Funksiya va grafiklar

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Funksiyalar va ularning grafiklari bo'limi DTM imtihonlarida har yili kamida 2–3 ta savol bilan qatnashadi. Asosiy e'tibor quyidagi masalalarga qaratiladi:

1. Aniqlanish sohasi ($D(f)$): Juft darajali ildizlar ($\ge 0$), kasr maxraji ($\neq 0$) va logarifm argumenti ($> 0$) birgalikda kelgan aralash ifodalar.
2. Qiymatlar sohasi ($E(f)$): Kvadrat uchhad, ko'rsatkichli va trigonometrik ifodalar, modulli funksiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlarini baholash.
3. Juft va toq funksiyalar: Analitik tekshirish ($f(-x) = \pm f(x)$) hamda simmetriya markazlari va o'qlariga doir xossalar.
4. Teskari funksiya va kompozitsiya: Berilgan $f(x)$ ga teskari $f^{-1}(x)$ ni topish hamda $f(g(x))$ qiymatini hisoblash.
5. Grafiklarning siljishi (transformatsiyalar): Grafigi bo'yicha formula tuzish yoki formulasi bo'yicha koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topish.

Asosiy formulalar va usullar

1. Aniqlanish va qiymatlar sohasi

• $y = \sqrt[2k]{f(x)} \implies f(x) \ge 0$
• $y = \dfrac{g(x)}{f(x)} \implies f(x) \neq 0$
• $y = \log_a f(x) \implies f(x) > 0,\ a > 0,\ a \neq 1$
• $y = ax^2 + bx + c$:
  • $a > 0 \implies E(y) = [y_0; \infty)$, bu yerda $x_0 = -\frac{b}{2a},\ y_0 = f(x_0)$.
  • $a < 0 \implies E(y) = (-\infty; y_0]$.
• $y = A\sin x + B\cos x \implies E(y) = \left[-\sqrt{A^2 + B^2};\ \sqrt{A^2 + B^2}\right]$.

2. Juft-toqlik va teskari funksiya

• Juft funksiya: $D(f)$ simmetrik va $f(-x) = f(x)$ (grafigi $Oy$ o'qiga nisbatan simmetrik).
• Toq funksiya: $D(f)$ simmetrik va $f(-x) = -f(x)$ (grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik).
• Kasr-chiziqli teskari funksiya:
  $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \implies f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a}$

3. Grafik transformatsiyalari

Amallar	Geometrik ma'nosi
$y = f(x) + c$	$c > 0$ da $c$ birlik yuqoriga, $c < 0$ da pastga
$y = f(x + c)$	$c > 0$ da $c$ birlik chapga, $c < 0$ da o'ngga
$y = -f(x)$	$Ox$ o'qiga nisbatan akslantirish
$y =	f(x)
$y = f(	x

---

Yechilgan misollar

1-misol

$f(x) = \sqrt{\dfrac{x-2}{5-x}} + \lg(x-1)$ funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli butun sonlar yig'indisini toping.

A) $7$
B) $9$
C) $12$
D) $14$

Yechim:
Aniqlanish sohasini topish uchun shartlar sistemasini tuzamiz:

1. Ildiz osti nomanfiy bo'lishi: $\dfrac{x-2}{5-x} \ge 0 \iff \dfrac{x-2}{x-5} \le 0 \implies x \in [2; 5)$.
2. Logarifm argumenti musbat bo'lishi: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Ikkala shartni kesishtiramiz: $x \in [2; 5)$ Ushbu oraliqdagi butun sonlar: $2, 3, 4$.
Ularning yig'indisi: $2 + 3 + 4 = 9$.
To'g'ri javob: B.

Tezroq yo'l: $x = 5$ da maxraj nol bo'ladi ($5$ kirmaydi). $x = 2$ da ildiz nol bo'lib qanoatlantiradi. $x = 2, 3, 4$ ni tekshirib, yig'indisi $9$ ekanini darhol topamiz.

---

2-misol

$y = -2x^2 + 8x - 3$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping.

A) $[5; \infty)$
B) $(-\infty; 3]$
C) $(-\infty; 5]$
D) $[-3; 5]$

Yechim:
Kvadrat funksiyada $a = -2 < 0$, demak tarmoqlari pastga yo'nalgan va eng katta qiymatga ega.
Uchining koordinatalari: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = 2$ $y_0 = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$ Demak, funksiyaning eng katta qiymati $5$, qiymatlar sohasi esa $(-\infty; 5]$.
To'g'ri javob: C.

Tezroq yo'l: To'la kvadrat ajratish: $y = -2(x^2 - 4x + 4) + 8 - 3 = -2(x-2)^2 + 5$. Kvadrat ifoda $\ge 0$ bo'lgani uchun butun ifoda $\le 5$.

---

3-misol

$f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ funksiyaga teskari funksiyani toping.

A) $f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{3 - x}$
B) $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 2}{3x - 1}$
C) $f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$
D) $f^{-1}(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$

Yechim:
$y = \dfrac{3x - 1}{x + 2} \implies y(x + 2) = 3x - 1 \implies x(y - 3) = -2y - 1 \implies x = \dfrac{2y + 1}{3 - y}$.
O'zgaruvchilarni almashtirsak: $f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{3 - x}$.
To'g'ri javob: A.

Tezroq yo'l: Kasr-chiziqli formuladan foydalaning: $\frac{ax+b}{cx+d} \to \frac{-dx+b}{cx-a}$. Bu yerda $\frac{-2x-1}{x-3} = \frac{2x+1}{3-x}$.

---

4-misol

Quyidagi funksiyalardan qaysi biri toq funksiya?

A) $f(x) = x^3 + \cos x$
B) $f(x) = \dfrac{x^4 + 1}{x^2 + 1}$
C) $f(x) = 2^x - 2^{-x}$
D) $f(x) = |x| + x^2$

Yechim:
Toq funksiyada $f(-x) = -f(x)$.

• A: $f(-x) = -x^3 + \cos x$ (na juft, na toq).
• B va D: $f(-x) = f(x)$ (juft).
• C: $f(-x) = 2^{-x} - 2^x = -(2^x - 2^{-x}) = -f(x)$ (toq!).
  To'g'ri javob: C.

Tezroq yo'l: $x = 1$ va $-1$ da: $f(1) = 1{,}5$; $f(-1) = -1{,}5$. $f(-1) = -f(1)$ bo'lgani uchun toq.

---

5-misol

$y = |x^2 - 4| - 3$ funksiya grafigi $Ox$ o'qini nechta nuqtada kesib o'tadi?

A) $2$
B) $3$
C) $4$
D) $1$

Yechim:
$y = 0 \implies |x^2 - 4| = 3$.

1. $x^2 - 4 = 3 \implies x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7}$ ($2$ ta ildiz).
2. $x^2 - 4 = -3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$ ($2$ ta ildiz).
   Jami $4$ ta turli nuqtada kesib o'tadi.
   To'g'ri javob: C.

Tezroq yo'l: $y = x^2 - 4$ uchi $(0; -4)$ da. Moduli $(0; 4)$ ga chiqadi, $3$ birlik pastga siljigach $(0; 1)$ bo'ladi, ya'ni $Ox$ ni $4$ marta kesadi.

---

Mashq

1. $y = \sqrt{16 - x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x - 1}}$ funksiyaning aniqlanish sohasini toping.

Javob va yechim

Javob: $(1; 4]$.
Yechim: $16 - x^2 \ge 0 \implies x \in [-4; 4]$ va $x - 1 > 0 \implies x > 1$. Kesishtirsak: $x \in (1; 4]$.

2. $y = 3\sin x - 4\cos x + 2$ funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

Javob va yechim

Javob: $-3$.
Yechim: $3\sin x - 4\cos x$ ifodaning qiymatlar sohasi $[-\sqrt{3^2+4^2}; \sqrt{3^2+4^2}] = [-5; 5]$. Eng kichik qiymat: $-5 + 2 = -3$.

3. $y = \dfrac{2x + 5}{x - 3}$ funksiya grafigi asimptotalari kesishish nuqtasi koordinatalarini toping.

Javob va yechim

Javob: $(3; 2)$.
Yechim: Vertikal asimptota $x = 3$, gorizontal asimptota $y = \frac{2}{1} = 2$. Kesishish nuqtasi $(3; 2)$.

4. Agar $f(2x - 3) = 4x + 1$ bo'lsa, $f(5)$ ni hisoblang.

Javob va yechim

Javob: $17$.
Yechim: $2x - 3 = 5 \implies x = 4$. Unda $f(5) = 4(4) + 1 = 17$.

5. $y = x^2 - 6x + 11$ parabola uchi koordinatalari yig'indisini toping.

Javob va yechim

Javob: $5$.
Yechim: $x_0 = -\frac{-6}{2} = 3$, $y_0 = 3^2 - 6(3) + 11 = 2$. Yig'indi: $3 + 2 = 5$.

6. $f(x) = \lg\left(\dfrac{3 - x}{3 + x}\right)$ funksiyaning juft yoki toqligini aniqlang.

Javob va yechim

Javob: Toq funksiya.
Yechim: $f(-x) = \lg\left(\frac{3+x}{3-x}\right) = \lg\left(\frac{3-x}{3+x}\right)^{-1} = -\lg\left(\frac{3-x}{3+x}\right) = -f(x)$. Demak, toq.

7. $y = 5^{x^2 - 4x + 7}$ funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

Javob va yechim

Javob: $125$.
Yechim: $x^2 - 4x + 7 = (x-2)^2 + 3 \ge 3$. Asosi $5 > 1$ bo'lgani uchun minimal qiymat $5^3 = 125$.

8. $y = \sqrt{x + 3}$ funksiyaga teskari funksiya formulasini toping.

Javob va yechim

Javob: $f^{-1}(x) = x^2 - 3$ ($x \ge 0$).
Yechim: $y \ge 0$. Kvadratga ko'tarsak: $y^2 = x + 3 \implies x = y^2 - 3$. O'rin almashtirsak: $f^{-1}(x) = x^2 - 3$ ($x \ge 0$).

9. $y = \dfrac{k}{x}$ giperbola va $y = 2x + 1$ to'g'ri chiziq $x = 2$ nuqtada kesishsa, $k$ ni toping.

Javob va yechim

Javob: $10$.
Yechim: $x = 2$ da to'g'ri chiziq $y = 2(2) + 1 = 5$. Kesishish nuqtasi $(2; 5)$. Giperbolaga qo'ysak: $5 = \frac{k}{2} \implies k = 10$.

10. $y = |x - 2| + |x + 4|$ funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

Javob va yechim

Javob: $6$.
Yechim: Geometrik ma'noga ko'ra, $x$ nuqtadan $2$ va $-4$ gacha bo'lgan masofalar yig'indisi. Kesma ichidagi istalgan nuqtada masofa minimal bo'lib, $2 - (-4) = 6$ ga teng.

---

Keng tarqalgan tuzoqlar

[!WARNING] 1-tuzoq: Juft-toqlikda aniqlanish sohasining simmetrikligini tekshirmaslik.
Funksiya qoidasi $f(-x) = f(x)$ bo'lsa ham, agar uning aniqlanish sohasi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo'lmasa (masalan, $D(f) = [-2; 5]$), funksiya juft ham, toq ham bo'la olmaydi.

[!WARNING] 2-tuzoq: Teskari funksiyada aniqlanish sohasini ko'rsatmaslik.
$y = x^2$ ($x \ge 0$) uchun teskari funksiya $y = \sqrt{x}$ bo'ladi. Agar boshlang'ich funksiyaning qiymatlar sohasi cheklangan bo'lsa, teskari funksiyaning aniqlanish sohasi ham cheklanishi shart.

[!WARNING] 3-tuzoq: Maxrajdagi ildizda qat'iy tengsizlikni unutish.
$\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}$ ifodada $f(x) \ge 0$ emas, balki $f(x) > 0$ bo'lishi shart, chunki maxraj nolga teng bo'la olmaydi.