1)x^2 + 2ax + 3a - 2 = 0$ tenglama yagona ildizga ega?

A) $1$ va $2$
B) $0{,}5$ va $2$
C) $1$; $0{,}5$ va $2$
D) Faqat $2$

Yechim:

1. $a - 1 = 0 \implies a = 1$. Unda $2x + 1 = 0 \implies x = -0{,}5$ (chiziqli, 1 ta ildiz).
2. $a \neq 1$ bo'lsa, $D' = 0$:
   $D' = a^2 - (a-1)(3a-2) = -2a^2 + 5a - 2 = 0 \implies a = 0{,}5;\ a = 2$ Qiymatlar: $0{,}5;\ 1;\ 2$.
   To'g'ri javob: C.

Tezroq yo'l: Bosh koeffitsiyent $a-1=0 \implies a=1$ ni birinchi bo'lib variantlar orasidan qidiring.

---

4-misol

$a$ ning qanday qiymatida sistema yechimga ega emas? $\begin{cases} ax + 4y = 2 \\ 9x + ay = 3 \end{cases}$

A) $6$
B) $-6$
C) $\pm 6$
D) $0$

Yechim:
Yechimsizlik sharti: $\frac{a}{9} = \frac{4}{a} \neq \frac{2}{3}$.
$a^2 = 36 \implies a = \pm 6$.

• $a = 6$ da: $\frac{6}{9} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ (cheksiz ko'p).
• $a = -6$ da: $-\frac{2}{3} \neq \frac{2}{3}$ (yechim yo'q).
  To'g'ri javob: B.

Tezroq yo'l: $a = 6$ da birinchi tenglama ikkinchisiga to'liq proporsional bo'lib ustma-ust tushadi. Demak, javob $-6$.

---

5-misol

$m$ ning nechta butun qiymatida $x^2 - (m+2)x + m + 5 > 0$ tengsizlik barcha $x \in \mathbb{R}$ da o'rinli?

A) $5$
B) $6$
C) $7$
D) $8$

Yechim:
$a = 1 > 0$ bo'lgani uchun barcha $x$ da musbat bo'lish sharti $D < 0$: $D = (m+2)^2 - 4(m+5) = m^2 - 16 < 0 \implies -4 < m < 4$ Butun qiymatlar: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ (jami $7$ ta).
To'g'ri javob: C.

Tezroq yo'l: Oraliq $(-4; 4)$ bo'lgani uchun butun sonlar soni $3 - (-3) + 1 = 7$.

---

Mashq

1. $a$ ning qanday qiymatida $(a^2 - 9)x = a - 3$ tenglama yechimga ega emas?

Javob va yechim

Javob: $a = -3$.
Yechim: $a^2 - 9 = 0 \implies a = \pm 3$. $a = 3$ da $0 \cdot x = 0$ (cheksiz ko'p), $a = -3$ da $0 \cdot x = -6$ (yechim yo'q).

2. $k$ ning qanday eng kichik butun qiymatida $kx^2 - 4x + 1 = 0$ tenglama haqiqiy ildizga ega emas?

Javob va yechim

Javob: $5$.
Yechim: $k = 0$ da $x = 0{,}25$. $k \neq 0$ da $D' = 4 - k < 0 \implies k > 4$. Eng kichik butun son $k = 5$.

3. $a$ ning qanday qiymatlarida $x^2 + 2(a-1)x + a + 5 = 0$ ildizlari qarama-qarshi ishorali?

Javob va yechim

Javob: $a \in (-\infty; -5)$.
Yechim: Viyet bo'yicha $x_1 x_2 < 0 \iff a + 5 < 0 \implies a < -5$.

4. $a$ ning qanday qiymatida $\begin{cases} (a-1)x + 2y = 4 \\ 3x + ay = 6 \end{cases}$ cheksiz ko'p yechimga ega?

Javob va yechim

Javob: $a = 3$.
Yechim: $\frac{a-1}{3} = \frac{2}{a} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \implies \frac{2}{a} = \frac{2}{3} \implies a = 3$.

5. $x^2 - (a-3)x + a - 4 = 0$ tenglama ildizlari kvadratlari yig'indisi eng kichik bo'ladigan $a$ ni toping.

Javob va yechim

Javob: $4$.
Yechim: $x_1^2 + x_2^2 = (a-3)^2 - 2(a-4) = a^2 - 8a + 17 = (a-4)^2 + 1$. Eng kichik qiymat $a = 4$ da.

6. $a$ ning qanday qiymatida $\dfrac{x-3}{x-a} = 0$ tenglama yechimga ega emas?

Javob va yechim

Javob: $a = 3$.
Yechim: Surat ildizi $x = 3$. Agar $a = 3$ bo'lsa, maxraj ham nol bo'lib yechim mavjud bo'lmaydi.

7. $a$ ning qanday qiymatida $ax^2 + 4x + a - 3 = 0$ tenglama ikkita teng manfiy ildizga ega?

Javob va yechim

Javob: $a = 4$.
Yechim: $D' = 4 - a(a-3) = 0 \implies a = 4$ yoki $a = -1$. Teng ildiz $x = -\frac{2}{a} < 0 \implies a > 0$. Demak, $a = 4$.

8. $k$ ning nechta butun qiymatida $\dfrac{kx - 1}{x + 2} = 3$ tenglama butun ildizga ega?

Javob va yechim

Javob: $4$ ta.
Yechim: $(k-3)x = 7 \implies x = \frac{7}{k-3}$ ($x \neq -2$). $k-3 \in \{\pm 1; \pm 7\} \implies k \in \{-4; 2; 4; 10\}$. Jami $4$ ta.

9. $y = x^2 - 2x + c$ parabolaning uchi $y = 3x - 1$ to'g'ri chiziqda yotsa, $c$ ni toping.

Javob va yechim

Javob: $3$.
Yechim: $x_0 = 1, y_0 = c - 1$. To'g'ri chiziqqa qo'ysak: $c - 1 = 3(1) - 1 \implies c = 3$.

10. $a$ ning qanday eng kichik butun qiymatida $x^2 + 4x + a \ge 0$ barcha $x \in \mathbb{R}$ da o'rinli?

Javob va yechim

Javob: $4$.
Yechim: $D' = 4 - a \le 0 \implies a \ge 4$. Eng kichik butun qiymat $a = 4$.

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

[!WARNING] 1-tuzoq: Bosh koeffitsiyentdagi parametrni unutish.
$ax^2 + bx + c = 0$ da yagona ildiz so'ralganda faqat $D = 0$ deb o'ylash xato. Agar $a = 0$ bo'lsa, tenglama chiziqliga aylanib $bx + c = 0$ ham 1 ta ildiz beradi.

[!WARNING] 2-tuzoq: Kasr-ratsional tenglamada maxrajni tekshirmaslik.
$\frac{x-a}{x-2} = 0$ da surat ildizi $x = a$. Agar $a = 2$ bo'lsa, maxraj nol bo'lib qoladi va ildiz mavjud bo'lmaydi.

[!WARNING] 3-tuzoq: Tengsizliklarda $D < 0$ o'rniga $D > 0$ olish.
$ax^2 + bx + c > 0$ barcha $x$ da bajarilishi uchun parabola $Ox$ o'qini kesmasligi, ya'ni $D < 0$ bo'lishi shart.